【教案】直線與直線垂直 教案-（人教A版2019）必修第二冊(cè)

1、8.6.1直線與直線垂直一、教學(xué)目標(biāo) 1. 理解兩異面直線所成角的定義，會(huì)求兩異面直線所成的角2. 掌握證明兩條異面直線垂直的方法二、教學(xué)重點(diǎn) 理解異面直線所成角的定義以及證明兩直線垂直教學(xué)難點(diǎn) 會(huì)求兩異面直線所成的角三、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧情境引入問題1：空間兩條直線有哪些位置關(guān)系觀察：如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線 AB都是異面直線，直線A'C'與A'D'相對(duì)于直線AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?答：我們知道，平面內(nèi)兩條直線

2、相交形成4個(gè)角,其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)，它刻畫了一條直線相對(duì)于另一條直線傾斜的程度，類似地，我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系2、探索新知1）異面直線a與b所成的角(或夾角)如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線，我們把直線與所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）問題1：直線a、b所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎?答：無關(guān)2）異面直線互相垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作ab 特別的，當(dāng)兩條直線a、b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°

3、;. 所以空間兩條直線所成角的取值范圍是0°90°【例1】如右圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1 (1)哪些棱所在的直線與直線AA1垂直？ (2)求直線BA1與CC1所成角的大小 (3)求直線BA1與AC所成角的大小解：(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直線與直線AA1垂直(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)镃C1BB1，所以B1BA為直線BA1與CC1所成的角.而B1BA=45°(3)連接A1C1、BC1.所以B1BA為直線BA1與CC1所成的角.在正方體ABCDA1B1C1D1中，AC/A1C1，則BA1

4、C1為直線BA1與AC所成的角.而A1BC1是等邊三角形，所以BA1C1=60°，從而直線BA1與AC所成的角等于60°【例2】如圖所示，在長方體ABCDEFGH中，ABAD2，AE2(1)求直線BC和EG所成的角(2)求直線AE和BG所成的角解：(1) 連接ACEGAC，ACB即是BC和EG所成的角在長方體ABCDEFGH中，ABAD2tanACB1，ACB45°直線BC和EG所成的角是45°(2) AEBFFBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBGFBG60°直線AE和BG所成的角是60°方法規(guī)律：求兩異面直線所成角的三個(gè)步驟

5、(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角(2)證：證明作出的角就是要求的角(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二證三計(jì)算”來概括.同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<90°【例3】如右圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1 為底面A1B1C1D1的中心，求證:AO1BD證明：如圖，連接是正方體，四邊形是平行四邊形.直線與所成的角即為直線與BD所成的角連接，易證又為底面的中心，為的中點(diǎn)【例4】空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G2，GE，EF3求證：ACBD證明：點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)GEBD，同

6、理GFACFGE或FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角在EFG中，F(xiàn)G2，GE，EF3滿足FG2GE2EF2FGE90°即異面直線AC與BD所成的角是90°.ACBD方法規(guī)律：證明兩條異面直線垂直的步驟：(1)恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角(2)證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證四、課堂練習(xí)P148 練習(xí) 1、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CD1與DC1相交于點(diǎn)O，求證：AOA1B.證明：如圖，ABCDA1B1C1D1是正

7、方體A1D1BC四邊形A1D1CB是平行四邊形A1BD1C直線AO與A1B所成角即為直線AO與D1C所成角連接AC，AD1，易證ACAD1又O為CD1的中點(diǎn)AOD1CAOA1B2、如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D、E分別是VB、VC的中點(diǎn)，求異面直線DE與AB所成的角解：因?yàn)镈、E分別是VB、VC的中點(diǎn)所以BCDE因此ABC是異面直線DE與AB所成的角又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)所以ABC是以ACB為直角的等腰直角三角形所以ABC45°故異面直線DE與AB所成的角為45°五、課堂小結(jié)1、在研究異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角，將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°，解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大小2