高考數(shù)學中的理科導數(shù)試題

1、一求值1. （2011江蘇）已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和是的導函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則稱和在區(qū)間上單調(diào)性一致（1）設，若和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求b的取值范圍；（2）設且，若和在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分.解：（1）由題意知上恒成立，因為a>0，故進而上恒成立，所以因此的取值范圍是 （2）令若又因為，所以函數(shù)在上不是單調(diào)性一致的，因此現(xiàn)設；當時，因此，當時，故由題設得從而因此時等號成立，又當，從而當故當函數(shù)上單調(diào)性一致，因此的最

2、大值為 2（2011全國新課標理）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為（i）求a，b的值；（ii）如果當x>0，且時，求k的取值范圍解：（）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設，由知，當時，。而，故當時，可得；當x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當x>0，且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設0<k<1.由于當x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x>0，故 (x）>0，而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）>0，可得h（x

3、）<0，與題設矛盾。（iii）設k1.此時（x）>0，而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0，與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-，0解：（2）由（1）知故要證： 只需證為去分母，故分x>1與0<x<1兩種情況討論：當x>1時，需證即 即需證 （1）設，則由x>1得，所以在（1，+）上為減函數(shù)又因g（1）=0所以 當x>1時 g（x）<0 即（1）式成立同理0<x<1時，需證 （2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上為增函數(shù)又因g（1）=0所以 當0<x<1時

4、 g（x）<0 即（2）式成立綜上所證，知要證不等式成立點評：抓住基本思路，去分母化簡問題，不可死算3.（2011陜西理）（本小題滿分14分）設函數(shù)定義在上，導函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論與的大小關系；（）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由解 （）由題設易知，令得，當時，故（0,1）是的單調(diào)減區(qū)間，當時，故是的單調(diào)增區(qū)間，因此，是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為（），設，則，當時，即，當時，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，即，當時，即（）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設存在 ，使 對任意 成立，即對任意，有 ，（*）但

5、對上述，取時，有 ，這與（*）左邊不等式矛盾，因此，不存在 ，使 對任意成立。證法二 假設存在，使 對任意的成立。由（）知， 的最小值為。又，而時，的值域為， 時， 的值域為，從而可取一個，使 ，即 ，故 ，與假設矛盾。 不存在 ，使 對任意成立。4（2011上海理）（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足。（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時的取值范圍。解： 當時，任意，則 ， ，函數(shù)在上是增函數(shù)。當時，同理，函數(shù)在上是減函數(shù)。 當時，則；當時，則。5(2011四川理)（本小題共l4分）已知函數(shù) （i）設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間與極值； （）設，解關于的方程 （）試比較與的大小解析：（1），令 所以

6、是其極小值點，極小值為。是其極大值點，極大值為（2）；由時方程無解時方程的根為（3），6（2011安徽理）(本小題滿分12分)設，其中為正實數(shù)（）當時，求的極值點；（）若為上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：對求導得 （i）當，若綜合,可知+00+極大值極小值所以,是極小值點,是極大值點.（ii）若為r上的單調(diào)函數(shù)，則在r上不變號，結(jié)合與條件a>0，知在r上恒成立，因此由此并結(jié)合，知7（2011浙江理）（本題滿分14分）設函數(shù) （i）若的極值點，求實數(shù)； （ii）求實數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立，注：為自然對數(shù)的底數(shù)。本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用，不等式等基礎知

7、識，同時考查推理論證能力，分類討論分析問題和解決問題的能力。滿分14分。 （i）解：求導得因為的極值點，所以解得經(jīng)檢驗，符合題意，所以（ii）解：當時，對于任意的實數(shù)a，恒有成立；當時，由題意，首先有，解得，由（i）知令且又內(nèi)單調(diào)遞增所以函數(shù)內(nèi)有唯一零點，記此零點為從而，當時，當當時，即內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使恒成立，只要成立。由，知（3）將（3）代入（1）得又，注意到函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，故。再由（3）以及函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，可得由（2）解得，所以綜上，a的取值范圍是8（2011重慶理）（本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分）設的導數(shù)滿足，其中常數(shù) （）求曲線在點處的切

8、線方程； （） 設，求函數(shù)的極值 解：（i）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因為故曲線處的切線方程為 （ii）由（i）知，從而有令當上為減函數(shù)；當在（0，3）上為增函數(shù)；當時，上為減函數(shù)；從而函數(shù)處取得極小值處取得極大值9（2011北京理）（本小題共13分）已知函數(shù)。（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意的，都有，求的取值范圍。解：（）令，得.當k>0時，的情況如下x()(,k)k+00+0所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是當k<0時，的情況如下x()(,k)k0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是（）和；單高層區(qū)間是（）當k>0時，因為，所以不會有當k<0時，由（）知在

9、（0，+）上的最大值是所以等價于解得.故當時，k的取值范圍是10(2011江西理)（本小題滿分12分）設 （1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍； （2）當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值解：（1）由當令所以，當上存在單調(diào)遞增區(qū)間 （2）令所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當在1，4上的最大值為又所以在1，4上的最小值為得，從而在1，4上的最大值為二證明11（2011湖南理）（本小題滿分13分）已知函數(shù)，.（）求函數(shù)的零點個數(shù)。并說明理由；（）設數(shù)列 （）滿足，證明：存在常數(shù)m,使得 對于任意的，都有 解：（i）由，而，的一個零點，且在（1，2）內(nèi)有零點。因此至少有兩個零點。解

10、法1：記則當上單調(diào)遞增，則內(nèi)至多只有一個零點。又因為內(nèi)有零點，所以內(nèi)有且只有一個零點，記此零點為；當時，所以，當單調(diào)遞減，而內(nèi)無零點；當單調(diào)遞減，而內(nèi)無零點；當單調(diào)遞增，而內(nèi)至多只有一個零點。從而內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。解法2：由，則當從而上單調(diào)遞增，則內(nèi)至多只有一個零點，因此內(nèi)也至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。 （ii）記的正零點為 （1）當而由此猜測：。下面用數(shù)學歸納法證明。當顯然成立。假設當時，由因此，當成立。故對任意的成立。 （2）當，由（i）知，上單調(diào)遞增，則，即，由此猜測：，下面用數(shù)學歸納法證明，當顯然成立。假設當成立，則當時，由因此，當成立，

11、故對任意的成立綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的12（2011湖北理）（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；（）設，均為正數(shù)，證明：（1）若，則；（2）若=1，則本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎知識，同時考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想。（滿分14分） 解：（i）的定義域為，令 當在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)； 當時，內(nèi)是減函數(shù)； 故函數(shù)處取得最大值 （ii）（1）由（i）知，當時， 有 ，從而有， 得， 求和得 即 （2）先證 令 則于是 由（1）得，即 再證 記， 則， 于是由（1）得 即 綜合，（2）得證。13（2011遼寧理）（本小題滿分12

12、分）已知函數(shù) （i）討論的單調(diào)性； （ii）設，證明：當時，； （iii）若函數(shù)的圖像與x軸交于a，b兩點，線段ab中點的橫坐標為x0，證明：（x0）0解：（i） （i）若單調(diào)增加. （ii）若且當所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. 4分 （ii）設函數(shù)則當.故當， 8分 （iii）由（i）可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，故，從而的最大值為不妨設由（ii）得從而由（i）知， 12分14. (2011全國統(tǒng)一理)本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）（）設函數(shù)，證明：當時，；（）從編號1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為證明：解： （i），2分 當，所以為增函數(shù)，又，因此當5分 （ii）又，所以9分由（i）知：當因此在上式中，令所以15（2011天津理）（本小題滿分14分）已知，函數(shù)（的圖像連續(xù)不斷）（）求的單調(diào)