高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽講座32多邊形的面積和面積變換

1、競(jìng)賽講座32多邊形的面積和面積變換本講在初二幾何范圍內(nèi)，通過(guò)實(shí)例對(duì)平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡(jiǎn)單介紹.所用知識(shí)不多，簡(jiǎn)列如下：（1）       全等形的面積相等；（2）       多邊形的面積定理（三角形、梯形等，略）；（3）       等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等（對(duì)梯形底相等應(yīng)理解為兩底和相等）；（4）       等底

2、（等高）的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高（這高對(duì)應(yīng)的底）的比.以下約定以abc同時(shí)表示abc的面積.1  多邊形的面積例1  （第34屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在圖23-1的平面圖形中，邊af與cd平行，bc與ed平行，各邊長(zhǎng)為1，且fab=bcd=，該圖形的面積是（   ）（a）  （b）1  （c）  （d）  （e）2分析  將這個(gè)圖形分解為若干個(gè)基本圖形三角形，連bf、be、bd得四個(gè)與abf全等的正三角形，進(jìn)一步計(jì)算可得圖形面積為.所以選（d）.例2   

3、;       （第5屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖23-2五條線段把矩形abcd分成了面積相等的四部分，其中xy=yb+bc+cz=zw=wd+da+ax，而pq平行于ab.如果bc=19cm，pq=87cm，則ab的長(zhǎng)度等于_.分析  如圖,延長(zhǎng)pq交ad、cb于e、f.由yb+bc+cz=wd+da+ax知a+c=b+d,又梯形pqwz與梯形pqyx面積相等,故e、f分別為ad、cb的中點(diǎn).而saxpwd=sbyqzc，ep=qf，設(shè)為e.由saxpwd=spqzw  得2e=106，ab=2e+87=193.例

4、3.如圖23-3四邊形abcd的兩邊ba和cd相交于g，e、f各為bd、ac的中點(diǎn).試證：efg的面積等于四邊形abcd面積的四分之一.分析  注意到e、f各為bd、ac的中點(diǎn)，連結(jié)ea、ec和fd.則如果能夠證明efg的面積等于四邊形aefd的面積，問(wèn)題即可解決.為此，取ad的中點(diǎn)p，連pe、pf，則pegb，pfgc.于是gep=aep，gfp=dfp.而pef公用.gef=saefd.至此，問(wèn)題得解.證明略.2  利用面積變換解幾何題先看一個(gè)例子.例4.以直角三角形abc的兩直角邊ac、bc為一邊各向外側(cè)作正方形acde、bcgh，連結(jié)be、ah分別交ac、bc于p、

5、q.求證:cp=cq.證明 (如圖23-4)顯然sgcq=shcq，hbag，sgcq=sach=sabc.同理,sbdp=sabc.sagq=sbdp,cq·ag=cp·bd.ag=ac+gc=dc+bc=bd，cp=cq.此例是關(guān)于平面圖形中線段的等式，看似與面積無(wú)關(guān)，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關(guān)系達(dá)到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關(guān)系入手來(lái)研究圖形的度量關(guān)系和位置關(guān)系的方法即所謂面積變換.例5  (第37屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)圖23-5中,abcde是正五邊形,ap、aq和ar是由a向cd、cb和de的延長(zhǎng)線上所引的垂線.設(shè)o是正五邊

6、形的中心,若op=1,則ao+aq+ar等于(   ).（a）3  （b）1+（c）4  （d）2+  (e)5分析  因題設(shè)中ap、aq、ar分別與cd、cb、de垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到即由cd=bc=de，則ap+aq+ar=5·op故ao+aq+ar=4.應(yīng)選（c）.例6  （第37屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）不等邊三角形abc的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12.若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大可能是（   ）.（a）4  （b）5  （c）6  （d）

7、7（e）不同于（a）-（d）的答案解  設(shè)abc第三邊上的高為h，面積為s，則該三角形的三邊可表示為顯見.據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有+，+.解得3h6.所以選（b）.例7         圖23-6中，已知ab是直角三角形abc的斜邊，在射線ac、bc上各取一點(diǎn)、，使p、q是abc內(nèi)兩點(diǎn)，如果p，q到abc各邊的距離之和相等，則pq；反之亦然.證明  設(shè)p、q到abc各邊的距離之和分別為s（p），s（q）.連pa、pb、p、p，不難發(fā)現(xiàn)apb+ap+pb-p=abc-c（定值）.于是=同理

8、，顯然，當(dāng)s（p）=s（q）時(shí)，pq反之，當(dāng)pq時(shí)，s（p）=s（q）.3  一個(gè)定理的應(yīng)用定理已知abc、dbc共邊bc，ad交bc或其延長(zhǎng)線于e，則 分析  當(dāng)b或c點(diǎn)與e重合時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)b、c都不與e重合時(shí)，有兩種情況：若e在bc之間，由abe=易知結(jié)論成立；若e在bc之外類似可證.證明略.這個(gè)定理敘述的事實(shí)雖然簡(jiǎn)單,但卻能解決大問(wèn)題.例8 (1987年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖23-8已知四邊形abcd內(nèi)有一點(diǎn)e,連接ae、be、ce、de，將四邊形abcd分成四個(gè)面積相等的三角形，那么命題（   ）.甲.   abc

9、d是凸四邊形;    此處無(wú)圖乙.   e是對(duì)角線ac的中點(diǎn)或?qū)蔷€bd的中點(diǎn);丙.   abcd是平行四邊形中.(a)   只有甲正確  (b)只有乙正確  (c)甲、乙、丙都正確  （d）甲、乙、丙都不正確分析  如果abcd是以ac為對(duì)稱軸的凹四邊形，易見ac的中點(diǎn)具有題中e點(diǎn)所要求的性質(zhì)，所以甲、丙都不正確.設(shè)ae、be、ce、de將四邊形abcd分成四個(gè)面積相等的三角形，bd、ac交于f，由abe=ade及本講定理知f是bd的中點(diǎn)，即e在af上.如果f與e

10、重合，則e是bd的中點(diǎn)，乙成立.如果f與e不重合，同理由bec=dec是e在直線cf上，也就是說(shuō)a、c都在直線ef上.再由abe=bec，得ae=ec，所以e是ac的中點(diǎn)，乙成立.所以選（b）.如果將三點(diǎn)a、b、c在一條直線上看成是abc的蛻化情況，那么a、b、c三點(diǎn)共線等價(jià)于abc=0.由此引出證明三點(diǎn)共線的一條極自然的思路:欲證三點(diǎn)a、b、c共線，只要證明abc=0.為了計(jì)算abc的面積，常在a、b、c之外適當(dāng)選一點(diǎn)p，如果pab、pbc、pac三者之中一個(gè)等于另兩個(gè)之和，則自然有abc=0，這方面?zhèn)鹘y(tǒng)的例子是梅內(nèi)勞斯定理的證明.例9在圖33-9abc的兩邊ab、ac上分別取e、f兩點(diǎn)，在

11、bc的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)d，使則d、e、f三點(diǎn)共線.   此處無(wú)圖證明  設(shè)則于是                 由、易得bde=bef+bdf，d、e、f三點(diǎn)共線.說(shuō)明：a、b、c共線即點(diǎn)b在直線ac上.由此即知欲證l1、l2、l3共點(diǎn)，只要證l1、l2的交點(diǎn)b在直線l3上，若在l3上別取點(diǎn)a、c，則只要證明abc=0即可.看來(lái)三線共點(diǎn)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線來(lái)解決，這方面典型的例子是塞瓦定理的證明（見練習(xí)題）.最后，我們來(lái)看一個(gè)

12、漂亮的作圖問(wèn)題.例10設(shè)a、b是直線l1上的兩點(diǎn)，而c、d是直線l2上的兩點(diǎn)，l1與l2交于o，作出平面上一切滿足條件pab=pcd的點(diǎn)p.分析  如圖23-10，在l1上取e、f，使o為ef中點(diǎn)且eo=ab；在l2上取g、h，使o為gh中點(diǎn)且go=cd.不妨設(shè)e、g、f、h之順序使egfh成為以o為中心的平行四邊形.設(shè)eg、gf、fh、he之中點(diǎn)順次為m、s、n、r，則p點(diǎn)為直線mn和rs上的一切點(diǎn).設(shè)p為rs上或mn上任一點(diǎn)，由作圖知pab=pfo，pcd=pgo.由本講定理知pfo=pgo，所以pab=pcd.當(dāng)p點(diǎn)不在直線mn上且不在rs上時(shí)，可以用反證法證明pabpcd.&

13、#160;  練習(xí)二十三1  選擇題（1）等腰abc中，一腰上的高線長(zhǎng)為，這個(gè)高線與底邊的夾角是，abc的面積是（   ）.（a）  （b）2 （c）2 （d）  （e）以上答案都不對(duì)（2）如圖，abcd是面積為1的正方形，pbc為正三角形，則bpd的面積為（   ）.（a）  （b）  （c）  （d）  （e）（3）已知等腰abc一腰上的中線為15，底邊上的高為18，則abc的面積是（   ）.（a）124  （b）144  （c）

14、150  （d）以上答案都不對(duì)2.填空題(1)    已知一張矩形紙片abcd,ab=a,bc=ka,將紙片折疊一次,使頂點(diǎn)a與c重合,如果紙片不重合部分面積為,則k=_.(2)    已知等腰梯形abcd的兩對(duì)角線ac、bd互相垂直相交，且梯形的面積為100cm2，則梯形的高h(yuǎn)=_.(3)    (第3屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)如圖所示,將abc的三個(gè)頂點(diǎn)與同一個(gè)內(nèi)點(diǎn)連接起來(lái),所得三條聯(lián)線把a(bǔ)bc分成六個(gè)小三角形,其中四個(gè)小三角形的面積已在圖上標(biāo)明. abc的面積是_.(4)  

15、;  (1984年西安初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)abc的面積為1,則def的面積是_.3.如圖,b在ac上,q在pr上,pbqc，aqbr.求證：apcr.4（1974年加拿大中學(xué)生笛卡爾數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)ad為abc一中線，引任一直線cf交ad于e，交ab于f.證明ae·fb=2af·ed.5（塞瓦定理）設(shè)x、y、z分別是abc的邊bc、ca、ab上的點(diǎn)，若則ax、by、cz三線共點(diǎn).6（1983年中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，在四邊形abcd中abd，bcd，abc的面積比是3：4：1，點(diǎn)m，n分別在ac，cd上，滿足am：ac=cn：cd，并且b、m、n三點(diǎn)共線，求證：m

16、與n分別是ac與cd的中點(diǎn).此處無(wú)圖7p為abc內(nèi)部一點(diǎn)，p到邊ab、ac的距離為pe、pf，pe=q，pf=r，pa=x，求證：axcq+br.（a，b，c為相應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)）8三角形的兩邊不等，則大邊加上這邊上的高，不小于小邊加上小邊上的高.9設(shè)abc的面積s=1.試分別在邊bc、ca、ab上依次我一內(nèi)點(diǎn)e、f、g，使得efg的面積適合 練習(xí)二十三（）   （）  （）（）連、，連后，引入三個(gè)面積參數(shù)，即，則設(shè)與交于點(diǎn)，連、設(shè)易知，（），、共線、共點(diǎn)              設(shè)及這時(shí)，（），（）因此，所以解得即與分別是與的中點(diǎn)作，設(shè)又作，設(shè)顯然，（）如圖，設(shè)，易知，（）（），即（）（），即作法：如圖，作的中位線并延長(zhǎng)至，使作，垂足為（當(dāng)為的最大內(nèi)角時(shí)，必為的內(nèi)點(diǎn)），作m，交于選的任一內(nèi)點(diǎn)，連結(jié)、，并將點(diǎn)改名為，則即為所求練習(xí)二十三（）   （）