李雅普諾夫穩(wěn)定性與正實函數(shù)課堂PPT

1、.1 針對用梯度法設(shè)計模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性得不到保證的問題，有人提出基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)，如 butchart (1965）、parks (1966）。所以有必要回顧動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念和定理，以作為后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)備知識。5.3.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論概要李雅普諾夫穩(wěn)定性理論概要 響應(yīng)運(yùn)動穩(wěn)定性可分為基于輸入/輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性是一種零初始條件下的有界輸入 / 有界輸出（bounded-input, bounded-output）穩(wěn)定性。內(nèi)部穩(wěn)定性是零輸入條件下自治系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動的穩(wěn)定性，它等同于李雅普諾夫意義

2、下的漸近穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間有十分緊密的聯(lián)系，一般說來，內(nèi)部穩(wěn)定性決定外部穩(wěn)定性。 1892年，李雅普諾夫（a. m. lyapunov）提出了運(yùn)動穩(wěn)定性的一般理論，.2即穩(wěn)定性分析的第一方法和第二方法。第一方法將非線性自治系統(tǒng)運(yùn)動方程在足夠小的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開，導(dǎo)出一次近似線性化系統(tǒng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上的分布推斷非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性；第二方法引入具有廣義能量屬性的李雅普諾夫函數(shù)，并分析其函數(shù)的定號性，建立判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的相應(yīng)結(jié)論。它在1960年前后被引入控制理論界，并很快成為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要工具，本節(jié)介紹李雅普諾夫第二方法。 設(shè)自治系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為：式

3、中， 為系統(tǒng)初始條件， 為初始時刻， 為狀態(tài)向量。 如果系統(tǒng)某一狀態(tài)對所有時刻均滿足 00( , ),( ) ,)ftttt xxxx ,(5-30)00( ,)ttxx , 0 x0txe(, )0ft x則稱狀態(tài) 為式（5-30）所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。ex.3 定義5-3-1 如果對任意一個實數(shù) ，均對應(yīng)存在另一依賴于 和 的實數(shù) ，使?jié)M足以下不等式的任一初始狀態(tài) 出發(fā)的所有解 都滿足則稱式（5-30）表示的系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 在時刻 為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果 與 無關(guān)，則稱為李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定。 幾何意義：初始狀態(tài) 不越出平衡狀態(tài) 的鄰域，相應(yīng)解 不越出平衡狀態(tài) 的 鄰域，那么 是

4、穩(wěn)定的，如圖5-4所示。 定義5-3-2 若式（5-30）所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 滿足 （1） 在 時刻為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定； （2）存在 ， 使?jié)M足00t0( ,)0t 0e0( ,)t xx0 x0 x00( ,)txt 00e0( ,),ttttxx e 0 x0t00tex00( ,)ttx exexexe 0 x00t 0( ,)0t 0e0( ,)t xx的初始狀態(tài) 出發(fā)的所有解 均有00( ,)t xt 0 x.4則稱平衡狀態(tài) 是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。假若 與 無關(guān)，則稱其為李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定。 幾何意義： 的 領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的運(yùn)動軌線 最終均趨于平衡狀態(tài)如圖5-5所示

5、。00elim( ,)0ttt xxex( )0 0tex00( ,)txt ex0 xex0 xex0 xex 圖5-4 圖5-5 圖5-6 定義定義5-3-3 式（5.30）表示的系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 對于任一位于狀態(tài)空間的初始狀態(tài) ，若滿足ex0 x.5 （1） 為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定； （2）則稱平衡狀態(tài) 是李雅普諾夫意義下全局（或大范圍）漸近穩(wěn)定。 定義5-3-4 如果不論取實數(shù) 為多大，均不存在一個實數(shù) ，使得滿足不等式的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的解 滿足不等式：則稱式（5-30）表示的平衡狀態(tài) 在時刻 為不穩(wěn)定。其幾何意義如圖5-6所示。 實質(zhì)上，李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定與工程意義下的穩(wěn)定是

6、等價的，李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定等同于工程意義下的發(fā)散不穩(wěn)定。 有了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定概念之后，余下的問題是如何判定一個系統(tǒng)在e 0 x00lim( ,)0etttxx ex00( ,)0t 0e0( ,)t xx0 x00( ,)t xt 00e0( ,),ttttxx e 0 x0t.6平衡點的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)運(yùn)動總是隨能量變化的，如果系統(tǒng)能量變化始終為負(fù)，運(yùn)動中單調(diào)減小，那么系統(tǒng)受擾運(yùn)動最后回到平衡狀態(tài)。下面不加證明地給出系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理。 定理定理5-3-1 對式（5-30）所表示的系統(tǒng)，若可構(gòu)造一個標(biāo)量函

7、數(shù) ，且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)點滿足以下條件： （1） 是正定的，即 ； （2） 是非正定的，即 ；則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。除了以上條件外，如果亦滿足，則 是全局穩(wěn)定的。 定理定理5-3-2 對式（5-30）所示的系統(tǒng)，若可構(gòu)造一個標(biāo)量函數(shù) ，且對( ,)vtx( ,)vtx( ,)0vt xd/ dvtd/ d0vte 0 x( , )vtxx ,e 0 x( , )vtx.7狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)點滿足以下條件： （1） 是正定的； （2） 是負(fù)定的，則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài) 是漸近穩(wěn)定的。除了以上條件外，如果亦滿足，則 是全局漸近穩(wěn)定的。 定理定理5-3-3 對式

8、（5-30）描述的系統(tǒng)，若可構(gòu)造一個對時間具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù) ，以及圍繞狀態(tài)空間原點的一個吸引區(qū)，使對 狀態(tài)有 （1） 正定； （2） 非正定； （3）在任意起于 的運(yùn)動軌線上，使所有 不恒為零；則該系統(tǒng)是平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的。如果滿足則 是全局漸近穩(wěn)定的。( , )vtxd/dvte 0 x( , )vtxx ,e 0 x( , )vtx 0 x( , )vtxd/dvt 0 x( , )vtx( , )vtxx , 0 x.8 定理定理5-3-4 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動方程為式中，x 為 維狀態(tài)向量；a為 非奇異矩陣。其平衡點 是全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：對任意給定的正定對稱矩

9、陣q，存在一個正定對稱矩陣 p，并滿足下列李雅普諾夫矩陣方程 xaxnnne 0 xt a ppaq定理5-3-5 設(shè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動方程為 eaebr tt rb per (5-32)(5-33)式中，e為n維向量；r為 維向量；a、b和 分別為 、 和 滿秩矩陣；r、p分別為 、 正定對稱矩陣。 假若 正定對稱矩陣 q 和 p 滿足下列方程則該系統(tǒng)平衡點 、 是穩(wěn)定的。若r是 個或更多不同頻率的分量組成，lnnnmmlmmnnt a ppaqnn 0e 0 l.9那么平衡點是漸近穩(wěn)定的。 證明：證明：選取李雅普諾夫函數(shù)為式中，tr (x)是矩陣“ x ”的跡（trace），它表示矩陣對角元

10、之和；r、p為正定對稱矩陣。 tt11tr()02ve per (5-34)ttt1t1d1tr()tr()d2vte pee perr將式（5-32）代入并整理，有根據(jù)矩陣跡的性質(zhì)： 和 ，有以及ttttttt1t1d1()tr()tr()d2vetepaa prb pee pbrrr ttrtraattttr()tr()x axx axx x at1t1tr()tr()rr ttt1ttt1d11tr()tr()tr()d22vt e qee pbrre qee pbrr ttt11tr()tr()2 e qere pbr .10將式（5-33）代入上式變?yōu)橛啥ɡ?-3-1知，平衡點 、

11、是穩(wěn)定的。 考察沿運(yùn)動軌線上 的情況。 令 ，由式（5-35）知代入式（5-32）有 。由于b為滿秩，從而應(yīng)有： 若r是由 個不同頻率的分量構(gòu)成的，則各分量 是線性無關(guān)的，這里從而由式（5-36）應(yīng)有即只有在平衡點 、 處，才有 ，由定理5-3-3知，系統(tǒng)在平衡點td10d2vt e qe(5-35) 0e 0 0v ()0ve, 0 ,0ee0br 0r (5-36)lirt12lrrrr 0 0e 0 ()0ve, .11處漸近穩(wěn)定。 barbalat定理定理: 若為一致連續(xù)函數(shù)，并且 （有界），則有 推論：推論：如果 、 （有界），并且 (即 平方可積)，則有 證明：證明：令 ，由于 ，

12、則 是一致連續(xù)的，又由于 ，所以0lim( ) dttflim( )0tf t( )g t( )g tl2( )g tl( )g tlim( )0tg t2( )( )f tgt( )( )g tg tl、( )f t2( )g tl200( )d( )dgttf ttre (j )0h( )h sjs( )h sre( )0s re (j )0h( )h s.15例例5.3.1 考察下列有理函數(shù)的正實性：1(1)( ),01h stts；122121(2)( ),01h sttt st s 解：解：（1）當(dāng)s為實數(shù)時， 也為實數(shù)。 在 域內(nèi)解析，令 ，則有( )h s( )h sre( )0

13、s sj2211()(1)jh jtt221re (j )01ht從而，有由定義5-3-6知，它為嚴(yán)格正實函數(shù)。 （2）當(dāng)s為實數(shù)時， 為實數(shù)，且它在 域解析，令 ，則有 ( )h sre( )0s sj2211()(1)jh jtt從而有222 22211re (j )(1)()thtt.16很明顯，當(dāng) 時， ，所以 為非正實函數(shù)。定理定理 5-3-6 若 為互質(zhì)的正實函數(shù)，則 （1） 和 是實系數(shù)多項式； （2） 和 的所有零點在 域內(nèi)； （3） 也是正實函數(shù)； （4） 和 的階數(shù)之差不超過1。 注意該定理為必要條件。 定理定理5-3-7 線性連續(xù)時間系統(tǒng)221/tre (j )0hj ,jss( )h sttt1t1tt1t1( )( )()()()()h shsssssbiacciabbiapbb piab.20tt11tt1t1tt11tt11()()() ()() ()()(