七年級數(shù)學(xué)相交線、平行線華東師大版知識精講

1、初一數(shù)學(xué)相交線、平行線華東師大版【本講教育信息 】一 . 教學(xué)內(nèi)容：相交線、平行線學(xué)習(xí)要求：1. 理解垂線段的概念，點(diǎn)到直線的距離，垂線的性質(zhì)；2. 會過一點(diǎn)作已知直線的垂線；3. 掌握對頂角的概念和性質(zhì)，并會應(yīng)用；4. 理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念與區(qū)別；5. 會識別三線八角；6. 掌握平行線的概念，平行線的畫法；7. 理解經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；8. 掌握平行線的特征，掌握識別平行線的方法。知識內(nèi)容：一 . 相交線部分1. 相交線的定義在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線，如圖， AB 與 CD 相交于點(diǎn) P。ACPDB2.

2、對頂角的定義若一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角就叫做對頂角。如圖：AD324 1CB1和2 ，3和4 都是對頂角由此可見，對頂角具有三個特征：（ 1）有兩個角（ 2）有一個公共頂點(diǎn)（ 3）角的兩邊互為反向延長線，所以兩條直線相交，就構(gòu)成了兩對對頂角3. 對頂角的性質(zhì)對頂角相等4. 關(guān)于垂線在垂線定義中，兩條直線相交成四個角中哪一個角是直角，都可以判定兩條直線垂直。反之，已知兩直線垂直，那么它們的四個交角中無論哪個角都是直角。5. 垂線的性質(zhì)（ 1）過直線上或過直線外一點(diǎn)，可以作這條直線的一條垂線，并且只能作一條；（ 2）垂線段最短。用心愛心專心6. 點(diǎn)到直線的距離

3、這里的距離是指垂線段的長度，而不能說垂線段是距離。7. 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角23176485圖 1同位角：在兩條直線的上方（與下方），在另一條直線的同側(cè)的角是同位角，如圖1 中，同位角有1和 5， 2和 6， 3和7，4和8內(nèi)錯角：在兩條直線的內(nèi)側(cè)， 在另一條直線的兩旁的角是內(nèi)錯角，如圖 1中，3和5 ，4 和6 都是內(nèi)錯角。同旁內(nèi)角：在兩條直線的內(nèi)側(cè)，在另一條直線的同旁的角是同旁內(nèi)角，如圖1 中，3和 6 ， 4 和 5是同旁內(nèi)角。圖 1 就是三線八角。二 . 平行線部分1. 平行線定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。如圖2：ab圖 2理解此概念關(guān)鍵有兩點(diǎn)：（ 1）在同一平面內(nèi)

4、；（ 2）不相交。在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線有兩種位置關(guān)系：（ 1）相交；（ 2）平行。2. 平行線的畫法按“一落”、“二靠”、“三移”、“四畫”的過程進(jìn)行一落：用三角板的一邊落在已知直線上二靠：用直尺緊靠三角形的另一邊三移：沿直尺移動三角板，使三角板與已知直線重合的邊過已知點(diǎn)四畫：沿三角板過已知點(diǎn)的邊畫直線3. 平行公理（即平行線的基本性質(zhì)）經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。由平行公理還可以得到一個推論即平行線的基本性質(zhì)二。定理：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。4. 平行線的判定（ 1）同位角相等，兩直線平行；（ 2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（ 3

5、）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；用心愛心專心（ 4）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。5. 平行線的性質(zhì)（ 1）兩直線平行，同位角相等；（ 2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（ 3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（ 4）垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一直線。【典型例題】例 1. 已知，如圖，直線AB和 CD 相交于O， OECD 于 O， OFAB 于 O，DOF65 ，求BOE 和AOC 的度數(shù)。FDAOBCE分析： 由圖形和已知條件知BOD 和DOF 互余，BOE 和BOD 互余，且BOD 和AOC 是對頂角。解：OFAB， DOF65B O D90 65 25

6、（垂直定義）AOCBOD25 （對頂角相等）OE CDB O E902565 （垂直定義）小結(jié)：垂線概念為重點(diǎn)。若已知兩條直線垂直，則四個交角均為直角，根據(jù)題目的需要選用一個即可，這是常用的證題方法。例 2. 已知，如圖， AO BO 于 O， OD 平分 BOC ，OE 平分 AOC ，求 EOD 的度數(shù)。AECD2 1OB分析： 根據(jù)角平分線的概念及垂直的概念，即可求出EOD 的度數(shù)。解：AO OB （已知）A O B90 （垂直定義）OD 平分BOC ， OE 平分AOC （已知）1BOC，1A O C（角平分線定義）1222EOD 121( BOC AOC)190 4522用心愛心專心

7、例 3. 已知，如圖， 1， 2， 3， 4， 5， 6 中，同位角有哪些，內(nèi)錯角有哪些及同旁內(nèi)角有哪些？342516分析： 注意區(qū)分這三種角，嚴(yán)格按定義去找。解： 同位角有1和3，4 和6內(nèi)錯角有：2 和4 ，5 和3255616同旁內(nèi)角：3和4，12，和，和，和和例 4. 讀下列語句，并畫出圖形（ 1）直線 AB 、CD 是相交直線，點(diǎn) P 是直線 AB 、CD 外的一點(diǎn)，直線 EF 經(jīng)過點(diǎn) P 與直線 AB 平行，與直線 CD 相交于 E（ 2）點(diǎn) P 是直線 AB 外的一點(diǎn)，直線CD 經(jīng)過點(diǎn) P，且與直線AB 平行分析：畫平行線是幾何畫圖的基本技能之一， 在以后的畫圖中， 常常會遇到畫

8、平行線的問題。我們可以采用直尺和三角板來畫，固定直尺不動，按要求移動三角板畫出平行線。如圖 1、2。DPEFCPABCA圖 1圖 2例 5. 已知，如圖，直線AB、CD 被 EF 所截，12，求證： AB/CDEA1B3C4 5D2F分析： 欲證 AB/CD ，根據(jù)平行線判定公理和定理，只需證明32或14 或34 或35 180即可證明：13 （對頂角相等）1 2 （已知）3 2 （等量代換）AB/CD （同位角相等，兩直線平行）小結(jié)：本題也可先證明34 ，利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來證，還可先證明35180 ，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”來證。用心愛心專心例 6. 已知，如圖，BE

9、平分ABC ，12 ，求證： BC/DEAD2E1 3BC證明：BE 平分ABC （已知）1 3（角平分線定義）又12 （已知）3 2 （等量代換）BC/DE （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）例 7. 已知，如圖，DE/BC ，D：DBC2： 1，12 ，求DEB?D E?21BC分析： 圖形中 DE/BC ， BD 與 BE 都可以是平行線的截線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，有DEB1，D12180再結(jié)合已知條件可求DEB解：DE/BC （已知）D D B C 180 （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又D 2 DBC （已知）D B C 60 （等量代換）DBC12，12（已知）1 30 （等量代換）又 DE

10、/ BC （已知）1 D E B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） D E B 30 （等量代換）總結(jié)：平行線有3 個性質(zhì)， 其基本圖形都是兩條平行線被第三條直線所截，在本例求解過程中，關(guān)鍵是在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出應(yīng)用性質(zhì)的基本圖形，利用性質(zhì)和已知條件求解。例 8. 已知，如圖AE BC 于 E，12 ，求證： DCBC用心愛心專心DA12BEC分析：證明兩條直線互相垂直的方法有兩種。即：由垂直的定義證或者由判定定理；“垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一直線?！弊C出。證法 1：12 （已知）AE/DC （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）D C BAEB （兩直線平行，同位角相等）又 AE BC （已知）AEB

11、90 （垂直定義）D C BAEB 90 （等量代換）DCBC （垂直定義）證法 2：12 （已知）AE/DC （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）又 AE BC （已知）DCBC （垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條直線）小結(jié)：比較兩種方法。例 9. 已知，如圖 AB/CD ，直線 EF 分別截 AB 、CD 于點(diǎn) M 、N，MG 、NH 分別是 EMB 與 END 的平分線，求證： MG/NHEG1AMBH2CNDF分析： 要證明 MG/NH ，只需證12證明：AB/CD （已知）E M BE N D（兩直線平行，同位角相等）又MG 、NH 分別是EMB 與END 的平分線（已知）11 E M

12、 B212E N D（角平分線定義）21 2 （等量代換）MG / NH （同位角相等，兩直線平行）用心愛心專心小結(jié)：本例題說明： “如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同位角的平分線互相平行。”例 10. 已知，如圖，直線 EF 過ABC 的頂點(diǎn) A ，且 EF/BC ，求證：3BC180AE12F3BC分析：要證 3 BC180 ，只需證1 23180證明：EF/BC （已知）1B2C （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又EAF 是一直線（已知）132180 （平角定義）B 3C 180 （等量代換）【模擬試題】（答題時間： 45 分鐘）一. 選擇1. 下列說法錯誤的是（）A. 垂線段最短B. 垂

13、線段不是最短的C. 兩直線相交成四個角中，有一個角是直角，其它三個角也都是直角D. 點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度2. 如圖，圖中與是內(nèi)錯角關(guān)系的角有（）A.1 個B.2 個C.3個D.4個3. 如圖，（）是內(nèi)錯角4 213A.1和2B.2 和3C.1和4D.3 和44. 如圖，（）是同位角用心愛心專心DA6 5 4312BCA.C和6，6和DB. 2和3，1和DC. 2和6，3和4D.1和D，6和D5. 下列說法正確的是（）A. 經(jīng)過一點(diǎn)有一條直線與某一直線平行B. 經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線平行C. 經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行D. 經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且

14、只有一條直線與已知直線平行6.已知直線AB/CD ，直線 EF 交 AB 、CD 于 G、H，BGE75，則CHF（）A. 15B.75C.105D. 2557.已知， AB/CD ，若2是 1的 2倍，則2 （）A1BC2DA. 60B.90C.120D. 150143，則 28.已知，如圖， 直線 l1/ /l 2 ， ABl1 于 O，BC 交 l 2 于 E，若（）Al 1OB 21l 2ECA. 43B.47C.137D. 1339.已知，如圖，點(diǎn)A 、 O、B 在一條直線上， OC 為一射線， OD、 OE 分別平分BOC 、AOC ，則 OD 和 OE 的位置關(guān)系（）CEDAOB

15、A. 互相平行B. 相交C. 互相垂直D. 無法確定10. 如圖，圖中小于平角的角有（）用心愛心專心DCAOBA.5 個B.6個C.7個D.8個二. 填空1. 如圖，BOOA 于 O， BOC 和BOA的度數(shù)之比是1：5，則COA_， BOC的補(bǔ)角 _BCOA2. 如圖， OAOC 于 O， OB OD 于 O，155 ，則2_，3_DCB312OA3. 如圖， AB/EF/DC ，EG/BD ，則圖中與1相等的角（1除外）共有 _個DCEF1AGB4. 如圖， AO BO 于 O，且AOD ： DOC3：2，BOC： AOD5： 3，則DOC _DCAOB5. 如圖，已知AB/CD ， EG 平分BEF ，若158 ，則2_ ，3_用心愛心專心A3BE12CFGC三. 解答題1. 已知，如圖ABCADC ，BF 和 DE 分別平分ABC 和ADC ，12 ，求證： DE/FBDFC213AEB2. 已知，如圖 ABBC于 B， CDBC于 C，12 180 ，求證： DC/EFDEA21BFC3. 已知： 12 ， CD ，求證：AFDEF2314ABC用心愛心專心【試題答案】一.