可微的幾何意義ppt課件

1、10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義1 用用 h 和和 d 分別表示點(diǎn)分別表示點(diǎn) Q 到直線到直線 PT 的距離的距離 和點(diǎn)和點(diǎn) Q 到點(diǎn)到點(diǎn) P 的距離的距離, 由于由于 圖圖 1 sin, hdQSP因因此此當(dāng)當(dāng)沿沿趨趨于于時(shí)時(shí), ,0.hd0 PRSdhQT0d 等等同同于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，PTSP是是曲曲線線 在在點(diǎn)點(diǎn) 的的切切線線0lim0.dhd 三、可微的幾何意義10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義2定義定義 3 設(shè)曲面設(shè)曲面 S 上一上一一個(gè)一個(gè)平面平面, S 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn) 仿照這個(gè)想法仿照這個(gè)想法, 我們引我們引進(jìn)曲面進(jìn)曲面 S 在點(diǎn)在點(diǎn) M 的

2、切平的切平 面的定義面的定義(參見圖參見圖2). MQhdxyzOS 圖圖 2 當(dāng)當(dāng) Q 在在 S 上以任上以任意方式趨近于意方式趨近于 M 時(shí)時(shí), 有有0lim0,dhd點(diǎn)點(diǎn) M, 為通過點(diǎn)為通過點(diǎn) M 的的 Q 到定點(diǎn)到定點(diǎn) M 和到平面和到平面 的距離分別記為的距離分別記為 d 和和 h. 若若 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義3定理定理 3 00( , )(,)zf x yP xy 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy000000( , )(

3、,)()zf x yM xy zzf xy 在在點(diǎn)點(diǎn), ,存存在在 切切平平面面 ：證證：“”00( , )(,)zf x yP xy 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微2200000(,),.()()zf xyxxyy 其其中中 則稱則稱 為曲為曲面面 S 在點(diǎn)在點(diǎn) M的的切平面切平面, 稱稱 M 為為切點(diǎn)切點(diǎn). 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義4討論過點(diǎn)討論過點(diǎn)000(,)M xyz 的的平平面面 ：0000000(,)()(,)(),xyzzfxyxxfxyxy ( , , )Q x y z 平平面面由于由于 S 上動(dòng)點(diǎn)上動(dòng)點(diǎn) 到到的距離為的距離為 0000000220000|

4、(,)()(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義5000222()()(),dxxyyzz 00hd 因因此此, ,由由，并并當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy M 到到 Q 的距離為的距離為 ( , )zf x y 在點(diǎn)在點(diǎn)根據(jù)定義根據(jù)定義 便知便知平面平面 即為曲面即為曲面P 的切平面的切平面10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義6000( , )(,)zf x yM xyz 若若曲曲面

5、面在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在切切平平面面第一步第一步 設(shè)設(shè) Q(x, y, z) 是曲面上任意一點(diǎn)是曲面上任意一點(diǎn), 由由 Q 到這到這 個(gè)平面的距離為個(gè)平面的距離為 00022|()()|.1zzA xxB yyhAB“”0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy00022222,()()()()() .xxxyyyzzzxydxyz ，令令 00(,)xAfxy 00(,)yBfxy 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義7QM 0.hd由切平面的定義知道由切平面的定義知道, 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 有有 因因此對(duì)于充分接近的此對(duì)于充分接近的 M 與與 Q, 有有 22|1h

6、zA xB yddAB由此則得由此則得 221|() .22dzAxByz 221,2 1AB10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義8由由于于2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd |zA xB y 因此因此, 想要證得當(dāng)想要證得當(dāng) d 充充分分小小時(shí)時(shí)，為為一一有有界界量量. .f000(,)P xy第二步第二步 分析分析: 要證明要證明 在點(diǎn)在點(diǎn)可微可微, 事實(shí)事實(shí) 上就是需證上就是需證 ()( ).zAxByo 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義9|:z 是有界量是有界量|abab由由第三步第三步 先證先證 可推得可推得 2211|(

7、|),22zAxByzz 故有故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義10第四步第四步 :d 再證是有界量再證是有界量由上式進(jìn)一步可得由上式進(jìn)一步可得 2221|12( | 1 ).zdzzAB 00(,)P xy根據(jù)第二步的分析，這就證得根據(jù)第二步的分析，這就證得在點(diǎn)在點(diǎn) 可微可微. . 10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義11000( , )(,)zf x yM xy z 在在點(diǎn)點(diǎn)處的切平面方程為處的切平面方程為0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy過切點(diǎn)過切點(diǎn) M 與

8、切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn)與切平面垂直的直線稱為曲面在點(diǎn) M 的的 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量為為 0000(,),(,),1),xynfxyfxy于是過切點(diǎn)于是過切點(diǎn) M 的法線方程為的法線方程為 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy法線法線.10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義12xyz 設(shè)設(shè) ， ， 分分別別是是法法線線與與 軸軸、 軸軸、 軸軸正正向向的的夾夾角角，0000(,),(,),1)xynfxyfxy則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦是是00(,)cosxfxy 00(,)cosyfxy 1cos 220000= 1+(,)(,)xyfxyfxy 其其中中10.3 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法可微的幾何意義13所以切平面方程為所以切平面方程為 0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy 2241(2,1,4)zxy 例例 、求求曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切平平面面方方程程和和.法法線線方方程程以以及及法法向向量量的的方方向向余余弦弦2xzx 解解：2yzy (2,1)4xz (2,1)2yz 44(2)2(1).zxy 即即