恒成立問題與有解問題的區(qū)別Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！恒成立問題與有解問題的區(qū)別恒成立與有解問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。它是函數(shù)、不等式等內(nèi)容交匯處的一個(gè)較為活躍的知識(shí)點(diǎn)，在近幾年的試題中，越來(lái)越受到命題者的青睞，涉及恒成立與有解的問題，有時(shí)在同一套試題中甚至有幾道這方面的題目。1、恒成立問題1.1恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0)，若y=f(x)在m，n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于) 或)，亦可合并定成，同理，若在m，n內(nèi)恒有f(x)<0，則有【例1】 對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x2+px+1>

2、;2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及p，關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0，設(shè)f(p)= (x-1)p+x2-2x+1，則f(p)在-2，2上恒大于0，故有： 即，解得： x<-1或x>3.1.2恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，則有，若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解?！纠?】 設(shè)f(x)=x2-2a

3、x+2，當(dāng)x-1，+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間-1，+)時(shí)恒大于0的問題。解：設(shè)f(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=4(a-1)(a+2)<0時(shí)，即-2<a<1時(shí)，對(duì)一切x-1，+)，f(x)0恒成立；-1o)當(dāng)=4(a-1)(a+2)0時(shí)，則由圖可得：即，得-3a-2綜合可得a的取值范圍為-3，1?！纠?】 設(shè)f(x)=x22ax+2，當(dāng)x1，+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把

4、原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1，+)時(shí)恒大于0的問題。解：設(shè)f(x)=f(x)a=x22ax+2a 當(dāng)a1時(shí)，f(x)在1，+)上單調(diào)遞增，只需f(1)0，即1+2a+2a03a1當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在1，a上單調(diào)遞減，在a，+)上單調(diào)遞增只需f(a)0，即a22a2+2a0，得2a1;綜合可得a的取值范圍為3，1。1.3恒成立問題與變量分離聯(lián)系若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解?！纠?】 已知當(dāng)xr時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+

5、a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xr)，另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<a2-a+5要使上式恒成立，只需a2-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33，a2-a+5>3即a2a2>0解得a<1或a>2。注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx換元成t

6、，則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。2、有解問題【例5】 不等式kx2+k2<0有解，求k的取值范圍。解：不等式kx2+k2<0有解Û k(x2+1)<2有解Û k<有解Û k<()max=2，k(，2)?！纠?】 對(duì)于不等式|x2|+|x+1|<a，存在實(shí)數(shù)x，使此不等式成立的實(shí)數(shù)a的集合是m；對(duì)于任意x0，5，使此不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的集合為n，求集合m、n解：由f(x)=|x2|+|x+1|= 又a>f(x)有解Û a>f(x)min=3，m=a|a>3令g(x)=|x2|+|x+1|，x0，5，則a>g(x)恒成立Û a>g(x)max=g(5)=9n=a|a>93、恒成立與有解的區(qū)別（1)不等式f(x)<k在xi時(shí)恒成立Û fmax(x)<k，xi或f(x)的上界小于或等于k；（2)不等式f(x)<k在xi時(shí)有解Û fmin(x)<k，xi 或f(x)的下界小于k；（3)不等式f(x)>k在xi時(shí)恒成立Û fmin(x)>k，xi或f(x)的下界大于或等于k；（4)不等式f(x)>k在xi時(shí)有解Û