數(shù)學(xué)分析第七章

1、 在第一章與第二章中在第一章與第二章中, , 我們已經(jīng)證明了實(shí)我們已經(jīng)證明了實(shí)數(shù)集中的確界定理、單調(diào)有界定理并給出了數(shù)集中的確界定理、單調(diào)有界定理并給出了柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則. . 這三個(gè)定理反映了實(shí)數(shù)的一這三個(gè)定理反映了實(shí)數(shù)的一種特性種特性, ,這種特性稱(chēng)之為完備性這種特性稱(chēng)之為完備性. . 而有理數(shù)集而有理數(shù)集是不具備這種性質(zhì)的是不具備這種性質(zhì)的. . 在本章中在本章中, , 將著重介將著重介紹與上述三個(gè)定理的等價(jià)性定理及其應(yīng)用紹與上述三個(gè)定理的等價(jià)性定理及其應(yīng)用. .這這些定理是數(shù)學(xué)分析理論的基石些定理是數(shù)學(xué)分析理論的基石. .7.1 關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理一、區(qū)間套定理與柯西收

2、斂定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性定義定義1nnab,:設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)間間列列滿滿足足如如下下條條件件111. , ,1, 2,nnnnababn 2. lim()0 ,nnnba ,.nnab則則稱(chēng)稱(chēng)為為閉閉區(qū)區(qū)間間套套 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)區(qū)區(qū)間間套套定義定義1 中的條件中的條件1 實(shí)際上等價(jià)于條件實(shí)際上等價(jià)于條件1221.nnaaabbb nna aa a121nnbbb b12 1定理定理7.1(區(qū)間套定理區(qū)間套定理),nnab若若是是一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間套套, 則則存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)使使,1, 2,nnabn 或者或者. ,1nnnba 證證 由定義由定義1 的條

3、件的條件1 可知可知, 數(shù)列數(shù)列an遞增遞增, 有上界有上界b1. .所以由單調(diào)有界定理所以由單調(diào)有界定理, 可知可知 an 的極限存在的極限存在. x 從而由定義從而由定義1 的條件的條件2 可得可得.lim)(limlim nnnnnnnaabb因?yàn)橐驗(yàn)?an 遞增遞增, bn 遞減遞減, 所以所以,nnba 下面來(lái)證明唯一性下面來(lái)證明唯一性. 設(shè)設(shè) 1 也滿足也滿足,1nnba ,limnna 設(shè)設(shè)這樣就證明了這樣就證明了 的存在性的存在性. 返回返回證證 由區(qū)間套定理的證明可得由區(qū)間套定理的證明可得:limlim.nnnnab 由極限的保號(hào)性由極限的保號(hào)性, 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù)

4、, 存在存在 n,1,. 即即惟惟一一性性得得證證10.nnba那那么么,( ; ).nna bu 則任給則任給 0, 存在存在 n,1, 2,.n 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí),推論推論 設(shè)設(shè) an ,bn 是一個(gè)區(qū)間套是一個(gè)區(qū)間套,nnab nnab,(,). 注注1 該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值,請(qǐng)大家務(wù)請(qǐng)大家務(wù)必必牢記牢記. .注注2 區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開(kāi)區(qū)間區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開(kāi)區(qū)間, 那么結(jié)那么結(jié)論不一定成立論不一定成立. 例如對(duì)于開(kāi)區(qū)間列例如對(duì)于開(kāi)區(qū)間列 , 顯然顯然10n，nn, 當(dāng)時(shí) 有當(dāng)時(shí) 有,.nnab nnab,即即這這就就是是說(shuō)說(shuō)但是定理但是定

5、理1中的中的 是不存在的是不存在的, 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?10,.nn 證證明過(guò)程明過(guò)程, 哪一步通不過(guò)哪一步通不過(guò)?111.0,0,1, 2,1nnn 12.lim00.nn 10,1n讀讀者者可可以以反反思思一一下下, ,對(duì)對(duì)于于，按按照照定定理理的的,0,nm nn 對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)存存在在時(shí)時(shí) 有有.2,2 aaaamnnmnmaaaaaa. 因因而而有有例例1、利用區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則。、利用區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則。即證明數(shù)列即證明數(shù)列 an 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 對(duì)任意的對(duì)任意的證證 (必要性必要性)lim,nnaa 設(shè)設(shè)由由數(shù)數(shù)列列極極限限的的定定義

6、義,.nmm nnaa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有存在存在 n, , 0,1111111,(,),222nnnnnnaaa 令令存存在在時(shí)時(shí), ,11112111,.,222nnabaa 取取令令存存在在.,(,).nnnnnaannaaa 即即當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)(:lim.)nnnaa 注注意意 這這并并不不能能說(shuō)說(shuō)明明n nn,0, 由題設(shè) 對(duì)于任意存在時(shí)由題設(shè) 對(duì)于任意存在時(shí)()充分性充分性na na nax212(),nnnn 時(shí)時(shí)nnnaaa222211,22 ababba1122221,2 2222112211,.22nnaba baa 取取顯顯然然有有nnnaa b222,. 并并且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí). . .

7、 . . . .11,.22kknnnkkaaa. . . . . . .,kkab這這樣樣就就得得到到一一列列閉閉區(qū)區(qū)間間滿滿足足kkkknnnn11,(),2 令令存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1111,.22kkkkkknnkkababaa 取取11(i) ,kkkkabab 1, 2,;k 11(ii)0,2kkkba k; 00,(,),kkab na.所以這就證明了所以這就證明了03,knn 由由性性質(zhì)質(zhì)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)00,(,),nkkaab kkab,. 由由區(qū)區(qū)間間套套定定理理 存存在在惟惟一一的的由定理由定理1的的+(iii)n ,.knkkknnaab 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)k00, 對(duì)對(duì)于于任任意意存存

8、在在使使推論，推論， lim.nna 定義定義2 設(shè)設(shè) s 為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集, 為直線上的為直線上的一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)(當(dāng)然可以屬于當(dāng)然可以屬于 s, 也可以不屬于也可以不屬于s). 若對(duì)若對(duì)于任意正數(shù)于任意正數(shù) , ,在在 ( , + ) 中含有中含有s 的無(wú)限個(gè)點(diǎn)的無(wú)限個(gè)點(diǎn), 10sn 比比如如: : 是是的的一一個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn); ;則稱(chēng)則稱(chēng) 是是 s 的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn).us( ; ), 無(wú)限集無(wú)限集即即11, 1( 1).nsn是是的的兩兩個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn)為了便于應(yīng)用為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義下面介紹兩個(gè)與定義 2 等價(jià)的定義等價(jià)的定義.srr,.0, 設(shè)設(shè)若若對(duì)對(duì)

9、于于任任意意定義定義2定義定義2若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列,sxn.lim的的一一個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為那那么么極極限限sxnn 下面簡(jiǎn)單敘述一下這三個(gè)定義的等價(jià)性下面簡(jiǎn)單敘述一下這三個(gè)定義的等價(jià)性. 若設(shè)若設(shè) s 是是 0, 1中的無(wú)理數(shù)全體中的無(wú)理數(shù)全體, 則則 s 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)集合集合 ( ; ),.uss 那那么么稱(chēng)稱(chēng)是是的的一一個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn)s (稱(chēng)為稱(chēng)為 s 的導(dǎo)集的導(dǎo)集) 為閉區(qū)間為閉區(qū)間 0, 1. 定義定義2 定義定義2 由定義直接得到由定義直接得到.定義定義2 定義定義2 因?yàn)橐驗(yàn)?0,( ; )0,us 那么那么111,( ;1);xus 取取2122m

10、in 1/2,( ;);xxus 取取;.1min 1/ ,( ;);nnnnn xxus 取取.,nnnxsx 這這樣樣就就得得到到一一列列由由的的取取法法兩兩兩兩,10nxnn lim.nnx 由此由此互異互異, ,并且并且定義定義2定義定義2 由極限的定義可知這是顯然的由極限的定義可知這是顯然的.定理定理7.2 (聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理) 實(shí)數(shù)軸上的任意有界實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)無(wú)限點(diǎn)集必有聚點(diǎn)集必有聚點(diǎn). .我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理, 請(qǐng)務(wù)必請(qǐng)務(wù)必證證 因?yàn)橐驗(yàn)閟為有界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集, 所以存在正數(shù)所以存在正數(shù) m, 使使11,.sm mab

11、m m 且且記記現(xiàn)將現(xiàn)將 a1, b1 等分為兩個(gè)子區(qū)間等分為兩個(gè)子區(qū)間 a1, c1, c1,b1,1111111.,2abcaccb 其其中中那那么么中至少有一中至少有一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間含有含有 s 的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的無(wú)限多個(gè)點(diǎn). 記該區(qū)間為記該區(qū)間為a2, b2.要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì) (iii). .,2211baba 顯顯然然有有22111().2babam再將再將a2, b2等分為兩個(gè)子區(qū)間等分為兩個(gè)子區(qū)間. 同樣至少有一個(gè)子同樣至少有一個(gè)子區(qū)區(qū)間含有間含有 s 的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的無(wú)限多個(gè)點(diǎn), 將這個(gè)區(qū)間記為將這個(gè)區(qū)間記為a3, b3.112233

12、,a ba bab 顯顯然然又又有有.2)(212233mabab nnnmba1(ii)0;2 (iii) 每個(gè)閉區(qū)間每個(gè)閉區(qū)間an, bn 均含均含s 的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程, 就可得到一列閉區(qū)間就可得到一列閉區(qū)間,nnabnnnnababn11(i) ,1, 2,; ,nnab 由由區(qū)區(qū)間間套套定定理理 存存在在惟惟一一的的., 2, 1 n滿足滿足1:,n 由由定定理理的的推推論論 對(duì)對(duì)于于任任意意的的正正數(shù)數(shù)存存在在使使,( ; ),nnabu 所以由所建立的性質(zhì)所以由所建立的性質(zhì)(iii)( ; ),nnusabs 無(wú)無(wú)限限集集. .這就證明了這

13、就證明了 是是 s 的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn).定理定理7.2 有一個(gè)非常重要的推論有一個(gè)非常重要的推論( (致密性定理致密性定理).).該該定理在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中定理在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中, ,顯得十分活躍顯得十分活躍. .證證 設(shè)設(shè)xn為有界數(shù)列為有界數(shù)列, 若若xn 中有無(wú)限項(xiàng)相等中有無(wú)限項(xiàng)相等, 取取這些相等的項(xiàng)可成一個(gè)子列這些相等的項(xiàng)可成一個(gè)子列. 該子列顯然是收斂該子列顯然是收斂若數(shù)列若數(shù)列xn 不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng), 則則xn作為作為點(diǎn)集是有界的點(diǎn)集是有界的. 由聚點(diǎn)原理由聚點(diǎn)原理, 可設(shè)可設(shè) 是是xn 的一個(gè)的一個(gè)推論推論(致密性定理致密性定理) 有界數(shù)列必有收斂子列

14、有界數(shù)列必有收斂子列.的的. .收斂于收斂于 . .聚點(diǎn)聚點(diǎn), , 那么再由定義那么再由定義 2 , ,可知可知 xn 中有中有一個(gè)子列一個(gè)子列 00lim(), , ,().nnf xaxa bf xa 那那么么存存在在使使證證 , ,.nnxa bx 因因故故有有界界 由由致致密密性性定定理理，0.lim.kknnnkxxxx 存存在在一一個(gè)個(gè)收收斂斂子子列列設(shè)設(shè), bxakn 又因又因由極限的不等式性質(zhì)由極限的不等式性質(zhì), 可得可得.0bxa 例例1( ) , , .nf xa bxa b 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，如如果果作為致密性定理的應(yīng)用作為致密性定理的應(yīng)用, 我們來(lái)看下面兩個(gè)例我們來(lái)

15、看下面兩個(gè)例題題. . 例例2 用致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則用致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則. 證證01na 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)柯柯西西列列, ,那那么么對(duì)對(duì)于于， 存存在在0,|1,| | 1.nnnnn nnaaaa 時(shí)時(shí)故故nnmaaaa121max|,|,| 1, 令令nnnama|,. 那那么么對(duì)對(duì)一一切切 ，所所以以是是有有界界數(shù)數(shù)列列.knnaa由由致致密密性性定定理理, ,存存在在的的收收斂斂子子列列f xx0( )由由于于在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù), ,根根據(jù)據(jù)歸歸結(jié)結(jié)原原理理00lim()lim( )().knkxxaf xf xf x aaknk lim設(shè)設(shè).下面證明下面證明 an 以以

16、 a為極限為極限.因?yàn)橐驗(yàn)?an 是柯西列是柯西列, 所以對(duì)于任意正數(shù)所以對(duì)于任意正數(shù)1,n 1,|.nmn mnaa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，lim,knkaa 又又因因?yàn)闉?max,knn nnn 令令當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)|2 ,kknnnnaaaaaa lim.nnaa 所所以以,kk 時(shí)時(shí) 有有,k 所所以以對(duì)對(duì)上上述述存存在在當(dāng)當(dāng)|.knaa 定義定義3 設(shè)設(shè) s 為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集, ,h為一些開(kāi)區(qū)間為一些開(kāi)區(qū)間h( ,). 的的集集合合 即即中中的的元元素素均均為為形形如如的的開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間xshx,( ,),( ,), 若若對(duì)對(duì)于于任任意意都都存存在在使使則稱(chēng)則稱(chēng) h 是是 s 的一個(gè)開(kāi)

17、覆蓋的一個(gè)開(kāi)覆蓋.若若 h是是 s 的一個(gè)開(kāi)覆蓋的一個(gè)開(kāi)覆蓋, 并且并且h 中的元素中的元素(開(kāi)區(qū)開(kāi)區(qū)間間) ) 僅有有限個(gè)僅有有限個(gè), 則稱(chēng)則稱(chēng) h 是是 s 的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋的一個(gè)有限開(kāi)覆蓋.11,1, 2,.(0,1)2hnnn例例如如是是區(qū)區(qū)間間的的一個(gè)開(kāi)覆蓋一個(gè)開(kāi)覆蓋.定理定理7.3 (海涅博雷爾有限覆蓋定理海涅博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)設(shè) h是閉區(qū)間是閉區(qū)間 a, b 的一個(gè)開(kāi)覆蓋的一個(gè)開(kāi)覆蓋, 則從則從 h 中可選中可選證證 證明該定理有多種證明該定理有多種海涅海涅( heine,h.e. 1821-1881,德國(guó)德國(guó) )博雷爾博雷爾( borel,e.1871-1956, 法國(guó)法國(guó)

18、 ) 出出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間有限個(gè)開(kāi)區(qū)間, ,構(gòu)成閉區(qū)間構(gòu)成閉區(qū)間 a, b 的一個(gè)子覆蓋的一個(gè)子覆蓋. .要注意區(qū)間套的取法要注意區(qū)間套的取法.間套定理來(lái)證明間套定理來(lái)證明, 仍然仍然方法方法. 這里還是運(yùn)用區(qū)這里還是運(yùn)用區(qū)若定理不成立若定理不成立, 也就是說(shuō)也就是說(shuō) a, b不能不能被被 h 中任何中任何再將再將 a1, b1 等分成兩個(gè)子區(qū)間等分成兩個(gè)子區(qū)間, 其中至少有一個(gè)其中至少有一個(gè) 有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋. 將區(qū)間將區(qū)間a, b等分成兩個(gè)子等分成兩個(gè)子區(qū)間區(qū)間, 那么這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)不能被那么這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)不能被 h中任意有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋中任意有限個(gè)開(kāi)

19、區(qū)間所覆蓋, 設(shè)該區(qū)間為設(shè)該區(qū)間為a1 , b1. 不能被不能被 h 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋. 設(shè)該區(qū)間為設(shè)該區(qū)間為aba bbaba11111, , ,().2 并并且且顯然有顯然有11(i) ,1, 2,;nnnnababn (iii) 對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間 an, bn, 都不能被都不能被 h 中有限個(gè)中有限個(gè)滿足下列三個(gè)性質(zhì)滿足下列三個(gè)性質(zhì):221122111,().2ababbaba 并并且且a2 ,b2. 同樣有同樣有將上述過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去將上述過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去, 可得一列閉區(qū)間可得一列閉區(qū)間,nnab1(ii)()0,2nnnbaba ;n 11, ,

20、,( ,),abha bh 因因覆覆蓋蓋了了故故存存在在0,.min,7.1 使使（）取取由由定定理理這就是說(shuō)這就是說(shuō), an , bn 被被 h 中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間所覆蓋,1, 2,.nnabn , 由由區(qū)區(qū)間間套套定定理理, ,存存在在惟惟一一的的使使開(kāi)開(kāi)區(qū)間所覆蓋區(qū)間所覆蓋.0,( ;)( ,).nnnabu 論論 存存在在使使的推的推矛矛盾盾. .1(1 )1 2 .1hnn 比比如如開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間集集，覆覆蓋蓋了了區(qū)間區(qū)間 (0, 1). 很明顯很明顯, h 中的任何有限個(gè)開(kāi)區(qū)間均不中的任何有限個(gè)開(kāi)區(qū)間均不 注注 定理定理7.3中的閉區(qū)間不可以改為開(kāi)區(qū)中的閉區(qū)間不可以改

21、為開(kāi)區(qū)間間. .能覆蓋能覆蓋 (0, 1).我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)定理我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)定理, 它它確界定理確界定理 單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理區(qū)間套定理下面證明這六個(gè)定理是等價(jià)的下面證明這六個(gè)定理是等價(jià)的. .們是們是:聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理 有限覆蓋定理有限覆蓋定理 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則 區(qū)間套定理區(qū)間套定理 聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理 確界定理確界定理 有限覆蓋定理有限覆蓋定理 單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理 654321例例3 用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證證 設(shè)設(shè) s 是無(wú)限有界點(diǎn)集是無(wú)限有界點(diǎn)集, 則存在則存在

22、 m 0, 使得使得,.sm m ,ssxm mx 若的聚點(diǎn)集合那么 任給若的聚點(diǎn)集合那么 任給xxx.0( 都都不不是是聚聚點(diǎn)點(diǎn) 這這就就是是說(shuō)說(shuō)存存在在表表示示與與有有xxxxs),(,). 關(guān)使得有限集關(guān)使得有限集在上圖的等價(jià)性關(guān)系中在上圖的等價(jià)性關(guān)系中, 僅僅 和和 尚未證尚未證明明. .這里這里46給出給出 的證明的證明, , 請(qǐng)大家自己閱讀教材請(qǐng)大家自己閱讀教材. .46很明顯很明顯, h 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間 m, m. 根據(jù)有限覆蓋根據(jù)有限覆蓋(,)|,0,xxxhxxxm m (,).xxxxs 有有限限集集設(shè)開(kāi)區(qū)間集設(shè)開(kāi)區(qū)間集0(,)|1, 2,.iiiihxxin 由

23、由h 的構(gòu)造的構(gòu)造,有有限限集集， sxxiiii),( 所以所以有有限限集集， sxxsmmsiiiini),(,1 矛盾矛盾.定理定理, , 存在存在 h 中的有限子覆蓋中的有限子覆蓋7.2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)完備性理論的一個(gè)重要作用就是證一、最大、最小值定理經(jīng)在第四章給出過(guò). 明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)曾 三、一致連續(xù)性定理二、介值性定理首先來(lái)看一個(gè)常用的定理首先來(lái)看一個(gè)常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) , .a b在在上上有有界界證證 用兩種方法給出證明用兩種方法給出證明.第一種方法第一種方

24、法 使用有限覆蓋定理使用有限覆蓋定理. 因?yàn)橐驗(yàn)?f (x) 在在 a, b局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì)局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì).上每一點(diǎn)連續(xù)上每一點(diǎn)連續(xù), 從而局部有界從而局部有界. 我們的任務(wù)就是將我們的任務(wù)就是將 , ,0,0,ttta bm 對(duì)對(duì)于于任任意意的的存存在在以以及及(,) , ,ttxtta b 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)|( )|.tf xm h 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間a, b. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 在在 h 中存中存1111(,), (,)nnttntnttttt , ,1,xa biin 于于任任意意存存在在使使 (,)| , ,ttttta bh 設(shè)設(shè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間

25、間集集顯然顯然12 , .max,nttta bmmmm 覆覆蓋蓋了了令令則對(duì)則對(duì)在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間第二種證法第二種證法 采用致密性定理采用致密性定理.因?yàn)橐驗(yàn)閤n 有界有界, 從而存在一個(gè)收斂的子列從而存在一個(gè)收斂的子列. 為了書(shū)為了書(shū)寫(xiě)方便寫(xiě)方便, 不妨假設(shè)不妨假設(shè) xn 自身收斂自身收斂, 令令0lim.nnxx (,),|( )|.iiiitittxttf xmm 因因此此設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上無(wú)界上無(wú)界, 不妨設(shè)不妨設(shè) f (x)無(wú)上界無(wú)上界. 則存在則存在 lim().nnf x , ,nxa b 使使00,.( ),naxbaxbf xx 因因則則又又因因在在

26、連連續(xù)續(xù)故由歸結(jié)原理可得故由歸結(jié)原理可得 00lim()lim( )(),nnxxf xf xf x 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在a, b 證證 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 因而有界因而有界. 由確界定理由確界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上確界上的值域有上確界. 設(shè)設(shè)上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ).xa bmf x :( , ).,mfa b 要要證證若若不不然然 則則對(duì)對(duì)于于任任意意 , ,xa b 1( )( )f xmf

27、 x ( )f xm ， 于于是是在在a, b 上連續(xù)上連續(xù), 從而有界從而有界, 故存在故存在 g 0, 使使 10( ).( )f xgmf x 這樣就有這樣就有 1( ), , .f xmxa bg這與這與 m 是是 f (x) 在在 a, b 上的上確界矛盾上的上確界矛盾.這就證明了上確界這就證明了上確界 m 與下確界與下確界 m 都是可取到的都是可取到的, 同理可證同理可證:下確界下確界 , inf( )xa bmf x 也屬于也屬于 f (a, b).最小值最小值. 這也就是說(shuō)這也就是說(shuō), m 與與 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 設(shè)函數(shù)設(shè)

28、函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且 ,( , ),a b 實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 則則存存在在使使證證 在第四章中在第四章中, 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理我們已經(jīng)用確界定理證明此定理.現(xiàn)在用區(qū)間套定理來(lái)證明現(xiàn)在用區(qū)間套定理來(lái)證明.( )( ),( ) , ,f xf xf xa b 設(shè)設(shè)則則在在上上連連續(xù)續(xù) 并并且且f ( ). ( )( )f af b 若若是是介介于于與與之之間間的的一一個(gè)個(gè)f (a) f (b).將將 a, b 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a, c, c, b, 若若 f(c)=0, . 0)()( bfaf下去下去, 得到一列閉子區(qū)間得到一列閉子區(qū)間

29、 個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號(hào)個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號(hào). 將這個(gè)過(guò)程無(wú)限進(jìn)行將這個(gè)過(guò)程無(wú)限進(jìn)行f(c1) = 0, 已證已證. 不然同樣可知函數(shù)不然同樣可知函數(shù) f(x) 在其中一在其中一將將 a1 , b1 等分成兩個(gè)區(qū)間等分成兩個(gè)區(qū)間 a1, c1, c1 , b1, 若若 間端點(diǎn)上的值異號(hào)間端點(diǎn)上的值異號(hào), 將這個(gè)區(qū)間記為將這個(gè)區(qū)間記為a1, b1. 再再 已證已證. 不然不然, 函數(shù)函數(shù) f(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū) 11(i) ,1, 2,;nnnnababn (ii)0 ,;2nnnbaban (iii)()()0.nnf af b 由區(qū)間套定理由區(qū)間套定理, 存在

30、惟一的存在惟一的,1, 2,nnabn limlim.( )nnnnabf x并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù),并且因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù),20lim()()( ) ,nnnf af bf 所所以以( )0.:f 即這也就是說(shuō)即這也就是說(shuō).)( f an , bn , 滿足滿足:(定理定理4.9) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在 a ,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 證證 (證法一證法一) 首先用致密性定理來(lái)證明該定理首先用致密性定理來(lái)證明該定理. 在在 設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 上不一致連續(xù)上不一致連續(xù), 即存在即存在對(duì)于對(duì)于, 00 0(), , ,xxa b 一一切切無(wú)無(wú)論論多多么么小小 總總是

31、是存存在在a, b 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 究究. 下述證明過(guò)程中下述證明過(guò)程中, 選子列的方法值得大家仔細(xì)探選子列的方法值得大家仔細(xì)探 |,xx 雖雖然然但但0|()()|.f xf x 現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取11 1111, , ,|1,xxa bxx 110|()()|;f xf x 222211, , ,|,22xxa bxx 220|()()|;f xf x 11, , ,|,nnnnnxxa bxxnn 0|()()|;nnf xf x , , ,nnxxa b 由由此此得得到到兩兩列列雖雖然然1|0,nnxxn 0|()()|.nnf xf x 因?yàn)橐驗(yàn)?xn 有界有界, 從而由致密性

32、定理從而由致密性定理, 存在存在 xn 的的kknnkxxx0.lim. 一個(gè)收斂子列設(shè)一個(gè)收斂子列設(shè).但是總有但是總有, bxakn因?yàn)橐驗(yàn)樗杂蓸O限的不等式性質(zhì)所以由極限的不等式性質(zhì).0bxa連續(xù)連續(xù), 所以由歸結(jié)原理得到所以由歸結(jié)原理得到0lim |()()|kknnkf xf x 矛盾矛盾.(證法二證法二) 再用有限覆蓋定理來(lái)證明再用有限覆蓋定理來(lái)證明.00| lim( )lim( )|0,xxxxf xf x 0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx 因因?yàn)闉橐约耙约?f0,0,( ;) , xxxu xa b 給給存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有|()( )|.2f xf x

33、 考慮開(kāi)區(qū)間集考慮開(kāi)區(qū)間集 ( ;)| ,2xhu xxab 那么那么 h 是是 a, b 的一個(gè)開(kāi)覆蓋的一個(gè)開(kāi)覆蓋. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 因因 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 對(duì)任意一點(diǎn)對(duì)任意一點(diǎn) , ,xa b 任任存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間 1min0,2iin 令令對(duì)于任何對(duì)于任何, , ,x xa b只只要要,| xx那么那么x 必屬于上述必屬于上述 n 個(gè)小區(qū)間中的個(gè)小區(qū)間中的 一個(gè)一個(gè),.22iiiixxx 設(shè)設(shè)于于是是1111(,), (,)2222nnnnxxxx 也覆蓋了也覆蓋了 a, b.|,2iiixx 所以由小區(qū)間的定義得知所以由小區(qū)間的

34、定義得知|()()| |()()|()()|iif xf xf xf xf xf x這就證明了這就證明了)(xf在在a, b上的一致連續(xù)性上的一致連續(xù)性.|,2iiiixxxxxx ,22 *7.3 上極限和下極限數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念, 通過(guò) 一、上(下)極限的基本概念程來(lái)說(shuō), 上(下)極限也是不可缺少的工具.極限或下極限來(lái)解決問(wèn)題. 此外, 對(duì)于不少后繼課考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形, 那時(shí)需要用上冊(cè)第十二、十四章討論級(jí)數(shù)收斂性時(shí), 常會(huì)遇到所它們可得出數(shù)列極限存在的另一個(gè)充要條件. 在下二、上(下)極限的基本性質(zhì)注注 點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的

35、聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于: 定義定義1 若數(shù)列若數(shù)列nx滿足滿足: 在數(shù)在數(shù)0 x的任何一個(gè)鄰的任何一個(gè)鄰域域內(nèi)均含有內(nèi)均含有 中的中的無(wú)限多項(xiàng)無(wú)限多項(xiàng), 則稱(chēng)則稱(chēng) x0 是數(shù)列是數(shù)列nxnx常數(shù)列常數(shù)列()naa 只有一個(gè)聚點(diǎn)只有一個(gè)聚點(diǎn): a . 的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn). 限多個(gè)項(xiàng)限多個(gè)項(xiàng)”. 現(xiàn)舉例如下現(xiàn)舉例如下: 前者要求前者要求 “含有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)含有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)”, 后者要求后者要求 “含有無(wú)含有無(wú) 定理定理7.4 有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn)有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn), 并且有最大并且有最大 但作為數(shù)列但作為數(shù)列來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), 它卻有兩個(gè)聚點(diǎn)它卻有兩個(gè)聚點(diǎn):11. 和和有五有五個(gè)聚點(diǎn)個(gè)聚點(diǎn):1,2 2

36、, 0,2 2, 1. sin4n數(shù)列數(shù)列0,.knxxk 從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出, x0 是數(shù)列是數(shù)列 的的聚聚 nx( 1) n 作為點(diǎn)集來(lái)說(shuō)它僅有兩個(gè)點(diǎn)作為點(diǎn)集來(lái)說(shuō)它僅有兩個(gè)點(diǎn), 故沒(méi)有聚點(diǎn)故沒(méi)有聚點(diǎn); 點(diǎn)點(diǎn)的一個(gè)充要條件是的一個(gè)充要條件是: 存在存在 的一個(gè)子列的一個(gè)子列,knxnx聚點(diǎn)聚點(diǎn)和和最小聚點(diǎn)最小聚點(diǎn). . 又設(shè)又設(shè) |,nex xx 是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)由于由于 e 非空有界非空有界, 故由確界原理故由確界原理, 存在存在sup,inf.aeae 下面證明下面證明a是是 xn 的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn), 亦即亦即.ea證證 設(shè)設(shè)nx為有界數(shù)列為有界數(shù)列,

37、由致密性定理由致密性定理, 存在一個(gè)存在一個(gè) 的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn).0nxx是是收斂子列收斂子列0,(),kknnxxxk 于是于是首先首先, 由上確界的性質(zhì)由上確界的性質(zhì), 存在存在,ean 使使.aan,11 存在存在,1nx使使;1|11 axn,212 存在存在221(),nxnn 使使221|;2nxa(,)iiaa nx內(nèi)含有內(nèi)含有的無(wú)限多項(xiàng)的無(wú)限多項(xiàng). 現(xiàn)依次令現(xiàn)依次令 ,1kk 存在存在1(),knkkxnn 使使;1|kaxknk 因?yàn)橐驗(yàn)閕a是是nx的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), , 所以對(duì)任意正數(shù)所以對(duì)任意正數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 , .這樣就得到了這樣就得到了 xn 的一個(gè)子列滿足的一個(gè)子列

38、滿足:, knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaa.ea 同理可證同理可證.ea定義定義 2 有界數(shù)列有界數(shù)列nx的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn)a與最小聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn) a分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為nx的上、下極限的上、下極限, 記為記為 lim,lim.nnnnaxax 即證得即證得,nax也也是是的的一一個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn) 所所以以注注 由定理由定理 7.4 得知得知, 有界數(shù)列必有上有界數(shù)列必有上、下極限下極限. 提供了一個(gè)新的平臺(tái)提供了一個(gè)新的平臺(tái). 的上的上、下極限總是存在的下極限總是存在的, 這為研究數(shù)列的性質(zhì)這為研究數(shù)列的性質(zhì) 極限來(lái)研究該數(shù)列往往是徒勞的極限來(lái)研究該數(shù)列往往是徒勞的; 但

39、是有界數(shù)但是有界數(shù)列列 數(shù)列若有界數(shù)列若有界, 它的極限可以不存在它的極限可以不存在, 此時(shí)想通過(guò)此時(shí)想通過(guò) 這樣這樣, 上上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來(lái)了下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來(lái)了: 一個(gè)一個(gè) 例例1 考察以下兩個(gè)數(shù)列的上考察以下兩個(gè)數(shù)列的上、下極限、下極限: :lim( 1)1,lim( 1)1.11nnnnnnnn 111limlim0 (lim);nnnnnn 從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系. . 詳細(xì)討論請(qǐng)見(jiàn)下文詳細(xì)討論請(qǐng)見(jiàn)下文. . 由上由上、下極限的定義下極限的定義, 立即得出立即得出:定

40、理定理7.5 對(duì)任何有界數(shù)列對(duì)任何有界數(shù)列, nx有有 下面這個(gè)定理刻畫(huà)了極限與上下面這個(gè)定理刻畫(huà)了極限與上、下極限之間的關(guān)下極限之間的關(guān)系系.定理定理7.6有界數(shù)列有界數(shù)列nx存在極限的充要條件是存在極限的充要條件是:limlim.nnnnxx (1)limlim.nnnnxx (2)limlim.nnnnxx 證證設(shè)設(shè)lim.nnxa 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù)在在, ( ; )u a 之外之外 只有只有有限項(xiàng)有限項(xiàng). 這樣這樣, 對(duì)任意的對(duì)任意的 若若,ba nx0( ;)u a 在在之之外外 只有有限項(xiàng)只有有限項(xiàng). 這就是說(shuō)這就是說(shuō), bnx不是不是 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 故故 僅有一個(gè)聚點(diǎn)僅

41、有一個(gè)聚點(diǎn) a, 從而從而nxnx那么在那么在內(nèi)內(nèi)( 此時(shí)必此時(shí)必0|0,2ba 0( ;)u b 取取反之反之, 若上式成立若上式成立, 則則 的聚點(diǎn)惟一的聚點(diǎn)惟一 (設(shè)為設(shè)為 a) , nx一的假設(shè)相矛盾一的假設(shè)相矛盾. .另一聚點(diǎn)另一聚點(diǎn), , 導(dǎo)致與聚點(diǎn)惟導(dǎo)致與聚點(diǎn)惟 性定理性定理, , 這無(wú)限多項(xiàng)必有這無(wú)限多項(xiàng)必有 nx的無(wú)限多項(xiàng)的無(wú)限多項(xiàng). . 由致密由致密 0( ;)u a 之外含有之外含有使得在使得在00, 倘若不然倘若不然, ,則存在則存在 lim.nnxa 此時(shí)易證此時(shí)易證定理定理7.7設(shè)設(shè)nx為有界數(shù)列為有界數(shù)列, 則有則有1limnnxa 的充要條件是的充要條件是: 對(duì)

42、于任意的對(duì)于任意的, 0 (i) 存在存在 n, 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí), ; axn(ii),1, 2,.kknnxxak 存在存在lim2nnxb 的充要條件是的充要條件是: 對(duì)于任意的對(duì)于任意的0, (i) 存在存在 n, 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí), ; bxn(ii),1, 2,.kknnxxbk 存存在在證證 在形式上是對(duì)稱(chēng)的在形式上是對(duì)稱(chēng)的, 所以?xún)H證明所以?xún)H證明 .12和和1 .limaxnn必要性必要性 設(shè)設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)?a 是是nx的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn), ,使得使得所以存在所以存在, knx(),knxak 故對(duì)于任故對(duì)于任意的意的 存在存在 0, 0,k 當(dāng)當(dāng) k k 時(shí)，時(shí)，.knax

43、 將將knx中的前面中的前面 k 項(xiàng)剔除項(xiàng)剔除, 這樣就證明了這樣就證明了(ii).,)a 上上, 至多只含至多只含nx的有限項(xiàng)的有限項(xiàng). 不然的不然的 話話, 因?yàn)橐驗(yàn)閚xnx有界有界, 故故在在 上上,)a 還有聚點(diǎn)還有聚點(diǎn), 這與這與 a 是最大聚點(diǎn)相矛盾是最大聚點(diǎn)相矛盾. 設(shè)這有限項(xiàng)設(shè)這有限項(xiàng) 又因又因 a 是是nx的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn), 所以對(duì)上述所以對(duì)上述 在區(qū)間在區(qū)間, 的最大下標(biāo)為的最大下標(biāo)為 n, 那么當(dāng)那么當(dāng) n n 時(shí)時(shí),.nxa 充分性充分性 任給任給,0 綜合綜合 (i) 和和 (ii), 在在),( aa上含有上含有 xn 的無(wú)限項(xiàng)的無(wú)限項(xiàng), 即即 a 是是 xn

44、的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .而對(duì)于任意的而對(duì)于任意的0,2aaaa 令令由由于于滿滿足足02naaxa 的的項(xiàng)項(xiàng)至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè), ,這說(shuō)明在這說(shuō)明在),(00 aalim.nnxa 定理定理7.8 (保不等式性保不等式性)設(shè)設(shè) xn , yn 均為有界數(shù)均為有界數(shù) xn 的有限項(xiàng)的有限項(xiàng), 故故 不是不是 xn 的的上也上也至多只有至多只有a 從而有從而有聚點(diǎn)聚點(diǎn), ,所以所以 a 是是 的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn) .nx.nnxy 列列, ,并且滿足并且滿足: : 存在存在當(dāng)當(dāng) n n0 時(shí)時(shí), , 有有00,n 則取上則取上(下下)極限后極限后, 原來(lái)的不等號(hào)方向保持不變?cè)瓉?lái)的不等號(hào)方向保持

45、不變:證證 設(shè)設(shè)lim, lim,nnnnxayb 因?yàn)橐驗(yàn)?b 是是 yn 的的聚聚點(diǎn)點(diǎn), 所以存在所以存在 , knylim.kknnkybx 又又有有界界，特別若特別若 則更有則更有,nnaxyb故存在故存在 的一個(gè)收斂子列的一個(gè)收斂子列 ,knxkjnxlim.kjnjxa limlim,limlim.nnnnnnnnxyxy (3).limlimbyxannnn(4).aab 同理可證關(guān)于上極限的不等式同理可證關(guān)于上極限的不等式; 而而 (4) 式則可由式則可由,kkjjnnxy 又因又因 (1) 與與 (3) 式直接推得式直接推得. nx的最小聚點(diǎn)的最小聚點(diǎn) a 理應(yīng)理應(yīng)滿足滿足的

46、聚點(diǎn)的聚點(diǎn), , 它與它與ba nxj a 也也是是. . 由于由于的極限的極限, ,便得便得取取證證 這里這里只證明只證明 (i) , (ii) 可同理證明可同理證明. 設(shè)設(shè)lim,lim.nnnnaabb由定理由定理7.7, 存在存在 n, 當(dāng)當(dāng) n n 時(shí)時(shí),2,2 bbaann(i) lim()limlim;nnnnnnnabab (5)(ii) lim()limlim.nnnnnnnabab (6)例例1, nnba都是有界數(shù)列都是有界數(shù)列, 那么那么設(shè)設(shè)再由定理再由定理 7.8 的的 (4) 式式, 得得lim().nnnabab 因?yàn)橐驗(yàn)?是任意的是任意的, 故故 lim ()l

47、imlim.nnnnnnnababab 注注 這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生, 例如例如1( 1),( 1) .nnnnab 故故. babann例例2 設(shè)設(shè) , 且且limlimnnnnxabx 1lim ()nnnxx .0 求證求證 的全體聚點(diǎn)的集合為的全體聚點(diǎn)的集合為nx.,ba證證 設(shè)設(shè) e 是是 的全體聚點(diǎn)的集合的全體聚點(diǎn)的集合, 顯然有顯然有nxlim1 , lim1 ,nnnnab lim ()0.nnnab 而而,bae ,.aebe 內(nèi)僅含內(nèi)僅含 的有限的有限項(xiàng)項(xiàng):nx,00 00(;)u x 在在任給任給 , 欲證欲證 如若不然如若不然, 則存在則存在),(0bax 0.xe 1212,().nnnnnxxxnnn 之內(nèi)之內(nèi). 又因又因 所以存在所以存在1lim()0,nnnxx ,k 當(dāng)當(dāng)nk 時(shí),有時(shí),有010.(7)nnxx 這就是說(shuō)這就是說(shuō), 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 所