機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用和解題技巧有詳細(xì)答案

1、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用和解題技巧有詳細(xì)答案能量轉(zhuǎn)化和守恒定律是自然界四大基本規(guī)律之一，機(jī)械能守恒定律又是能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的具體表現(xiàn)形式，由于機(jī)械能守恒定律不涉及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度和時(shí)間，用它來(lái)處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題要遠(yuǎn)比牛頓運(yùn)動(dòng)定律方便。機(jī)械能守恒定律適用的對(duì)象可以是單個(gè)物體（彈簧）和地球組成的系統(tǒng)，也可以是多個(gè)物體（彈簧）和地球組成的系統(tǒng)。不過(guò)，對(duì)象不同，在守恒的判斷上、運(yùn)用的方式上略有差異。 機(jī)械能包括動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能三種，由于重力勢(shì)能屬于物體和地球組成的系統(tǒng)，因此，只要涉及重力勢(shì)能，地球就必定是研究對(duì)象的一部分，也正因?yàn)槿绱耍诮淮芯繉?duì)象時(shí)地球可以不特別指明。 

2、;一、單個(gè)物體（彈簧）和地球組成的系統(tǒng) 機(jī)械能守恒條件： （1）只受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈簧彈力；（注意：從研究對(duì)象的組成可知，重力也屬內(nèi)力） （2）受其它外力，但其它外力不做功； （3）其它外力做功，但其它外力做功的代數(shù)和始終為0。 滿(mǎn)足上述三個(gè)條件中任何一個(gè)，該系統(tǒng)的機(jī)械能都守恒。其中第三個(gè)條件需要進(jìn)行一點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明，以沿水平公路勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)為例，運(yùn)行過(guò)程中，發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部燃燒汽油，一部分化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，同時(shí)，汽車(chē)克服阻力做功，一部分機(jī)械能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，兩個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中機(jī)械能變化的數(shù)值相等，因此汽車(chē)機(jī)械能的總量保持不變。正因如此，嚴(yán)格地講，第三個(gè)

3、條件不屬于機(jī)械能守恒的條件之列，只是研究過(guò)程中機(jī)械能的數(shù)值始終保持不變而已。 例：如圖所示，小球從某一高處自由下落到豎直放置的輕彈簧上，在將彈簧壓縮到最短的過(guò)程中，下列關(guān)于機(jī)械能的敘述中正確的是（    ）  （a）重力勢(shì)能和動(dòng)能之和總保持不變 （b）重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能之和總保持不變 （c）動(dòng)能和彈性勢(shì)能之和總保持不變 （d）重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能之和總保持不變 分析：這是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，難點(diǎn)在于研究對(duì)象的選擇。若以小球、地球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，彈簧彈力屬于外力，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒；若以小球、彈簧、

4、地球組成的系統(tǒng)為對(duì)象，彈簧彈力屬于內(nèi)力，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 解：應(yīng)選d選項(xiàng)。 說(shuō)明：涉及彈簧的問(wèn)題一定要注意彈簧是否為系統(tǒng)的組成部分，因?yàn)檫@將決定彈簧彈力到底屬于內(nèi)力還是外力，有沒(méi)有外力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒？ 例：如圖所示，均勻鐵鏈長(zhǎng)為，平放在距離地面高為的光滑水平面上，其長(zhǎng)度的懸垂于桌面下，從靜止開(kāi)始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時(shí)的速度？  分析：將鐵鏈與地球組成一個(gè)系統(tǒng)，由于桌面的彈力對(duì)鐵鏈不做功，只有重力做功，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。另外，鐵鏈下落前，形狀不規(guī)則，重力勢(shì)能最好分段計(jì)算，但要注意質(zhì)量的對(duì)應(yīng)性。 解：選取桌面

5、為零勢(shì)能面，對(duì)鐵鏈與地球組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律可得：  即 解得： 說(shuō)明：此題也可選取地面為零勢(shì)能面求解。零勢(shì)能面選取不同，列出的表達(dá)式不同，雖然最后解得的結(jié)果是一樣的，但解方程時(shí)的簡(jiǎn)易程度明顯不同。因此，靈活、準(zhǔn)確地選取零勢(shì)能面，往往會(huì)給題目的求解帶來(lái)方便。如果想避開(kāi)零勢(shì)能面的選取，可考慮使用列方程。 二、多個(gè)物體（彈簧）和地球組成的系統(tǒng) 機(jī)械能守恒的條件： （1）系統(tǒng)外部無(wú)作用力對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部物體做功確保系統(tǒng)外部與內(nèi)部之間無(wú)機(jī)械能的轉(zhuǎn)移； （2）系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)滑動(dòng)摩擦力、流體的阻力、爆炸力等做功確保系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)機(jī)械能

6、與其它形式能的轉(zhuǎn)化。 必須同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件，該系統(tǒng)的機(jī)械能才守恒。而且系統(tǒng)的機(jī)械能應(yīng)理解成內(nèi)部包含的所有物體機(jī)械能的總和。當(dāng)然處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往有部分物體的部分種類(lèi)能量沒(méi)有發(fā)生變化，因此，對(duì)多個(gè)物體（彈簧）和地球組成的系統(tǒng)使用機(jī)械能守恒定律時(shí)，表達(dá)式寫(xiě)成更簡(jiǎn)單。 例：如圖所示，一根長(zhǎng)為的輕桿中點(diǎn)和端點(diǎn)分別固定著兩個(gè)完全相同的小球、，小球質(zhì)量為，桿在豎直平面內(nèi)繞另一端無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。使桿由水平位置無(wú)初速釋放，求到達(dá)豎直位置時(shí)，、兩球的速度大小。  分析：設(shè)想球、球各用長(zhǎng)為和的輕繩組成單擺，把它們同時(shí)拉至水平位置，放手后由實(shí)驗(yàn)可知，球先擺到最低點(diǎn)，即繩子越

7、短，擺到最低點(diǎn)時(shí)間也越短。再設(shè)想將兩球用繩固定，在中點(diǎn)，在端點(diǎn)，讓它們同時(shí)從水平位置釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必定會(huì)出現(xiàn)球在前、球在后的情況。如下圖所示，將繩換成輕桿，由于桿子不能彎折，球必受桿的切向阻力，球必受桿的切向動(dòng)力，即、兩球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各自的機(jī)械能都不守恒。但由于阻力對(duì)球做的負(fù)功與動(dòng)力對(duì)球做的正功代數(shù)和為零，故對(duì)、（含輕桿）、地球組成的系統(tǒng)而言，機(jī)械能是守恒的。  解：、（含輕桿）、地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，如圖，設(shè)輕桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，、兩球的速度大小分別為、。則  又因?yàn)?、固定在同一根桿上，角速度相等，即  聯(lián)立求解得：， 

8、;說(shuō)明：用表達(dá)式時(shí)不必規(guī)定零勢(shì)能面，因?yàn)橹亓?shì)能的改變量與零勢(shì)能面的選取沒(méi)有關(guān)系。 例：如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪，一柔軟的細(xì)線(xiàn)跨過(guò)定滑輪，兩端分別與物塊和連接，的質(zhì)點(diǎn)為，的質(zhì)量為，開(kāi)始時(shí)將按在地面上不動(dòng)，然后放開(kāi)手，讓沿斜面下滑而上升。已知物塊a若沿斜面下滑距離后，細(xì)線(xiàn)突然斷了，求物塊上升的最大高度。與斜面間無(wú)摩擦，  分析：細(xì)線(xiàn)斷裂前，、（含細(xì)線(xiàn)）、地球組成的系統(tǒng)滿(mǎn)足機(jī)械能守恒的條件；細(xì)線(xiàn)斷裂后，、地球組成的系統(tǒng)不受其它外力，機(jī)械能也守恒。 解：設(shè)細(xì)線(xiàn)斷裂瞬間，、的速度大小為，對(duì)、（含細(xì)線(xiàn)）、地球組成的

9、系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律可得：  則： 細(xì)線(xiàn)斷裂后，設(shè)繼續(xù)上升的高度為，對(duì)、地球組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律可得： 則       所以 說(shuō)明：與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的連接體問(wèn)題一般優(yōu)先從能量的角度進(jìn)行分析。對(duì)連接體和地球組成的系統(tǒng)，分別檢查外力和內(nèi)力做功的情況，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒條件就使用機(jī)械能守恒定律，不滿(mǎn)足則考慮使用能量守恒定律。 三、流體（或連續(xù)體）和地球組成的系統(tǒng) 借助等效的思想確定重力勢(shì)能的變化量是處理流體（或連續(xù)體）問(wèn)題常用的技巧。 例：如圖所示，粗細(xì)均勻的形管內(nèi)

10、裝有總長(zhǎng)為的水。開(kāi)始時(shí)閥門(mén)閉合，左右兩管內(nèi)水面高度差為。打開(kāi)閥門(mén)后，左右水面剛好相平時(shí)左管液面的速度是多大？（管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計(jì)）  分析：由于摩擦阻力忽略不計(jì)，故水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右兩管水面相平為止，相當(dāng)于有長(zhǎng)的水柱由左管移到右管。 解：如圖，從打開(kāi)閥門(mén)到左右水面剛好相平的過(guò)程中，整個(gè)水柱勢(shì)能的減少量等效于高的水柱降低重力勢(shì)能的減少。 設(shè)水柱總質(zhì)量為，則由機(jī)械能守恒定律可得：  則 說(shuō)明：本題在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)仍然用 建立方程，在計(jì)算系統(tǒng)重力勢(shì)能變化時(shí)用了等效的思想，但需要注意

11、研究對(duì)象仍然是整個(gè)水柱，當(dāng)左右兩管水面相平時(shí)，整個(gè)水柱中的每一部分速率都相等。 功能關(guān)系、機(jī)械能守恒定律是動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)的綜合發(fā)展，一般運(yùn)用在物理情境比較復(fù)雜的問(wèn)題中，需要周密細(xì)致的分析受力情況、做功情況才能確保規(guī)律的使用萬(wàn)無(wú)一失。 變式練習(xí)： 1如圖所示，總長(zhǎng)為的光滑勻質(zhì)的鐵鏈，跨過(guò)一光滑的輕質(zhì)小定滑輪，開(kāi)始時(shí)底端相齊，當(dāng)略有擾動(dòng)時(shí)，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？  2如圖所示，一根長(zhǎng)為，可繞軸在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，已知、，質(zhì)量相等的兩個(gè)球分別固定在桿的、端，由水平位置自由釋放，求輕桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)兩球的速度？  3如圖所示，半徑為的光滑半圓上有兩個(gè)小球、，質(zhì)量分別為和，由細(xì)線(xiàn)掛著，今由靜止開(kāi)始無(wú)初速度自由釋放，求小球升至最高點(diǎn)時(shí)、兩球的速度？  4將細(xì)繩繞過(guò)兩個(gè)定滑輪和繩的兩端各系一個(gè)質(zhì)量為的砝碼。、間的中點(diǎn)掛一質(zhì)量為的小球，、b間距離為l，開(kāi)始用手托住使它們都保持靜止，如圖所示。放手后小球和2個(gè)砝碼開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。求（1）小球下落的最大位移是多少？（2）小球的平衡位置距點(diǎn)距離是多少？  5如圖所示，游樂(lè)列車(chē)由許多節(jié)車(chē)廂組成。列車(chē)全長(zhǎng)為，圓形軌道半徑為，（遠(yuǎn)