空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 講義- 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，而向量是連接幾何和代數(shù)的橋梁，空間向量更是解決立體幾何問題的有利工具，也是高考考查的重要內(nèi)容.使用向量方法研究立體幾何問題，把對空間的研究從“定性”推向“定量”，有利于克服學(xué)生空間想象力不足的障礙和空間作圖的困難，從而降低了立體幾何的難度.縱觀近幾年高考，重點(diǎn)考查了利用空間向量計(jì)算異面直線所成的角、線面角、二面角等問題，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，題目難度為中檔題.一、利用空間向量判斷線面位置關(guān)系圖1例1（2023·浙江改編）(多選)如圖1，在三棱錐中，，，，分別為的中點(diǎn)，平面，則下列判斷中正確的是()圖1A.平面 B.平面C. D.平面平面解析：在三棱錐中，，，連接，則，如圖2，圖2以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則圖2，，，，，故，，，，，∵平面，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，得.∵，∴//平面，故選項(xiàng)正確；∵，∴平面，故選項(xiàng)正確；∵，∴與不垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴平面，故選項(xiàng)正確；故選.方法點(diǎn)睛：利用空間向量解決線面位置關(guān)系，具體思路如下：1.證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.2.用向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?二、利用空間向量求夾角（一）利用空間向量求異面直線所成角例2（2023新高考調(diào)研）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)M在線段上，E，F(xiàn)分別為，AD的中點(diǎn)．若異面直線EF與BM所成角為，則的值可能是（

）A． B． C． D．解析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3．設(shè)DA＝2，,圖3故，，．設(shè)，則，則.圖3當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，所以的取值范圍為,故選:．方法點(diǎn)睛：利用空間向量求異面直線所成角的一般步驟為：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出異面直線、的方向向量分別，；③利用公式求出夾角.（二）利用空間向量求直線與平面所成角圖4例3、（2022·山西模擬）如圖4，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，點(diǎn)E在SD上，且．若，，，平面ABCD．圖4（1）若M，N分別為SA，SC的中點(diǎn)，證明：平面平面ACE；（2）求直線BS與平面ACE所成角的正弦值．解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椤?，所以，圖5所以，如圖5，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，圖5因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，而，又∵，∴也是平面的法向量，∴平面∥平面.（2）由（1）知：，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以設(shè)直線與平面所成角為的正弦值為.方法點(diǎn)睛：利用空間向量求線面角的一般步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出直線的方向向量和平面的法向量；③記直線與平面所成角為，利用公式求解.易錯(cuò)點(diǎn)：經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，然后用，忽略了兩角是互余或相差的關(guān)系.（三）利用空間向量求二面角圖6例4（2023·北京模擬）．如圖6，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．圖6（1）求證：平面．（2）求二面角的余弦值．解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，由等腰梯形性質(zhì)可知，連接，則.所以，如圖7，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．等腰梯形中，∵點(diǎn)在線段上，且，∴．又，．，為等邊三角形，∴．∴，，，，．∴，，，圖7∵,∴是平面法向量，圖7∴平面．（2）解：由（1）知，．∴，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，∴．設(shè)平面的法向量為，，，則，即．令，則，，∴．設(shè)平面與平面的夾角為，則，二面角的余弦值為．方法點(diǎn)睛：利用空間向量向量求二面角的一般步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩平面的法向量為、；③記二面角的平面角為，利用公式；④結(jié)合圖形，當(dāng)二面角是銳二面角時(shí)，，當(dāng)二面角是鈍二面角時(shí)，．特別強(qiáng)調(diào)：如果是求面與面的夾角，余弦值非負(fù).三、利用空間向量求距離線線距、線面距及面面距實(shí)質(zhì)為點(diǎn)線距、點(diǎn)面距，前提是線線、線面、面面平行，所以，我們重點(diǎn)研究點(diǎn)線距和點(diǎn)面距.（一）點(diǎn)到直線的距離圖8例5（2022·安徽）如圖8，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）圖8A．B． C．D．2解析：因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，因?yàn)閳D9所以如圖9，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，圖9則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：A圖9方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到直線距離的一般步驟：①結(jié)合圖形特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系；②求出直線的方向向量；③在直線上找一點(diǎn)，計(jì)算在上的投影向量的長度；=4\*GB3④利用勾股定理計(jì)算距離：.圖9（二）點(diǎn)到平面的距離例6（2022·湖南）某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖10，E、F、G分別是邊長為的正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖11）．若二面角是直二面角，圖11圖10圖11圖10(1)若是四邊形對角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．解析：由圖10，得，折起后在圖11中仍有，，∴即為二面角的平面角，∴，圖12如圖12，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S，軸，的正向建立空間直角坐標(biāo)系，圖12由圖10可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，且，∴、、、、、，，（1）證明：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，取，則于是平面的一個(gè)法向量∵，且平面，∴平面.（2）解：∵又由（1）知平面的一個(gè)法向量∴點(diǎn)B到平面的距離為.方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系，寫對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；②在平面內(nèi)選任一點(diǎn)，寫出；③求出平面的法向量；=4\*GB3④利用點(diǎn)到平面的距離公式.總之，要想利用空間向量解決