理論力學L4-6質(zhì)心重心

1、一、平行力系中心一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個點。平行力系中心是平行力系合力通過的一個點。設(shè)設(shè)A、B兩點作用有同向平行力兩點作用有同向平行力F1、F2，在在AB間找到點間找到點C，使：，使：則向則向C點簡化時主矩為零，點簡化時主矩為零，主矢與原力系等效為合力主矢與原力系等效為合力R：C點即是平行力系中心。點即是平行力系中心。4-6 4-6 平行力系中心和重心平行力系中心和重心 21FFR BCFACF21 RC建立坐標系，建立坐標系，由合力矩定理：由合力矩定理：用用e表示各力作用線方向的單位矢量：表示各力作用線方向的單位矢量：上式寫為：上式寫為：2211CFrFrRr e

2、RR , eFF , eFF2211 eFreFreRr2211C 0erFrFrR2211C )(2211CrFrFrR 2122112211CFFrFrFRrFrFr iiiFrF 矢徑矢徑ri不會與單位向量不會與單位向量e平行平行可以將其推廣到由可以將其推廣到由n個同向平個同向平行力組成的平行力系。由此式行力組成的平行力系。由此式得合力的作用點矢徑。得合力的作用點矢徑。iiiCFrFr 由此式確定的點由此式確定的點C稱為平行力系中心。稱為平行力系中心。若平行力系中有反向的平行力，該式仍可用。若平行力系中有反向的平行力，該式仍可用。平行力系中心只與力系中各力的大小和作用點平行力系中心只與力

3、系中各力的大小和作用點的位置有關(guān)，與各力的方向無關(guān)。的位置有關(guān)，與各力的方向無關(guān)。若對均質(zhì)物體，平行力系是重力：若對均質(zhì)物體，平行力系是重力：gmrgmFrFriiiiiiC iiimrm Mrmii 二、重心二、重心1. 重心重心：物體的重力是空間平行力系，物體的：物體的重力是空間平行力系，物體的重量是這個平行力系的合力，合力的作用重量是這個平行力系的合力，合力的作用點就是物體的重心。點就是物體的重心。2. 形心形心：物體的幾何中心。：物體的幾何中心。重心與物體的質(zhì)量及質(zhì)量在物體中的分布重心與物體的質(zhì)量及質(zhì)量在物體中的分布有關(guān)；形心僅是一個幾何量。有關(guān)；形心僅是一個幾何量。對于對于均質(zhì)物體均

4、質(zhì)物體，重心就是形心，與物體的，重心就是形心，與物體的質(zhì)量無關(guān)。質(zhì)量無關(guān)。質(zhì)心質(zhì)心：物體的質(zhì)量分布中心。：物體的質(zhì)量分布中心。僅討論均質(zhì)物體僅討論均質(zhì)物體(=C)。設(shè)物體的重量為。設(shè)物體的重量為G，體，體積為積為V，假設(shè)重心在，假設(shè)重心在C(xc ,yc ,zc)。：單位體積重量：單位體積重量總重量總重量：G=V 公式用合力矩定理求。公式用合力矩定理求。在在M(x,y,z)點處取體積為點處取體積為dV的微元，該微元重力：的微元，該微元重力： dG=dV該微力對該微力對 y 軸的力矩：軸的力矩：dmy(dG)=xdG=xdV3. 重心和形心的坐標公式重心和形心的坐標公式微力對微力對 y 軸取矩的

5、代數(shù)和：軸取矩的代數(shù)和：合力對合力對 y 軸取矩：軸取矩：由合力矩定理：由合力矩定理： VVVyxdVxdVdGdm )(CCyxVxGGm)()( VCxdVxV )(VxdVVxdVxVVC 同理：同理： VzdVzVydVyVxdVxVCVCVC對均質(zhì)物體，重心與形心相同；對均質(zhì)物體，重心與形心相同； AydAyAxdAxACAC對于平面圖形：對于平面圖形：4. 分割法求形心分割法求形心組合平面圖形：若平面圖形是由幾個簡單幾組合平面圖形：若平面圖形是由幾個簡單幾何形狀組成的規(guī)則圖形，則稱其為組合平面何形狀組成的規(guī)則圖形，則稱其為組合平面圖形。圖形。 組合平面圖形的形心，組合平面圖形的形心

6、，可用簡單形狀的面積與可用簡單形狀的面積與簡單形狀各自的形心來簡單形狀各自的形心來計算。計算。設(shè)組合平面圖形共有設(shè)組合平面圖形共有n個簡單幾何形狀，個簡單幾何形狀，總面積：總面積：A=Ai第第i個幾何圖形的面積：個幾何圖形的面積：Ai ；第第i個幾何圖形的形心：個幾何圖形的形心：Ci (xci ,yci ) iAiCiAxdAx 其中：其中：AxdAxAC 若其中某塊圖形是若其中某塊圖形是挖空挖空的，其的，其面積面積計為計為負負。iAn3A2A1AAxdAxdAxdAxdA iciiiAiAxAAxdA 例例1. 求拋物線圖形的形心。求拋物線圖形的形心。 (積分式積分式)AxdAxAC dx在

7、任意在任意x處，處，取微增量取微增量dx，則微面積則微面積dA：dA=x2dx AxdA433141dxxdxx102103 /x1033110131dyy1yAydAy10AC /)(dyydA)1( ydy在任意在任意y處，處，取微增量取微增量dy，則微面積則微面積dA： AydA標注形心：標注形心：形心的位置是形心的位置是相對于選定的坐標系相對于選定的坐標系而言的，選而言的，選定不同的坐標系，則形心位置不同。定不同的坐標系，則形心位置不同。習題答案僅供參考。習題答案僅供參考。3/43/10C例例2. 求組合圖形形心。求組合圖形形心。(分割法分割法)一、建坐標系一、建坐標系二、分解塊并計算二、分解塊并計算A1A2 (-) xy10 -y100205 AC11 22 -y40104 A2C2 413. 212C21C1CAAyAyAy 40100224010100 )()(三、標注三、標注C(0,-13)xC =0例例3. 計算形心計算形心(負面積法負面積法)一、建坐標系：一、建坐標系：yC = 0二、分塊并計算二、分塊并計算該圖形分解成一個實心該圖形分解成一個實心的大圓加上一個挖去的的大圓加上一個挖去的小圓，小圓，挖空部分視為負面積。挖空部分視為負面積。實心圓：實心圓：空心圓：空心圓：A1A2xy0 x 4D AC121 4Dx 4D/2) AC222 ( C