云南省德宏州梁河縣第一中學高中數學3.1.1兩角差的余弦公式教學設計2新人教版必修4通用

1、3.1.1 兩角差的余弦公式 教學內容及其解析【內容】本課是普通高中課程標準試驗教科書數學必修4（人教a版2020年2月第2版）的第三章第一節(jié)第1課內容?！窘馕觥?本節(jié)是以一個實際問題做引子,目的在于從中提出問題,引入本章的研究課題.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識列方程的過程中,提出了兩個問題:實際問題中存在研究像tan(45°+)這樣的包含兩個角的三角函數的需要;實際問題中存在研究像sin與tan(45°+)這樣的包含兩角和的三角函數與、45°單角的三角函數的關系的需要.以實例引入課題也有利于體現數學與實際問題的聯系,增強學生的應用意識,激發(fā)學生學

2、習的積極性,同時也讓學生體會數學知識產生、發(fā)展的過程. 本節(jié)首先引導學生對cos(-)的結果進行探究,讓學生充分發(fā)揮想象力,進行猜想,給出所有可能的結果,然后再去驗證其真假.這也展示了數學知識的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上的三角函數線進行探索、推導,讓學生動手畫圖,構造出-角,利用學過的三角函數知識探索存在一定的難度,教師要作恰當的引導.方案二,利用向量知識探索兩角差的余弦公式時,要注意推導的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時,聯系向量知識,體會向量方法的作用;結合有關圖形,完成運用向量方法推導公式的必要準備;探索過程不應追求一

3、步到位,應先不去理會其中的細節(jié),抓住主要問題及其線索進行探索,然后再反思,予以完善;補充完善的過程,既要運用分類討論的思想,又要用到誘導公式.教學目標及其解析【目標】1.知識與技能引導學生探索、猜想、發(fā)現并推導“兩角差的余弦公式”,了解單角與復角的三角函數之間的內在聯系,并通過強化題目的訓練,加深對兩角差的余弦公式的理解。2.過程與方法通過探索、猜想、發(fā)現并推導“兩角差的余弦公式”， 培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力,提高學生的數學素質.通過兩角差的余弦公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、證明,體會化歸思想在數學當中的運用,使學生進一步掌握聯系的觀點,自覺地利用聯系變化的觀點來分析問題,提高學

4、生分析問題、解決問題的能力.3.情感態(tài)度與價值觀通過本節(jié)的學習,使學生體會探究的樂趣,認識到世間萬物的聯系與轉化,養(yǎng)成用辯證與聯系的觀點看問題.創(chuàng)設問題情境,激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度,強化學生的參與意識,從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數形結合等數學思想方法.【解析】通過在創(chuàng)設問題的情景中，引導學生探索、猜想、發(fā)現并推導，由特殊到一般發(fā)現兩角差的余弦公式的內容并會推導兩角差的余弦公式。本節(jié)是數學公式的教學,教師要遵循公式教學的規(guī)律,應注意以下幾方面:要使學生了解公式的由來;使學生認識公式的結構特征,加以記憶;使學生掌握公式的推導和證明;通過例子使學生熟悉公式的應用,靈活運

5、用公式進行解答有關問題.重難點：教學重點:通過探究得到兩角差的余弦公式. 教學難點:探索過程的組織和適當引導.教學問題診斷分析1學生在利用單位圓上的三角函數線進行探索、推導,并構造出-角,利用學過的三角函數知識探索時可能會出現障礙，原因是學生不能對三角函數線進行靈活的轉化。要克服這一困難，關鍵是教師要作恰當的引導.2學生在利用向量知識探索兩角差的余弦公式時，又可能會出現障礙，原因是他們對向量方法難以靈活應用，對、及向量夾角的關系難以找出。要克服這一困難，關鍵是教師要作恰當的引導.并結合有關圖形,完成運用向量方法推導公式的必要準備，探索過程不應追求一步到位,應先不去理會其中的細節(jié),抓住主要問題及

6、其線索進行探索,然后再反思,予以完善。教學支持條件分析為了加強學生對兩角差的余弦公式的推導方法的掌握，幫助學生克服在推導過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用多媒體課件動態(tài)地研究兩角差的余弦公式與三角函數線和向量知識的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數形結合地進行思維教學過程設計一、基本流程提出問題推導公式例題講解目標檢測課堂小結二、教學情景（一）知識點教學【問題提出】我們在初中時就知道對于30°，45°，60°等特殊角的三角函數值可以直接寫出，利用誘導公式還可進一步求出150°，210°

7、;，315°等角的三角函數值. 由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?這里是不是等于cos45°-cos30°呢？ 設計意圖由此展開新課。師生活動教師可讓學生驗證,經過驗證可知,我們的猜想是錯誤的.那么究竟是個什么關系呢？cos(-)等于什么呢？這時學生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎.探究1：利用特殊三角函數值探究兩角差的余弦公式【問題1】設，為兩個任意角, 你能判斷cos()coscos恒成立嗎?設計意圖讓學生明白,要想說明此式正確,需進行嚴格證明,而要想說明

8、猜想錯誤,只需一個反例即可.師生活動教師適當的點撥,然后讓學生由特殊角來驗證它的正確性.如=60°,=30°,則cos(-)=cos30°=,而cos-cos=cos60°-cos30°=,這一反例足以說明cos(-)cos-cos.【問題2】我們設想cos()的值與，的三角函數值有一定關系，觀察下表中的數據，你有什么發(fā)現？【問題3】一般地，你猜想cos()等于什么？設計意圖讓學生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想探究2：利用單位圓上的三角函數線探究兩角差的余弦公式【問題1】如圖1,設，為銳角，且，角的終邊與單位圓的交點為p1,pop1=,則p

9、ox=-.過點p作pm垂直于x軸,垂足為m,那么cos()表示哪條線段長？圖1【問題2】如何用線段分別表示sin和cos？【問題3】過點a作ab垂直于x軸,垂足為b,過點p作pc垂直于ab,垂足為c,為什么？【問題4】coscosoacos，它表示哪條線段長？sinsinpasin，它表示哪條線段長？【問題5】利用omobbmobcp可得什么結論？【問題6】上述推理能說明對任意角，都有cos()coscossinsin成立嗎？設計意圖引導學生利用三角函數線推導兩角差的余弦公式師生活動教師引導學生進一步思考,以上的推理過程中,角、-是有條件限制的,即、-均為銳角,且>,如果要說明此結果是否

10、對任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項推廣工作的過程比較繁瑣,由同學們課后動手試一試.探究3：利用向量的知識探究兩角差的余弦公式【問題1】根據coscossinsin的結構特征，你能聯想到一個相關計算原理嗎？【問題2】如圖，設角，的終邊與單位圓的交點分別為a、b，則向量、 坐標分別是什么？其數量積是什么？圖2 【問題3】設向量的夾角,則根據數量積定義，等于什么？【問題4】由圖可知向量的夾角與，有什么關系？由此你可以得到什么結論？【問題5】公式cos()coscossinsin稱為差角的余弦公式，記作，該公式有什么特點？如何記憶？教師引導學生細心觀察公式c(-)的結構特征,讓學生自己發(fā)現

11、公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學生結合推導過程及結構特征進行記憶,特別是運算符號,左“-”右“+”.或讓學生進行簡單填空,如:cos(a-b)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.設計意圖引導學生利用向量知識推導兩角差的余弦公式。師生活動教師引導學生進行推理。（二）例題講解例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.變式：不查表求sin75°的值.設計意圖 通過例題及變式訓練，進一步加深學生對公式的理解和應用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“

12、拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學生的靈活思維品質，提高學生的數學交流能力，促進思維的創(chuàng)新。師生活動教師引導學生觀察題目的結構特征,聯想到剛剛推導的余弦公式,學生不難發(fā)現,欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式c(-)即可求解.（三）目標檢測1. cos110°cos20°sin110°sin20°= 2. sinxsin(x+y)cosxcos(x+y)= 3. 利用公式證明：（1） （2）（四）課堂小結先由學生自己思考、回顧公式的推導過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用,還可變用及掌握變角和拆角的思想方法解決問題.然后教師引導學生圍繞以下知識點小結:(1)怎么聯系有關知識進行新知識的探究？(2)利用差角余弦公式方面:對公式結構和功能的認識;三角變換的特點.設計意圖通過小結讓學生對本節(jié)課所學內容更加熟悉。師生活動教師畫龍點睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導,要正確熟練地運用公式進行解題,在解題時要注意分析三角函數名稱、角的關系,準確判斷三角函數值的符號. 配餐作業(yè)a