正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例(解析版)

1、正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例考點(diǎn)梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等2實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖)(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)【助學(xué)·微博】解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理

2、解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實際問題中提煉數(shù)學(xué)問題的能力(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組

3、)得出所要求的解考點(diǎn)自測1(2012·江蘇金陵中學(xué))已知ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則三角形的面積等于_解析記三角形三邊長為a4，a，a4，則(a4)2(a4)2a22a(a4)cos 120°，解得a10，故S×10×6×sin 120°15.答案152若海上有A，B，C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，BAC60°，ABC75°，則B，C間的距離是_海里解析由正弦定理，知.解得BC5(海里)答案53(2013·日照調(diào)研)如圖，一船自西向東勻速航行，上午1

4、0時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為_海里/時解析由正弦定理，得MN34(海里)，船的航行速度為(海里/時)答案4在ABC中，若2absin Ca2b2c2，則ABC的形狀是_解析由2absin Ca2b2c2，a2b2c22abcos C相加，得a2b22absin.又a2b22ab，所以sin1，從而sin1，且ab，C時等號成立，所以ABC是等邊三角形答案等邊三角形5(2010·江蘇卷)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若6cos C，則的值是_解析利用正、余弦定理將角化為邊來

5、運(yùn)算，因為6cos C，由余弦定理得6·，即a2b2c2.而·4.答案4考向一測量距離問題【例1】 如圖所示，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC0.1 km.(1)求證：ABBD；(2)求BD.(1)證明在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1.又BCD180°60°60°60°，故CB是CAD底邊AD

6、的中垂線，所以BDBA.(2)解在ABC中，即AB(km)，因此，BD(km)故B、D的距離約為 km.方法總結(jié) (1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解(3)應(yīng)用題要注意作答【訓(xùn)練1】 隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距千米的C，D兩點(diǎn)，同時測得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離解如題圖所示，在ACD中，ADC30°，ACD120°，CAD30&

7、#176;，ACCD(千米)在BDC中，CBD180°45°75°60°.由正弦定理，可得BC(千米)在ABC中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22AC·BCcosBCA，即AB2()222·cos 75°5，AB(千米)所以兩目標(biāo)A，B間的距離為千米考向二測量高度問題【例2】 (2010·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)該小組已測得一組、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干

8、測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測量精度若電視塔的實際高度為125 m，試問d為多少時，最大？解(1)由AB，BD，AD及ABBDAD得解得H124.因此，算出的電視塔的高度H是124 m.(2)由題設(shè)知dAB，得tan .由ABADBD，得tan ，所以tan()，當(dāng)且僅當(dāng)d，即d55時，上式取等號所以當(dāng)d55時，tan()最大因為0<<<，則0<<，所以當(dāng)d55時，最大故所求的d是55 m.方法總結(jié) (1)測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個三角形應(yīng)用正、余弦

9、定理(3)注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形【訓(xùn)練2】如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問題【例3】 我國海軍在東海舉行大規(guī)模演習(xí)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A(1)km的B處有一艘“敵艦”在A處北偏西75°的方向，距離A 2 km的C處的“大連號”驅(qū)逐艦奉命以10 km/h的速度追截“敵艦”此時，“敵艦”正以10 km/h的速度從B

10、處向北偏東30°方向逃竄，問“大連號”沿什么方向能最快追上“敵艦”？解設(shè)“大連號”用t h在D處追上“敵艦”，則有CD10t，BD10t，如圖在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222·(1)·2·cos 120°6BC，且sinABC·sinBAC·.ABC45°，BC與正北方向垂直CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即“大連

11、號”沿東偏北30°方向能最快追上“敵艦”方法總結(jié) 用解三角形知識解決實際問題的步驟：第一步：將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題；第二步：將有關(guān)條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個或兩個三角形中第三步：用正弦定理和余弦定理解這個三角形第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)果【訓(xùn)練3】 (2013·廣州二測)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達(dá)C處(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依題意知，BAC120&#

12、176;，AB12(海里)，AC10×220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28(海里)所以漁船甲的速度為14海里/時(2)在ABC中，因為AB12(海里)，BAC120°，BC28(海里)，BCA，由正弦定理，得.即sin .高考經(jīng)典題組訓(xùn)練1(四川卷改編)如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE1，連結(jié)EC、ED，則sinCED_.解析在RtEAD和RtEBC中，易知ED，EC，在DE

13、C中，由余弦定理得cosCED.sinCED.答案2(2011·新課標(biāo)卷)在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120°，AB2BC2sin C4sin(120°C)2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角由于0°C120°，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.答案23(湖北卷改編)若ABC的三邊長為

14、連續(xù)三個正整數(shù)，且A>B>C,3b20acos A，則sin Asin Bsin C_.解析由A>B>C，得a>b>c.設(shè)ac2，bc1，則由3b20acos A，得3(c1)20(c2)·，即3(c1)2c10(c1)(c2)(c3)，解得c4，所以a6，b5.答案6544.(2·陜西卷)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/

15、時，該救援船達(dá)到D點(diǎn)需要多長時間？解由題意知AB5(3)海里，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，所以ADB180°(45°30°)105°，在ADB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30°(90°60°)60°，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD·BC·cosDBC3001 2002×10×20×900，所以CD30(海里)，則需要

16、的時間t1(小時)所以救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時（江蘇省2013屆高三高考壓軸數(shù)學(xué)試題）在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=5,b=4,cos(A-B)=. () 求sin B的值;() 求cos C的值.分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1若渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實際航行的速度為(精確到0.1 km/h)_答案13.5 km/h2江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60

17、°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.解析如圖，OMAOtan 45°30 (m)，ONAOtan 30°×3010 (m)，由余弦定理得，MN 10 (m)答案103某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為_解析如圖，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()232x22×3x×cos 30°，即x23x60，解得x1，x22，經(jīng)檢測均合題意答案或24.如圖所示，為了測量河對岸A，B兩

18、點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CDa和ACD60°，BCD30°，BDC105°，ADC60°，則AB的長為_解析在ACD中，已知CDa，ACD60°，ADC60°，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因為ACB30°，所以利用余弦定理可以求得A，B兩點(diǎn)之間的距離為ABa.答案a5(2010·新課標(biāo)全國卷)在ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BDCD，ADB120°，AD2，若ADC的面積為3，則BAC_.解析由A作垂線AHBC于H.因為SADCDA

19、83;DC·sin 60°×2×DC·3，所以DC2(1)，又因為AHBC，ADH60°，所以DHADcos 60°1，HC2(1)DH23.又BDCD，BD1，BHBDDH.又AHAD·sin 60°，所以在RtABH中AHBH，BAH45°.又在RtAHC中tanHAC2，所以HAC15°.又BACBAHCAH60°，故所求角為60°.答案60°6.如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測得點(diǎn)A的仰角為60

20、6;，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得BDC45°，則塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10(米)，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，BC10(米)在RtABC中，tan 60°，ABBCtan 60°10(米)答案10二、解答題(每小題15分，共30分)7(2011·常州七校聯(lián)考)如圖，在半徑為、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)N、M在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y，(1)按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：設(shè)PNx，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)POB，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；(2)請你選