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1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(二)三、(分式遞推式)定理3:如果數(shù)列an滿足下列條件:已知 a1的值且對于n. N,都有an 1 二raPa n q (其中p、q、r、h均為常數(shù),且 hhph qr ,r式0,ai式_一 ),那么,可作特 rpx q征方程xrx + h當特征方程有兩個相同的根(稱作特征根)(1)時,若a1=,,則 an =', n N ;若a11",n N ,其中 bn bnai -(n 1):,n三N 特另U地,當存p r扎在n。-N,使 bn0=0時,無窮數(shù)列an不存在(2)當特征方程有兩個相異的根(稱作特征根)時,則,nN,Cn1其中n丄,nN,

2、(其中 a ).a +4例3、已知數(shù)列an滿足性質(zhì):對于nNa n ,且a 3,求a.的通項公式.2an +3x + 42解依定理作特征方程 x,變形得2 x ,2x-4=0,其根為 1 = 1, ' 2 - -2.故特征2x +3方程有兩個相異的根,使用定理2的第(2)部分,則有Cna 1 一 1 p 一 1 -( -)p 人2 r31(0)2, n N.122= ( -5)n(_丄)55Cn - 1-2-(5521 na(-一)-1 55n -1-1n(一 5)-413a 25例5已知數(shù)列an滿足:對于n N ,都有a. !n .an +3(1 )若 a5,求 a.;(2) 若 a

3、, =3,求 an;(3) 若 a = 6,求 a.;(4) 當a,取哪些值時,無窮數(shù)列an不存在?13 x _ 25解:作特征方程 x = 一 .變形得 X2 -10 x 25 =0,x +3特征方程有兩個相同的特征根 =5.依定理2的第(1)部分解答.(1) t at = 5,. at -,.對于 n N ,都有 a. - - 5; t a1 =3,. a1 u1rbn(n -1)-a<| _,p - r 1 1(n 1)3 -513 -1 51 n 1_ +2 8 '令bn =0,得n = 5 .故數(shù)列 an從第5項開始都不存在,當 n w 4, n N 時,an =丄 =

4、 5n _仃bna1令bn二丄 ,-bn15 =n -115,n N.n - 7、顯然當a1-3時,數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題的第(1)小題的解答過程知,ai =5 時數(shù)列an是存在的,當=0,則 n - -7 y n. .對于 n N, bn = 0.1r1 n -1人c /曰5n 一13bn(n _1),n N.令 5=0,則得 a,n Na、_kp 打 a -58n 一1且 n > 2.r5n 13二當a、(其中n N且N >2)時,數(shù)列 an從第n項開始便不存在.n _15 n 13于是知:當a!在集合 <或一:n N ,且n >2上取值時,無窮數(shù)列a.都

5、不存 n _1在.練習題:求下列數(shù)列的通項公式:1、在數(shù)列 an中,a1 =1,a2 =7, an =2an3an±(n _ 3),求 a。(key :n 1n 2、a2 3 - (-1)-)2、在數(shù)列an中,at =1,a2 =5,且an - 5 a n_ 4 an _2,求 an。(key: a !(4n -1)3在數(shù)列an中,a 1 = 3, a 2 =7, a n= 3an_j -2an_2(n-3),求 annW、o(key: a n = 2- -1 )列an中,31二3, a 21-an3求 an。( key :7an4在數(shù)列an中,a! =3, a25,an -231(

6、4an an )3,求a2(key: a. =1)3n -1在數(shù)列an中,a<,= a, a2=b, an -2=pan 1 qa n,且 p q=1 .求 an . (key: q = 1n _1aq b -( b - a)( - q) 時,an =a - (n -1)(b -a) ; q =1 時,an1 + q7、在數(shù)列an中,a1 = a,a2 = a - b, pa n 2 -( p ' q)an 1 ' qa 0 ( p, q 是非 0 常數(shù)).n A亠pq求 an . (key: a. =a1 -()b ( p = q ); a. = a1(n - 1)b

7、) ( p 二 q )p q p8 、 在 數(shù) 列 an 中 ,a1 , a2 給 定 , a n = ba n丄 ca n. 求:n-1n-1n_2n-2an .(key: a. =- 一,C( -) q (、:=);若:=:,上式不能應用,P-aP -a此時,a n = (n1) a2n -2-(n - 2)a1、f附定理3的證明定理3(分式遞推問題):如果數(shù)列an滿足下列條件:已知a,的值且對于n N,都有an 1 二ra n那么,可作特pa n q (其中p、q、r、h均為常數(shù),且ph = qr , r hpx q征方程Xrx + h當特征方程有兩個相同的根(1)(稱作特征根)時,a1

8、an, n 三 N ,其 中bna11r(n -1), n-咒P -r 二N .特別地,當存在nobn-N ,使bn0 =0時,無窮數(shù)列 an不存在(2)當特征方程有兩個相異的根(稱作特征根)時,則a中Cna1N,(其中 a 2 )證明:先證明定理的第(1)部分. 20qra nan ( p - r) qra n h(dn )(pr)qhr(dn ) h2dn(P r) r"(h p) -q=0.rd n/ 是特征方程的根,將該式代入式得d n ,dn( p - r)rd n h r將x = P代入特征方程可整理得ph =qr,這與已知條件ph = qr矛盾.故特征方程的r根,-,于

9、是 p _ r - 0.當d!川,=;.時,由式得 bn =0, n 三 N,故 an = dn 二,N.當d1=0即由、兩式可得 dn=0, nN.此時可對式作如下變化:rd ndn 1dn(p - r)由是方程xp-q的兩個相同的根可以求得2rrx亠hh+gh 亠,.r2r1將此式代入式得 一,n 三 N.2r1r+d n 1 dn令bndn,n - N .則 bn = bn,n N.故數(shù)列bn是以p 7rrr一為公差的等差數(shù)列.N.r- bn=b1 (n -1), n -p -7S其中b1 二d1 a1當存在n。 N ,使bn0bn0不存在的.再證明定理的第(2)部分如下:一. 1 一.

10、a n = d n ,= ',, n - N .bn1=0時,an0 = dn0無意義.故此時,無窮數(shù)列 an是特征方程有兩個相異的根 2,其中必有一個特征根不等于a1 ,不妨令 2 = a1.于是可作變換 cn = ,nN.故Cnan 1-'1,將 an1ran hCn1由第Cn1pan q代入再整理得an(p)q.h, n Nan( P ,2) q ,2h(1)部分的證明過程知 X二匕不是特征方程的根,r_=0, p _ .2r =0.所以由式可得:an JP - '2an,n Nq - 2 h-P 一 2特征方程xpx q有兩個相異根,1rx - h12=方程2 rxx(h異根、 2,而方程x =xh與方程rxx(h p)=0又是同解方程p - xrq 7i h將上兩式代入式得Cn丄ci,n=0,即 a1-時,數(shù)列cn是等比數(shù)列,公比為P二厘此時對于n N都有- 2 rP n 丄,a1人1Cn 二 5(-)=(

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