2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第36講《分類討論型問題》講解(含答案)

1、第36講分類討論型問題(建議該講放第21講后教學(xué))內(nèi)容特性分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想對(duì)于存在的一些不確定因素而無法解答或結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題劃分為若干類或若干個(gè)局部問題來解決.解題策略很多數(shù)學(xué)問題很難從整體上去解決，若將其劃分為所包含的各個(gè)局部問題，就可以逐個(gè)予以解決分類討論在解題策略上就是分而治之各個(gè)擊破具體是：(1)確定分類對(duì)象；(2)進(jìn)行合理分類(理清分類“界限”，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、不遺漏)；(3)逐類進(jìn)行討論；(4)歸納并得出結(jié)論.基本思想分類討論的基本方法是：首先要

2、確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對(duì)各個(gè)分類逐步進(jìn)行討論，分層進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.類型一由計(jì)算化簡時(shí)，運(yùn)用法則、定理和原理的限制引起的討論(·南通模擬)矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個(gè)矩形的面積為()A3cm2 B4cm2 C12cm2 D4cm2或12cm2【解后感悟】解此題的關(guān)鍵是求出ABAE，注意AE1或3不確定，要進(jìn)行分類討論1(1)若關(guān)于x的函數(shù)ykx22x1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_(2)已知平面上有O及一點(diǎn)P，點(diǎn)

3、P到O上一點(diǎn)的距離最長為6cm，最短為2cm，則O的半徑為cm.(3)若|a|3，|b|2，且ab，則ab()A5或1 B5或1 C5或1 D5或1類型二在一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程中，出現(xiàn)不同情況引起的討論為了節(jié)約資源，科學(xué)指導(dǎo)居民改善居住條件，小王向房管部門提出了一個(gè)購買商品房的政策性方案.人均住房面積(平方米)單價(jià)(萬元/平方米)不超過30(平方米)0.3超過30平方米不超過m平方米部分(45m60)0.5超過m平方米部分0.7根據(jù)這個(gè)購房方案：(1)若某三口之家欲購買120平方米的商品房，求其應(yīng)繳納的房款；(2)設(shè)該家庭購買商品房的人均面積為x平方米，繳納房款y萬元，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

4、(3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米，繳納房款為y萬元，且57y60時(shí)，求m的取值范圍 【解后感悟】本題是房款房屋單價(jià)×購房面積在實(shí)際生活中的運(yùn)用，由于單價(jià)隨人均面積而變化，所以用分段函數(shù)的解析式來描述同時(shí)建立不等式組求解，解答本題時(shí)求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵2(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx2與反比例函數(shù)y的圖象有唯一公共點(diǎn)，若直線yxb與反比例函數(shù)y的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()Ab>2 B2<b<2 Cb>2或b<2 Db<2(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對(duì)角線BD的直線l從O出發(fā)，沿

5、x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到直線l與正方形沒有交點(diǎn)為止設(shè)直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是()3已知拋物線y1ax2bxc(a0)與x軸相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O兩側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A，C在一次函數(shù)y2xn的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，求自變量x的取值范圍類型三由三角形的形狀、關(guān)系不確定性引起的討論(·湖州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線ykx(k0)分別交反比例函數(shù)y和y在第一象限的圖象于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D，交y的圖象

6、于點(diǎn)C，連結(jié)AC.若ABC是等腰三角形，則k的值是_【解后感悟】解題的關(guān)鍵是用k表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論4 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為()A4 B5 C6 D8(2) (·北流模擬)如圖，在RtABC中，C90°，AC12，BC6，一條線段PQAB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，要使ABC和QPA全等，則AP.(3) (·臨淄模擬)如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CD上，且CNCD，若AB1，設(shè)BMx，

7、當(dāng)x時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似類型四由特殊四邊形的形狀不確定性引起的討論(·鄂州模擬)如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，AB8cm，AD16cm，BC22cm，ABC90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP成為矩形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(3)四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理

8、由，并探究如何改變Q點(diǎn)的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度【解后感悟】解本題的關(guān)鍵是用方程(組)的思想解決問題，涉及四邊形的知識(shí)，同時(shí)也是存在性問題，解答時(shí)要注意分類討論及數(shù)形結(jié)合5(1)(·鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐標(biāo)系中再找一個(gè)點(diǎn)D，使這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則D點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)(·江陰模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，BC6cm，射線AGBC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)

9、ts時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形(3) (·金華模擬)如圖，B(6，4)在函數(shù)yx1的圖象上，A(5，2)，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在函數(shù)yx1上，以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo).(4)(·蕭山模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)依次為(1，0)，(m，n)，(1，10)，(7，p)，且pn.若以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則n的值是.類型五由直線與圓的位置關(guān)系不確定性引起的討論如圖，已知O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點(diǎn)O，OP10cm，射線PN與O相切于點(diǎn)Q.A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A

10、以5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)求PQ的長；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與O相切？【解后感悟】本題是直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，題目設(shè)置具有創(chuàng)新性解決本題的關(guān)鍵是抓住直線與圓的兩種情況位置關(guān)系，及其對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析6 (·泗洪模擬)如圖，已知P的半徑為2，圓心P在拋物線yx21上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為.【壓軸把關(guān)題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(3，0)，(0，6)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)

11、動(dòng)以CP，CO為鄰邊構(gòu)造PCOD，在線段OP延長線上取點(diǎn)E，使PEAO，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；(3)在線段PE上取點(diǎn)F，使PF1，過點(diǎn)F作MNPE，截取FM2，F(xiàn)N1，且點(diǎn)M，N分別在第一、四象限，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)PCOD的面積為S.當(dāng)點(diǎn)M，N中，有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，求出所有滿足條件的t的值；若點(diǎn)M，N中恰好只有一個(gè)點(diǎn)落在四邊形ADEC內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，直接寫出S的取值范圍【方法與對(duì)策】本題是四邊形的綜合題，對(duì)于第(3)題解題的關(guān)鍵是正確分幾種不同情況求解當(dāng)

12、點(diǎn)C在BO上時(shí)，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，由EMFECO求解，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，由EFNEPD求解；當(dāng)點(diǎn)C在BO的延長線上時(shí)，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在DE邊上時(shí)，由EMFEDP求解，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在CE邊上時(shí)，由EFNEOC求解；當(dāng)1t時(shí)和當(dāng)t5時(shí)，分別求出S的取值范圍這種雙動(dòng)點(diǎn)型、分類討論問題是中考命題常用的策略【分類討論應(yīng)不重復(fù)、不遺漏】在ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于A，B)，過點(diǎn)P的一條直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的ABC的相似線如圖，A36°，ABAC，當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)P的ABC的相似線最多有

13、_條參考答案第36講分類討論型問題【例題精析】例1四邊形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBC，AEBCBE，BE平分ABC，ABECBE，AEBABE，ABAE，當(dāng)AE1cm時(shí)，AB1cmCD，AD1cm3cm4cmBC，此時(shí)矩形的面積是1cm×4cm4cm2；當(dāng)AE3cm時(shí)，AB3cmCD，AD4cmBC，此時(shí)矩形的面積是：3cm×4cm12cm2；故選D.例2(1)由題意，得三口之家應(yīng)繳購房款為：0.3×900.5×3042(萬元)； (2)由題意，得當(dāng)0x30時(shí)，y0.3×3x0.9x；當(dāng)30xm時(shí)，y0.9×300.5

14、×3×(x30)1.5x18；當(dāng)xm時(shí)，y0.9×300.5×3(m30)0.7×3×(xm)2.1x180.6m.y(45m60) (3)由題意，得當(dāng)50m60時(shí)，y1.5×501857(舍)當(dāng)45m50時(shí)，y2.1×500.6m18870.6m.57y60，57870.6m60，45m50.綜合得45m50.例3點(diǎn)B是ykx和y的交點(diǎn)，ykx，解得：x，y3，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)A是ykx和y的交點(diǎn)，ykx，解得：x，y，點(diǎn)A坐標(biāo)為，BDx軸，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，BAAC，若ABC是等腰三角形，ABB

15、C，則3，解得：k；ACBC，則3，解得：k；故答案為k或.例4(1)ABC90°，APBQ，當(dāng)APBQ時(shí)，四邊形ABQP成為矩形，由運(yùn)動(dòng)知，APt，CQ3t，BQ223t，t223t，解得t.當(dāng)t時(shí)，四邊形ABQP成為矩形；(2)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，就是(1)中的情形，此時(shí)t.當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與C、D兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，PDQC，當(dāng)PDQC時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形此時(shí)，16t3t，t4；當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與B、D兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，同理，16t223t，t3；當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與A、C兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，同理，t3t，t0，

16、不符合題意；故當(dāng)t或t4或t3時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形 （3）四邊形PBQD不能成為菱形理由如下：PDBQ，當(dāng)PDBQBP時(shí)，四邊形PBQD能成為菱形由PDBQ，得16t223t，解得t3，當(dāng)t3時(shí)，PDBQ13，APADPD16133.在RtABP中，AB8，根據(jù)勾股定理得，BP13，四邊形PBQD不能成為菱形；如果Q點(diǎn)的速度改變?yōu)関cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在時(shí)刻ts為菱形，由題意得，解得故點(diǎn)Q的速度為2cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形例5(1)連結(jié)OQ，PN與O相切于點(diǎn)Q，OQPN，即OQP90°.OP10，

17、OQ6，PQ8(cm) (2)過點(diǎn)O作OCAB，垂足為C.點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，PA5t，PB4t.PO10，PQ8，.PP，PABPOQ，PBAPQO90°.BQOCBQOCB90°，四邊形OCBQ為矩形，BQOC.O的半徑為6，BQOC6時(shí)，直線AB與O相切當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí)，BQPQPB84t，由BQ6，得84t6，t0.5.當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，BQPBPQ4t8，由BQ6，得4t86，t3.5.綜上，當(dāng)t0.5s或3.5s時(shí)，直線AB與O相切【變式拓展】1(1)0或1(2)4或2(3)C2.(

18、1)C(2)D3根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或8.分類討論：n8時(shí)，易得A(6，0)，如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，且與x軸交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩側(cè)，拋物線開口向下，則a0，AB16，且A(6，0)，B(10，0)，而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，a0，x2；n8時(shí)，易得A(6，0)，如圖2，拋物線過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交點(diǎn)A，B在原點(diǎn)兩側(cè)，拋物線開口向上，則a0，AB16，且A(6，0)，B(10，0)，而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，且a0，x2.4(1)C(2)6或12(3)或5.(1)(3，0)或(1，2)或(3，4)(2)2或6(3)(2，2)或(6，2)或(10，6)(4)2，5，186.(，2)或(，2)【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)OB6，C是OB的中點(diǎn)，BCOB3.2t3，即ts.OE3，E(，0) (2)如圖1，連結(jié)CD交OP于點(diǎn)G，在PCOD中，CGDG，OGPG，AOPE，AGEG .四邊形ADEC是平行四邊形 (3)()當(dāng)點(diǎn)C在線段BO上時(shí)，第一種情況：如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，MFOC，EMFECO.，即，解得t1.第二種情況：如圖3，當(dāng)點(diǎn)