海文高數(shù)部分內(nèi)容(趙達(dá)夫)

1、-作者xxxx-日期xxxx海文高數(shù)部分內(nèi)容(趙達(dá)夫)【精品文檔】一、函數(shù)、極限與連續(xù)（一） 本章的重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型本章的重點(diǎn)內(nèi)容是極限，既要準(zhǔn)確理解極限的概念和極限存在的充要條件，又要能正確求出各種極限。求極限的方法很多，在考試中常用的主要方法有：（1） 利用極限的四則運(yùn)算法則及函數(shù)的連續(xù)性；（2） 利用兩個(gè)重要極限，兩個(gè)重要極限即（3） 利用洛必達(dá)法則及泰勒公式求未定式的極限；（4） 利用等價(jià)無窮小代替（常會(huì)使運(yùn)算簡化）；（5） 利用夾逼定理；（6） 先證明數(shù)列極限的存在（通常會(huì)用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則），再利用關(guān)系式求出極限；（7） 利用定積分求某些和式的極限；（8）

2、利用導(dǎo)數(shù)的定義；（9） 利用級數(shù)的收斂性證明數(shù)列的極限為零。這里需要指出的是：題型與方法并不具有確定的關(guān)系，一種題型可以有幾種計(jì)算法，一種方法也可能用于幾種題型，有時(shí)在一個(gè)題目中要用到幾種方法，所以還要具體問題具體分析，方法要靈活運(yùn)用。由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的，所以判斷函數(shù)是否連續(xù)、判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)類型等問題本質(zhì)上仍是求極限、因此這部分也是重點(diǎn)。在函數(shù)這一部分內(nèi)，重點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)以及函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算。通過歷年試題歸類分析，本章的常見題型有：直接計(jì)算函數(shù)的極限值或給定函數(shù)極限值求函數(shù)表示式中的常數(shù)；討論函數(shù)的連續(xù)性、判斷間斷點(diǎn)的類型；無窮小的比較；討論連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間的零點(diǎn)，或方

3、程在給定區(qū)間有無實(shí)根；求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。（二） 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖唯一性有界性數(shù)列整體有界函數(shù)局部有界極限概念“”定義 “”定義極限性質(zhì)保號(hào)性極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要的極限函數(shù)的連續(xù)性用導(dǎo)數(shù)的定義洛必達(dá)法則等價(jià)無窮小替換泰勒公式用函數(shù)極限求數(shù)列極限求極限的主要方法“”定義夾逼定理單調(diào)有界數(shù)列有極限轉(zhuǎn)換無窮小量無窮小量與無窮大量的定義、關(guān)系無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)無窮小量與極限的關(guān)系無窮小量的階、等價(jià)無窮小量初等函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)連續(xù)性判定閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一類左右極限都存在第二類左右極限中至少有一個(gè)不存在連續(xù)的概念間斷點(diǎn)的分類可去跳躍最值定理介值定理極限連續(xù)性（三）典型題型分析及解題方法與技巧題型一

4、 求復(fù)合函數(shù)設(shè)題型二 利用函數(shù)概念求函數(shù)的表達(dá)式已知并寫出它的定義域題型三 判斷函數(shù)的性質(zhì)例設(shè)（A） 偶函數(shù) （B）無界函數(shù) （C） 周期函數(shù) （D）單調(diào)函數(shù).題型四 求極限的方法例1.4填空題 .例1.5求下列極限例1.6 求下列極限例1.7 選擇題 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限是（ ）.（A）2; （B）0；（C）； （D）不存在但不為. 例1.8 設(shè) 問a 為何值時(shí)存在.求例1.10 選擇題設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）（A） 低階無窮小 （B） 高階無窮?。–） 等價(jià)無窮小 （D） 同階但不等價(jià)的無窮小例1.11求.例1.12確定a，b，c值，使.例1.13填空題設(shè).例1.14 選擇題時(shí)，是比高階無窮

5、小，則（ ）（A） （B）（C） （D）設(shè)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)之值.填空題設(shè)在連續(xù)，則.當(dāng)時(shí)，下列無窮?。褐校?）是的低階無窮??；（ ）是的一階無窮??；（）是的二階無窮小；（）是的高階無窮小例1.18選擇題當(dāng)?shù)臒o窮小量排列起來，使排在后面的是前面一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是（）（）（）（）（）例1.19求例1.20求.例1.21設(shè)>0,數(shù)列滿足.例1.22填空題例1.23設(shè),則.例1.24設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù), ,（1,2,）,證明數(shù)列的極限存在.題型五 討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的關(guān)系例1.25設(shè)討論的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)并指出類型例1.26選擇題設(shè)其中是有界

6、函數(shù)，則在處（ ）.（A）極限不存在； （B）極限存在，但不連續(xù)；（C）連續(xù)，但不可導(dǎo)； （D）可導(dǎo).例1.27選擇題設(shè)則在處（ ）.（A）極限不存在； （B）極限存在，但不連續(xù)；（C）連續(xù)，但不可導(dǎo)； （D）可導(dǎo).例1.28選擇題設(shè)則在處（ ）（A）不連續(xù)； （B）連續(xù)，但不可導(dǎo)；（C）可導(dǎo)但在處不連續(xù)； （D）可導(dǎo)且在處連續(xù).例1.29求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.例1.30設(shè)在內(nèi)有定義，且，則（）（A）必是的第一類間斷點(diǎn)；（B）必是的第二類間斷點(diǎn)；（C）必是的連續(xù)點(diǎn)；（D）在點(diǎn)處的連續(xù)性與的取值有關(guān)。例1.31設(shè)在連續(xù)，求證：（1）（2）.例1.32設(shè)在上連續(xù)，證明：至少存在，使

7、.例1.33填空題.例1.34填空題在區(qū)間上函數(shù)的最大值記為.則.例1.35填空題設(shè)在處可導(dǎo)，則常數(shù)a,b,c分別等于例1.36以表示不超過x的最大整數(shù)，試確定常數(shù)a的值，使存在，并求出此極限.例1.37選擇題設(shè)常數(shù).則方程0 （ ）.（A）沒有根；（B）正好有一個(gè)根；（C）正好有兩個(gè)根；（D）正好有三個(gè)根.二、一元函數(shù)微分學(xué)（一）本章的重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型一元函數(shù)微分學(xué)在微積分中占有極重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠(yuǎn)，在后面絕大多數(shù)章節(jié)都要涉及到它.本章內(nèi)容歸納起來，有四大部分.1. 概念部分：導(dǎo)數(shù)和微分的定義，特別要會(huì)利用導(dǎo)數(shù)定義討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性，高階導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；2

8、. 運(yùn)算部分：基本初等函數(shù)的倒數(shù)、微分公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式；3. 理論部分：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；4. 應(yīng)用部分：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線），最值應(yīng)用題，利用洛必達(dá)法則求極限，以及導(dǎo)數(shù)在幾何、物理等方面的應(yīng)用.常見題型有：1. 求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階導(dǎo)數(shù)），隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo).“證明在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)滿足”，或討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)等3. 利用洛必達(dá)法則求七種未定型的極限.4. 幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用題。解

9、這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所討論區(qū)間。5. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。（二）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖邊際、彈性經(jīng)濟(jì)中的最大值和最小值應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線方程的求法基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必達(dá)法則求極限研究函數(shù)性質(zhì)及幾何應(yīng)用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的極值、最值曲線的凹凸性及拐點(diǎn)漸近線、函數(shù)作圖微分概念微分的計(jì)算一階微分形式不變性微分導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的計(jì)算中值定理應(yīng)用（三）典型題型分析及解題方法與技巧題型一 有關(guān)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念的命題例選擇題設(shè)連續(xù)，則在可導(dǎo)是在可

10、導(dǎo)的（ ）條件.（A）充分非必要； （B）充要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要.例2.填空題設(shè)在處可導(dǎo)，則（1）（2）（4）（5）（6）當(dāng)時(shí)，為等價(jià)無窮小，則例2.3選擇題設(shè)在處的某個(gè)定義域內(nèi)有定義，則在處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（ ）.（A）存在；（B）存在；（C）存在；（D）存在.例2.4已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在處的切線方程。例求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1），求；（2）設(shè)，其中在處可導(dǎo)，求；（3）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，又對任意的，有，求.題型二 利用導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)方程例2.6設(shè)在上定義，且，又有，求.類似題：設(shè)

11、在上有定義，且，又對，有，求.題型三 可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積的可導(dǎo)性的討論例設(shè)，在處連續(xù)，但又不可導(dǎo)，又存在，則是在處可導(dǎo)的（ ）條件.（A）充要； （B）充分非必要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要例2.8函數(shù)有（ ）個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).（A）3； （B）2； （C）1； （D）0.題型四 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分例2.9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（1）設(shè)，；（2）設(shè)求，在的值；（3）設(shè)；（4）設(shè)，求；（5）已知，則（6）由方程組確定與的函數(shù)，求.例2.10求例2.11設(shè)其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且.（1）確定的值，使在處連續(xù)；（2）求；（3）討論在處的連續(xù)性.類似題：設(shè)連續(xù)且，求并討論的連續(xù)性.題型五 利用導(dǎo)

12、數(shù)研究函數(shù)變化的命題例2.12選擇題若，在內(nèi)，則在內(nèi)（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例2.13設(shè)函數(shù)，是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，有（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例2.14選擇題已知函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn)處（ ）.（A）不可導(dǎo)； （B）可導(dǎo)，且；（C）取得極大值； （D）取得極小值.例2.15選擇題若，則為（ ）.（A）0； （B）6； （C）36； （D）.例2.16選擇題設(shè)在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，則（ ）成立.（A）不是的極值，也不是曲線的拐點(diǎn)；（B）是的極小值；（C）是曲線的拐點(diǎn)；（D）是的極大值.例選擇題設(shè)函數(shù)是微分方程的一個(gè)解且，則在點(diǎn)處（ ）

13、.（A）有極大值； （B）有極小值；（C）在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加； （D）在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.例2.18設(shè)，證明：.例2.19證明：當(dāng)時(shí)，.例2.20設(shè)，求漸近線.例2.21求證：方程在內(nèi)只有兩個(gè)不同的實(shí)根.題型六 雜例與中值定理證明題例2.22設(shè)在上連續(xù)，且.試證明：在內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn).例2.23設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足：，證明：至少存在一點(diǎn)，使得.例2.24設(shè)在區(qū)間上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（1）寫出的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式;（2）證明在上至少存在一點(diǎn)，使：例2.25設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證：（1）在開區(qū)間內(nèi)；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.例2.26設(shè)在區(qū)間上連續(xù)

14、，試證明存在，使；若又設(shè)且單調(diào)減少，則這種是唯一的.例2.27設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.試證：（1）存在，使；（2）對任意實(shí)數(shù)，必存在，使得.三、一元函數(shù)積分學(xué)（一）本章的重點(diǎn)內(nèi)容與常見的典型題型本章和一元函數(shù)微分學(xué)一樣，重點(diǎn)內(nèi)容可分為概念部分、運(yùn)算部分、理論證明部分以及應(yīng)用部分.1. 概念部分：原函數(shù)的概念，定積分、不定積分的概念，以及反常積分的概念.考試的重點(diǎn)偏重對定積分概念的理解上.2. 運(yùn)算部分：變上限積分及其導(dǎo)數(shù)；定積分和不定積分的換元法和分部積分法.3. 理論部分：變上限定積分及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茨公式，積分中值定理. 應(yīng)用部分：利用定積分求面積、旋轉(zhuǎn)體體積及引力、功等

15、物理量；5. 綜合性試題. （二）知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖原函數(shù)，不定積分基本積分表積分法換元積分法分部積分法第一換元法（湊微分法）第二換元法二次根式用三角函數(shù)換元最簡根式幾類函數(shù)的積分定積分的概念有理函數(shù)的積分部分分式法簡單三角函數(shù)有理式的積分定義分割，近似代替，求和，取極限幾何意義平面圖形面積的代數(shù)和定積分的性質(zhì)、估值定理、積分中值定理微積分基本定理原函數(shù)存在定理變限積分求導(dǎo)牛頓布萊尼茲公式定積分的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用平面圖形應(yīng)用旋轉(zhuǎn)體的體積廣義積分無窮限積分瑕積分不定積分定積分（三）典型題型分析及解題方法與技巧題型一 有關(guān)原函數(shù)與定積分概念，性質(zhì)的命題例3.1填空題（1）設(shè)，則（2）例3.2設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，

16、求.例3.3判斷下列結(jié)果是否正確.（1）；（2）；（3）；（4）若，則.例3.4函數(shù)（ ）.（A）為正數(shù)； （B）為負(fù)數(shù)； （C）恒為零； （D）不是常數(shù).例3.5選擇題，則（ ）.（A）； （B）； （C）； （D）.例3.6選擇題設(shè)為連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則（ ）.（A）當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，必為偶函數(shù)； （B）當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，必為奇函數(shù)； （C）當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，必為周期函數(shù)；（D）當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，必為單調(diào)增函數(shù).例3.7設(shè)在上連續(xù)，證明：.題型二 求分段函數(shù)的原函數(shù)與定積分例3.8設(shè)求的原函數(shù).例3.9計(jì)算.例設(shè)在內(nèi)滿足，且，計(jì)算.題型三 不定積分與定積分的計(jì)算例求.例求.例3.13設(shè)，計(jì)算.4

17、填空題.5設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)為正整數(shù)，且時(shí)，證明：；（2）求.6設(shè)在上有定義，對于任意的，恒有：，求.7求.8設(shè)，求.（類似）設(shè)，求.例3.19設(shè)且，求.例求.題型四 證明積分等式與不等式例3.21設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)）.（1）證明：；（2）能利用（1）的結(jié)論計(jì)算.例3.22對于，證明（為自然數(shù)）的最大值不超過.3設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，.證明：.4設(shè)在可導(dǎo)，.試證：.題型五 綜合題例設(shè)在上可導(dǎo)，且其反函數(shù)為.若，求.例設(shè)在上連續(xù)，以求證：（1）一定能表示成，其中為某常數(shù)，是以為周期的周期函數(shù)；（2）；（3）若又有，為自然數(shù)，則時(shí)，有.題型六 定積分的幾何應(yīng)用例（1）由曲線

18、與兩直線及圍成平面圖形的面積；（2）下列可表示雙紐線圍成平面區(qū)域的面積是（ ）;（A）； （B）； （C）；（D）.（3）由曲線與軸圍成平面圖形的面積（ ）；（A）； （B）； （C）；（D）.（4）由參數(shù)方程（擺線）及軸圍成平面圖形的面積.例3.28設(shè)曲線，軸和軸所圍成的區(qū)域D被曲線分成面積相等的兩部分，其中的值.例3.29已知拋物線（其中）在第一象限內(nèi)與直線相切，且此拋物線與軸所圍成的平面圖形的面積為，（1）問和何值時(shí)，達(dá)最大值?（2）求出此最大值.例過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形.（1）求的面積；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.例曲線與直線及圍成一曲邊梯形，該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其體積為，側(cè)面積為，在處的底面積為.（1）求的值；（2）計(jì)算極限.例設(shè)曲線方程.（1）把曲線，軸，軸和直線所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積；求滿足的；（2）在此曲線上找一點(diǎn)，使過該