最新高中數(shù)學-單元質量評估四

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標滾軸，調節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉word文檔返回原板塊。單元質量評估(四) (第四講)(90分鐘120分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2016·廣州高二檢測)如果命題p(n)對n=k成立,那么它對n=k+2成立,又若p(n)對n=2成立,則p(n)對所有()a.正整數(shù)n成立b.正偶數(shù)n成立c.正奇數(shù)n成立d.大于1的自然數(shù)n成立【解析】選b.根據(jù)數(shù)學歸納法的意義可知,命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立.2.用數(shù)學歸納法證明“(n+1)(n+

2、2)(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(nn+)”時,從“n=k到n=k+1”時,左邊應增加的式子是()a.2k+1b.2k+3c.2(2k+1)d.2(2k+3)【解析】選c.當n=k時,左邊=(k+1)(k+2)(k+k).當n=k+1時,左邊=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可見從“n=k到n=k+1”,左邊增加了2(2k+1).3.(2016·金華高二檢測)用數(shù)學歸納法證明n(n+1)(2n+1)能被6整除時,由歸納假設推證n=k+1時命題成立,需將n=k+1時的原式表示成()a.k(k+1)(2k+1)+6(

3、k+1)b.6k(k+1)(2k+1)c.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2d.以上都不對【解析】選c.因為假設當n=k時命題成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,當n=k+1時,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.4.(2016·大連高二檢測)在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為12n(n-3)條時,第一步檢驗第一個值n0等于()a.1b.2c.3d.0【解析】選c.因為凸n邊形中,邊數(shù)最少的是三角形,邊數(shù)為3.5.在數(shù)列an中,an=1-12+13-14+12n-1-12n,則ak+1=()a.

4、ak+12k+1b.ak+12k+2-12k+4c.ak+12k+2d.ak+12k+1-12k+2【解析】選d.a1=1-12,a2=1-12+13-14,an=1-12+13-14+12n-1-12n,ak=1-12+13-14+12k-1-12k,所以ak+1=ak+12k+1-12k+2.6.已知數(shù)列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(nn+),用數(shù)學歸納法證明a4n能被4整除,假設a4k能被4整除,然后應該證明()a.a4k+1能被4整除b.a4k+2能被4整除c.a4k+3能被4整除d.a4k+4能被4整除【解析】選d.由假設a4k能被4整除,則當n=k+1時,

5、應該證明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2016·煙臺高二檢測)設f(n)=1+12+13+14+12n-1,則f(k+1)-f(k)等于()a.12k+1-1b.12k+12k+1+12k+1-1c.12k+12k+1-1d.12k+12k+1【解析】選d.當n=k時,f(k)=1+12+13+12k-1.當n=k+1時,f(k+1)=1+12+13+12k-1+12k+12k+1.所以f(k+1)-f(k)=12k+12k+1.8.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學歸納法證明:1-12+13-14+1n-1=21n+2+1n+4+12n時,若已假設n=k(k2且為偶數(shù))時,等式成

6、立,則還需要利用歸納假設再證()a.n=k+1時等式成立b.n=k+2時等式成立c.n=2k+2時等式成立d.n=2(k+2)時等式成立【解析】選b.偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k+2,故應再證n=k+2時等式成立.【誤區(qū)警示】解答本題易忽視k的限制條件:k2且為偶數(shù),而錯選a.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)9.觀察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,推測第n個等式應該是.【解析】觀察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n個等式左端是2n

7、-1個連續(xù)自然數(shù)的和,其中最小的自然數(shù)是n,右端是(2n-1)2.即第n個等式應該是n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)210.(2016·大連高一檢測)用數(shù)學歸納法證明cos+cos3+cos(2n-1)=sin2n2sin(sin0,nn+),在驗證n=1時,等式右邊的式子是.【解析】當n=1時,右邊=sin22sin=2sincos2sin=cos.答案:cos11.設f(n)=1+1n1+1n+11+1n+n,用數(shù)學歸納法證明f(n)3.在“假設n=k時成立”后,f(k+1)與f(k)的關系是f

8、(k+1)=f(k)·_.【解析】當n=k時,f(k)=1+1k1+1k+11+1k+k;當n=k+1時,f(k+1)=1+1k+11+1k+21+12k+2,所以f(k)應乘1+12k+11+12k+2·kk+1.答案:1+12k+11+12k+2·kk+112.已知數(shù)列an,其中a2=6,且滿足an+1+an-1an+1-an+1=n,則a1=,a3=,a4=,猜想an=.【解析】由已知可得a2+a1-1a2-a1+1=1,a3+a2-1a3-a2+1=2,a4+a3-1a4-a3+1=3,將a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a

9、1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,猜想得an=n(2n-1).答案:11528n(2n-1)三、解答題(本大題共6小題,共60分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)13.(10分)(2016·石家莊高二檢測)用數(shù)學歸納法證明:當nn+時,11×3+13×5+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.【證明】(1)當n=1時,左邊=11×3=13,右邊=12×1+1=13,左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設當n=k(k1)時,等式成立,即11×3+13×5+1(2k-

10、1)(2k+1)=k2k+1.則當n=k+1時,11×3+13×5+1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1.即當n=k+1時,等式也成立.由(1),(2)可知對一切nn+等式都成立.14.(10分)對于nn+,用數(shù)學歸納法證明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+(n-1)·2+n·1=16n(n+1)(n+2).【證明】設f(n)=1&

11、#183;n+2·(n-1)+3·(n-2)+(n-1)·2+n·1.(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立;(2)設當n=k(k1)時,等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+(k-1)·2+k·1=16k(k+1)(k+2),則當n=k+1時,f(k+1)=1·(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-2·3+(k+1)-1·2+(k+1)·1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)=16k(k+1)(k+2)+12(k+1)

12、(k+1+1)=16(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知當nn+時,等式都成立.15.(10分)(2016·南京高二檢測)用數(shù)學歸納法證明:f(n)=(2n+7)·3n+9(nn*)能被36整除.【證明】(1)當n=1時,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.(2)假設n=k(k1,kn*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,當n=k+1時,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3(2k+7)·3k+9+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因為3k-1-

13、1是偶數(shù),所以f(k+1)能被36整除,即當n=k+1時,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除.由(1)(2)知,對nn*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.16.(10分)(2016·蘇州高二檢測)已知正項數(shù)列an和bn中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.當n2時,an=an-1bn,bn=bn-11-an-12.(1)證明:對任意nn+,有an+bn=1.(2)求數(shù)列an的通項公式.【解析】(1)用數(shù)學歸納法證明.當n=1時,a1+b1=a+(1-a)=1,命題成立;假設n=k(k1)時命題成立,即ak+bk=1,則當

14、n=k+1時,ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)·bk+1=(ak+1)·bk1-ak2=bk1-ak=bkbk=1.所以當n=k+1時,命題也成立.由可知,an+bn=1對nn+恒成立.(2)因為an+1=anbn+1=anbn1-an2=an(1-an)1-an2=an1+an,所以1an+1=1+anan=1an+1,即1an+1-1an=1.數(shù)列1an是公差為1的等差數(shù)列,其首項為1a1=1a,1an=1a+(n-1)×1,從而an=a1+(n-1)a(0<a<1).17.(10分)(2016·太原高二檢測)求證

15、:用數(shù)學歸納法證明2n+2>n2(nn+).【證明】(1)當n=1時,21+2>12,不等式成立;當n=2時,22+2>22,不等式成立;當n=3時,23+2>32,不等式成立.(2)假設當n=k(k3)時不等式成立,即2k+2>k2.則當n=k+1時,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因為k3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)0,(*)從而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2.即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2>n2

16、對一切nn+都成立.18.(10分)(2016·廣州高二檢測)在數(shù)列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(nn+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測an,bn的通項公式,并證明你的結論.(2)證明:1a1+b1+1a2+b2+1an+bn<512.【解析】(1)由條件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.用數(shù)學歸納法證明:當n=1時,由上可得結論成立.假設當n=k(k1)時,結論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么當n=k+1時,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=ak+12bk=(k+2)2