控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換課件

1、控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換第3章控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換一一.連續(xù)和離散系統(tǒng)連續(xù)和離散系統(tǒng)系 統(tǒng) 類 型根據(jù)系統(tǒng)變量是時間連續(xù)函數(shù)還是時間離散函數(shù)，系統(tǒng)分根據(jù)系統(tǒng)變量是時間連續(xù)函數(shù)還是時間離散函數(shù)，系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。(1) 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。系統(tǒng)輸入、輸出信號都是連續(xù)時間信號。（一般（一般l、r、c電路）電路）(2) 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。系統(tǒng)輸入、輸出信號都是離散時間信號。（數(shù)字計算機）（數(shù)字計算機）(3) 混合系統(tǒng)混合系統(tǒng)系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)

2、信號和離系統(tǒng)輸入、輸出信號包含連續(xù)信號和離散信號。（計算機控制系統(tǒng)散信號。（計算機控制系統(tǒng) ）連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型用微分方程描述。離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型用差分方程描述。的數(shù)學模型用差分方程描述?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換 根據(jù)輸入輸出關系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為根據(jù)輸入輸出關系是否同時滿足齊次性和疊加性，系統(tǒng)分為線性和非線性。假設系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止線性和非線性。假設系統(tǒng)在沒有外界信號作用之前處于靜止狀態(tài)，在輸入信號狀態(tài)，在輸入信號u1和和u2或或a1u1和和 a2u2作用下，有作用下，有式中，式中， 為任意實數(shù)，為任

3、意實數(shù)， 為為輸入輸出之間函數(shù)關系。那輸入輸出之間函數(shù)關系。那么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。么，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則是非線性系統(tǒng)。1 1221122()()()f a ua ua f ua f u+=+12,a a()f 系 統(tǒng) 類 型控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換系 統(tǒng) 類 型線性時變系統(tǒng)：線性時變系統(tǒng)：2( )sin( ) ( )( )t y tt y ttu t&非線性定常系統(tǒng)非線性定常系統(tǒng)：2( )2 ( )2( )2 ( )y ty tytu t& &( )12 ( )3 ( )2 ( )y ty ty tu t& &線性定常系統(tǒng)：線

4、性定常系統(tǒng)：根據(jù)模型參數(shù)是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細分為線性定根據(jù)模型參數(shù)是否隨時間變化，線性系統(tǒng)又可細分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換三三.確定和隨機系統(tǒng)確定和隨機系統(tǒng) 系 統(tǒng) 類 型根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈現(xiàn)的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定根據(jù)系統(tǒng)輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)呈現(xiàn)的規(guī)律，系統(tǒng)分為確定性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數(shù)關系能夠用確定性性系統(tǒng)與隨機性系統(tǒng)。輸入輸出之間函數(shù)關系能夠用確定性模型描述的系統(tǒng)，稱為確定

5、性系統(tǒng)，否則稱為隨機系統(tǒng)模型描述的系統(tǒng)，稱為確定性系統(tǒng)，否則稱為隨機系統(tǒng)(或不或不確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng))。例如。例如( )( )( )( )( )( )x tf x tw ty th x tv t=+=+式中，式中， ( ), ( )x ty t分別為狀態(tài)變量和輸出變量，分別為狀態(tài)變量和輸出變量， ( ), ( )w t v t為噪聲。為噪聲。控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型1110-11d( )d( )d ( )( )( )( )( ) ()dddddnnmnnmmnnmy ty ty td u tdu taaa y tbbb u tmnttttt式中，式中， ( ), ( )u

6、 ty t分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，分別為系統(tǒng)輸入量、輸出量，n為系統(tǒng)的階次，為系統(tǒng)的階次， (1,2, ) (0,1,2,)ija in bjm( )y t及各階導數(shù)的的初始值為及各階導數(shù)的的初始值為1( -1)00-1d (0)d(0)(0)ddn-nnyyyy ,y,ytt為參數(shù)，均為實常數(shù)。為參數(shù)，均為實常數(shù)。已知輸出變量已知輸出變量1微分方程微分方程一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型稍加整理，并記稍加整理，并記 2傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)若系統(tǒng)的初始條件為零，那么對微分方程兩邊取拉普拉斯若系統(tǒng)的初始條件為零

7、，那么對微分方程兩邊取拉普拉斯變換后可得變換后可得 111101( )( )( )( )( )( )nnmmnnms y sa sy sasy sa y sb s u sb su sb00( )( )( )mmjjjnn iiib sy sg su sa s01a 稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 =ax+bu 狀態(tài)方程狀態(tài)方程y=cx+du 輸出方程輸出方程系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述。狀態(tài)空間表達式包括狀態(tài)方程和輸出方程。線性定常系述。狀態(tài)空間表達式包括狀態(tài)方程

8、和輸出方程。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為x3狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述12ruuuur維輸入向量維輸入向量 12nxxxx12myyyyn維狀態(tài)向量維狀態(tài)向量m維輸出向量維輸出向量 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型rn111212122212nnmmmnccccccccccmn維輸出矩陣維輸出矩陣 111212122212rrmmmrddddddddddmr維直接傳遞矩陣維直接傳遞矩陣 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaann維系統(tǒng)矩陣維系統(tǒng)矩陣111212122212rrnnnrbbbbbbbbbbnr維輸入矩陣維輸入矩陣 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其

9、轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣對于線性時變系統(tǒng)，系數(shù)矩陣a，b，c，d，均與時間，均與時間t有關，有關，狀態(tài)空間描述為狀態(tài)空間描述為( )( )( )( )ttttxaxbuycxdu控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型1差分方程差分方程設系統(tǒng)差分方程為設系統(tǒng)差分方程為011()(1)( )(1)( )nna y nka y nka y kbu nkb u k引進后移算子引進后移算子1q-1( )(1)q y ky k01()()nnjjjjjja qy knb qu kn-=+=+邋1110()()()()njjjnjjjb qy nkb qu nka qa q

10、-=-=+=+可得可得控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型2離散傳遞函數(shù)離散傳遞函數(shù)(z傳函傳函)假設系統(tǒng)的初始條件為零，即假設系統(tǒng)的初始條件為零，即 ( )( )0y ku k(0)k 則得則得 11011( )( )nnnnaa za zy zb zb zu z系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)( )h z為為 10( )njjjnjjjb zh za z-=-=1z-1q-在初始條件為零時，在初始條件為零時，與與等價。等價。 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 (1)( )( )( )( )( )x kgx khu ky kcx kdu k+=+=+控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系

11、統(tǒng)常用數(shù)學模型三三. matlab模型表示模型表示matlab的控制系統(tǒng)工具箱提供傳遞函數(shù)模型、零極點增益的控制系統(tǒng)工具箱提供傳遞函數(shù)模型、零極點增益模型、狀態(tài)空間模型的生成函數(shù)。模型、狀態(tài)空間模型的生成函數(shù)。函數(shù)功能sys=tf(num，den)生成傳遞函數(shù)模型sys=zpk(z，p，k)生成零極點增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成狀態(tài)空間模型線性模型生成函數(shù)線性模型生成函數(shù)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 1. 傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)模型(transfer function model: tf) 已知傳遞函數(shù)模型已知傳遞函數(shù)模型1111011110( )mmmmnnnnb

12、 sbsb sbg sa sasa sa110mmbbbb-110nnaaaa-由分子和分母多項式系數(shù)可以唯一確定傳遞函數(shù)。由分子和分母多項式系數(shù)可以唯一確定傳遞函數(shù)。分子向量分子向量 num= 分母向量分母向量 den=控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 用命令用命令tf( )可建立傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點增益模型和可建立傳遞函數(shù)模型，或?qū)⒘銟O點增益模型和狀態(tài)空間模型化為傳遞函數(shù)模型。狀態(tài)空間模型化為傳遞函數(shù)模型。sys = tf(num，den)；%用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)；用于生成連續(xù)傳遞函數(shù)；sys = tf(num，den，ts)；%用于生成離散傳遞函數(shù)；用于生成離散傳遞函數(shù)；

13、sys = tf(num，den，property1，value1，.，propertyn，valuen)；% 用于生成具有用于生成具有l(wèi)ti模型屬性的連續(xù)傳遞函數(shù)；模型屬性的連續(xù)傳遞函數(shù)；sys = tf(num，den，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)；% 用于生成具有用于生成具有l(wèi)ti模型屬性的模型屬性的離散傳遞函數(shù)；離散傳遞函數(shù)；tfsys = tf(sys)；%用于將任意狀態(tài)空間模型用于將任意狀態(tài)空間模型ss或零極點增或零極點增益模型益模型zpk的的lti對象對象sys轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常

14、用數(shù)學模型給定給定siso系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為221( )341sg sss+=+使用使用matlab表示該傳遞函數(shù)表示該傳遞函數(shù)num=2 1;den=3 4 1;sys1=tf(num, den)運行結(jié)果：運行結(jié)果：transfer function: 2 s + 1-3 s2 + 4 s + 1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 給定給定siso系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為22321.322.5 e( )0.51.21sssg ssss使用使用matlab表示該傳遞函數(shù)表示該傳遞函數(shù)num=1.3 2 2.5;den=1 0.5 1.2 1;sys2=tf(num,de

15、n,inputdelay,2)運行結(jié)果：運行結(jié)果：transfer function: 1.3 s2 + 2 s + 2.5exp(-2*s) * - s3 + 0.5 s2 + 1.2 s + 1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 給定多輸入給定多輸入-多輸出多輸出mimo系統(tǒng)系統(tǒng) 1112122ssg sss matlab命令：命令：num=1 1;2 1 1 ; den=1 1,1 2;1,1 2; sys3=tf(num,den) 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 結(jié)果為：結(jié)果為：transfer function from input 1 to output.

16、1 #1: - s + 1 #2: 2 transfer function from input 2 to output. 1 #1: - s + 2 s + 1 #2: - s + 2控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 22121212211zzzzzh zzz 若一采樣周期為若一采樣周期為0.2s的離散的離散mimo傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為matlab命令如下：命令如下：num=1 1,1 0;1,2; %分子分子 den=1 2 1,1 0 2;2 1,1 1; %分母分母 sys4=tf(num,den,0.2)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型transfer fun

17、ction from input 1 to output. z + 1 #1: - z2 + 2 z + 1 1 #2: - 2 z + 1 transfer function from input 2 to output. z #1: - z2 + 2 2 #2: - z + 1 sampling time: 0.2控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 2. 零極點增益模型零極點增益模型( zero-pole-gain model: zpk )零極點模型是傳遞函數(shù)的一種特殊形式零極點模型是傳遞函數(shù)的一種特殊形式112121()()()( )()()()miimnniiszszszsz

18、g skkspspspspll離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)112121()()()( )()()()miimnniizzzzzzzzh zkkzpzpzpzpll連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型用命令用命令zpk( )可以建立零極點增益模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型可以建立零極點增益模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和狀態(tài)空間模型變化為零極點增益模型。和狀態(tài)空間模型變化為零極點增益模型。語法格式語法格式sys = zpk(z，p，k)sys = zpk(z，p，k，ts)sys = zpk(z，p，k，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys = zpk(z，

19、p，k，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)zsys = zpk(sys)zpk( )函數(shù)調(diào)用方法與函數(shù)調(diào)用方法與tf( )一致。一致。控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 給定一零極點增益模型給定一零極點增益模型0.3( )20.50.1j0.1jzzh zzzz使用使用matlab表示該傳遞函數(shù)。表示該傳遞函數(shù)。matlab命令如下：命令如下：z=0;-0.5;p=0.3;0.1-j,0.1+j;k=1;2;sys=zpk(z,p,k,)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 zero/pole/gain from input to

20、output. z #1: - (z-0.3) 2 (z+0.5) #2: - (z2 - 0.2z + 1.01) sampling time: unspecified控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型將傳遞函數(shù)將傳遞函數(shù) 化為零極點增益模型化為零極點增益模型22321.322.5 e( )0.51.21sssg ssssmatlab命令：命令：num=1.3 2 2.5;den=1 0.5 1.2 1;sys2=tf(num,den,inputdelay,2)sys6=zpk(sys2) 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 transfer function: 1.3

21、s2 + 2 s + 2.5exp(-2*s) * - s3 + 0.5 s2 + 1.2 s + 1zero/pole/gain: 1.3 (s2 + 1.538s + 1.923)exp(-2*s) * - (s+0.7307) (s2 - 0.2307s + 1.369)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 3狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型(state-space model: ss) 線性定常狀態(tài)空間模型描述為線性定常狀態(tài)空間模型描述為xaxbuycxduxuy式中，式中，為狀態(tài)向量，為狀態(tài)向量， 為輸入向量，為輸入向量， 是輸出向量。是輸出向量?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用

22、數(shù)學模型 用命令用命令ss( )可以建立狀態(tài)空間模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和零極可以建立狀態(tài)空間模型，或?qū)鬟f函數(shù)模型和零極點增益模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。點增益模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型。語法調(diào)用格式語法調(diào)用格式:sys = ss(a，b，c，d)sys = ss(a，b，c，d，ts)sys = ss(a，b，c，d，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys = ss(a，b，c，d，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys_ss = ss(sys)sys_ss = ss(sys，minimal); %最小階實現(xiàn)最小階

23、實現(xiàn)ss函數(shù)的調(diào)用方法與函數(shù)的調(diào)用方法與tf( )、zpk( )一致。一致?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型0100001052011100 xxuyx用用matlab表示為表示為a=0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1;b=0;0; 1;c=1 0 0;d=0;sys=ss(a,b,c,d)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換控制系統(tǒng)常用數(shù)學模型 結(jié)果為：結(jié)果為：a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -5 -20 -1 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1

24、0 continuous-time model?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 matlab實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)換有兩種不同的方式。方式方式1：簡單的模型轉(zhuǎn)換：簡單的模型轉(zhuǎn)換首先生成任一指定的模型對象首先生成任一指定的模型對象(tf，ss，zpk)，然后將該模型，然后將該模型對象類作為輸入，調(diào)用欲轉(zhuǎn)換的模型函數(shù)即可。對象類作為輸入，調(diào)用欲轉(zhuǎn)換的模型函數(shù)即可。例如：欲將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型例如：欲將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型sys=tf(num，den)；a，b，c，d=ss(sys)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之

25、間的轉(zhuǎn)換 方式方式2：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)：直接調(diào)用模型轉(zhuǎn)換函數(shù)連續(xù)模型之間三種形式的數(shù)學模型相互轉(zhuǎn)換函數(shù)類型包括連續(xù)模型之間三種形式的數(shù)學模型相互轉(zhuǎn)換函數(shù)類型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六個函數(shù)。，共六個函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換一一.化傳遞函數(shù)為狀態(tài)空間模型化傳遞函數(shù)為狀態(tài)空間模型函數(shù)函數(shù)tf2ss用于將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間模型，調(diào)用格式如用于將傳遞函數(shù)化成狀態(tài)空間模型，調(diào)用格式如a，b，c，d = tf2ss(num，den);其中，輸入其中，輸入num，den分別為傳遞函數(shù)分子和分母多項式系分別

26、為傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)；輸出數(shù)；輸出a，b，c，d為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 將傳遞函數(shù)將傳遞函數(shù) 2223210.41sssh sss化成狀態(tài)空間表達式化成狀態(tài)空間表達式方式方式1：num = 0 2 3; 1 2 1;%分子多項式系數(shù)分子多項式系數(shù)den = 1 0.4 1; 1 0.4 1;% 分母多項式系數(shù)分母多項式系數(shù)tfsys=tf(num,den); %生成傳遞函數(shù)生成傳遞函數(shù)sssys=ss(tfsys) ;%轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實

27、現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 結(jié)果為：結(jié)果為：a = x1 x2 x1 -0.4 -0.5 x2 2 0b = u1 x1 2 x2 0c = x1 x2 y1 1 0.75 y2 0.8 0d = u1 y1 0 y2 1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 方式方式2：num = 0 2 3; 1 2 1;den = 1 0.4 1;a,b,c,d = tf2ss(num,den)結(jié)果為：結(jié)果為：a = -0.4000 -1.0000 1.0000 0b = 1 0c = 2.0000 3.0000 1.6000 0d = 0 1控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實

28、現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 二二. 化傳遞函數(shù)為零極點增益模型化傳遞函數(shù)為零極點增益模型函數(shù)函數(shù)tf2zp用于將傳遞函數(shù)化成零極點增益模型形式用于將傳遞函數(shù)化成零極點增益模型形式 z，p，k = tf2zp(num，den)其中，其中，num，den分別為傳遞函數(shù)的分子和分母多項式系分別為傳遞函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)；數(shù)；z，p，k為零極點增益模型的零點、極點和增益向量。為零極點增益模型的零點、極點和增益向量?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換將傳遞函數(shù)將傳遞函數(shù) 化為零極點增益模型。化為零極點增益模型。221( )341sg sss方式方式1： zpk(tf(2 1,

29、3 4 1) zero/pole/gain: 0.66667 (s+0.5) - (s+1) (s+0.3333)方式方式2：z,p,k=tf2zp(2 1,3 4 1) z = -0.5000 p = -1.0000 -0.3333 k = 0.66672(1/2)( )3 (1/3)(1)sg sss因此零極點增益模型為因此零極點增益模型為控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換三三. 化零極點增益模型為狀態(tài)空間模型化零極點增益模型為狀態(tài)空間模型函數(shù)函數(shù)zp2ss用于將零極點增益模型用于將零極點增益模型11()( )()mjjniiszg sksp化成狀態(tài)空間模型，化

30、成狀態(tài)空間模型，zp2ss調(diào)用格式調(diào)用格式a，b，c，d = zp2ss(z，p，k)其中，輸入其中，輸入z，p，k為零極點增益模型的零點、極點和增益為零極點增益模型的零點、極點和增益向量。輸出向量。輸出a，b，c，d為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣。為狀態(tài)空間模型系數(shù)矩陣?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換零極點增益模型零極點增益模型 化成狀態(tài)空間表達式化成狀態(tài)空間表達式2(2)( )2(1)(3)sg sss方式方式1：z=-2;p=-1 -3 -3;k=2;zpksys=zpk(z,p,k);sssys=ss(zpksys)方式方式2:z=-2;p=-1 -3 -3;k

31、=2;a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換四四. 化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程化連續(xù)狀態(tài)方程為離散狀態(tài)方程設連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為設連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為&xaxbuycxdu假設輸入端加上虛擬采樣開關和虛擬信號重構(gòu)器，輸出端假設輸入端加上虛擬采樣開關和虛擬信號重構(gòu)器，輸出端加一個虛擬采樣開關，虛擬采樣周期為加一個虛擬采樣開關，虛擬采樣周期為t，兩者同步。，兩者同步。 保 持 器 t t xaxbuycxdu( ) ty( ) t* *y y( )u t* *u u*( ) tu( ) tu控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用m

32、atlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換1. 采用零階保持器的離散狀態(tài)方程采用零階保持器的離散狀態(tài)方程設設kt及及(k+1)t為兩個依次相連的采樣瞬時，保持器為零階保為兩個依次相連的采樣瞬時，保持器為零階保持器，持器，u(t)在在kt及及(k+1)t之間保持不變之間保持不變 ()0()e(0)edktktktktaaxxbu 1110(1)e(0)edktktktktaaxxbu式式(2)式式(1)乘以乘以eat，可得，可得 11(1)e()edktkttktktktaaxxbu(1)(2)0(1)e()edtttktktktaaxxbu控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換(

33、)01d( )( )tttktektekttkttktaaxxbugxhu離散的狀態(tài)空間表達式為離散的狀態(tài)空間表達式為(1)( ) ( )( ) ( )( )( )( )ktktkkkkxgxhuycxdu( )ett ag()0( )edtttahb,c dt式中，式中，不變；不變； 為采樣周期。控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換2. 采用一階保持器的離散狀態(tài)方程采用一階保持器的離散狀態(tài)方程保持器使保持器使為斜坡函數(shù)為斜坡函數(shù)(梯形近似梯形近似)，則對，則對1()()()ktktktu ktu ktktt uuuu0t 00(1)e()ed()ed()tttttk

34、tktktkt aaaxxbubu &離散的狀態(tài)空間表達式為離散的狀態(tài)空間表達式為 (1)( ) ( )( ) ( )( ) ( )(1)(1)(1)(1)( )mktktktkkkkkkkxgxhuuycxducxdutdu ( )ett ag()0( )dttteahb0( )dmttte ab ,c d式中，式中，不變。不變?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 3. 連續(xù)系統(tǒng)離散化的連續(xù)系統(tǒng)離散化的matlab方法方法c2d( )可以將連續(xù)系統(tǒng)化成等價的離散化模型，格式如下：可以將連續(xù)系統(tǒng)化成等價的離散化模型，格式如下：sysd = c2d(sys，t

35、s)sysd = c2d(sys，ts，method)其中，其中，sys為連續(xù)時間系統(tǒng)模型，為連續(xù)時間系統(tǒng)模型，ts為采樣周期，單位為秒為采樣周期，單位為秒(s)。method定義離散化方法，定義離散化方法，method的取的取(1) zoh 采用零階保持器。采用零階保持器。(2) foh 采用一階保持器。采用一階保持器。(3) tustin 采用雙線性采用雙線性(tustin)逼近方法。逼近方法。(4) matched 采用采用siso系統(tǒng)的零極點匹配法。系統(tǒng)的零極點匹配法。默認時，默認時，method=zoh?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 010021 x

36、xu10yx采用一階保持器，采樣周期為采用一階保持器，采樣周期為0.5s，離散化下列狀態(tài)方程，離散化下列狀態(tài)方程matlab程序：程序：sys=ss(0 1; 0 -2, 0 1,1 0,0);dss=c2d(sys,0.5,foh)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換結(jié)果為：結(jié)果為：a = x1 x2 x1 1 0.3161 x2 0 0.3679b = u1 x1 0.1501 x2 0.1998sampling time: 0.5discrete-time model 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 五五.化狀態(tài)空間模型為傳遞函數(shù)

37、化狀態(tài)空間模型為傳遞函數(shù)=+=+&xaxbuycxdu ( )( )( )sssssia xbuy scxdu( ) sx 1ssgciabd消去中間項消去中間項后，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣后，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 對方程式兩端分別取拉普拉斯變換對方程式兩端分別取拉普拉斯變換(設初始條件為零設初始條件為零)，得，得假設狀態(tài)空間表達式假設狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 將狀態(tài)空間方程化為傳遞函數(shù)的方法有：將狀態(tài)空間方程化為傳遞函數(shù)的方法有：1 如果系統(tǒng)只有一個輸入，則可采用如果系統(tǒng)只有一個輸入，則可采用num，den = ss2tf (a，b

38、，c，d)或或num，den = ss2tf (a，b，c，d，1)2 對多輸入的系統(tǒng)，則可采用對多輸入的系統(tǒng)，則可采用num，den = ss2tf a，b，c，d，iu這里，這里，iu是輸入的標號。例如，如果系統(tǒng)有三個輸入是輸入的標號。例如，如果系統(tǒng)有三個輸入(u1，u2，u3)，則，則iu必須為必須為1、2或或3中的一個，其中中的一個，其中1表示表示u1，2表示表示u2，3表示表示u3?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換0100001052011100 xxuyx將狀態(tài)空間模型將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)和零極點增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)和零極點增益模型控制系統(tǒng)數(shù)

39、學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換matlab命令：命令：a=0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1;b=0;0; 1;c=1 0 0;d=0;num,den=ss2tf(a,b,c,d);tf(num,den) z,p,k=ss2zp(a,b,c,d); zpk(z,p,k) 控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 transfer function:-1.11e-015 s2 + 1.421e-014 s + 1- s3 + s2 + 20 s + 5zero/pole/gain: 1-(s+0.2524) (s2 + 0.7476s +

40、19.81)控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式多入單出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式0100101125.0425.00825.10265.032471121.0053100xxuyx&包括兩個傳遞函數(shù)：包括兩個傳遞函數(shù)：y1(s)/u1(s)、y1(s)/u2(s)(當考慮輸入當考慮輸入u1時，可設時，可設u2為零。反之亦然為零。反之亦然)，試將其化成傳遞函數(shù)形式，試將其化成傳遞函數(shù)形式控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 matlab命令：命令：a=0 1 0; 0 1 1; -5.008 25.1026 -5.

41、032471;b=0 1; 25.04 2; 121.005 3;c=1 0 0;d=0 0;num,den=ss2tf(a,b,c,d,1);sys1=tf(num,den)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)y1(s)/u1(s)為為transfer function: -3.553e-015 s2 + 25.04 s + 247 - s3 + 4.032 s2 30.14 s + 5.008控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換利用matlab實現(xiàn)數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換 num,den=ss2tf(a,b,c,d,2);sys2=tf(num,den)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)y1(s)/u2(s)為為transfer functio

42、n: s2 + 6.032 s 17.07 - s3 + 4.032 s2 30.14 s + 5.008控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換 模 型 實 現(xiàn) 所謂實現(xiàn)，就是根據(jù)描述系統(tǒng)輸入所謂實現(xiàn)，就是根據(jù)描述系統(tǒng)輸入/輸出動態(tài)關系的運動方輸出動態(tài)關系的運動方程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。所求得的狀程式或傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。所求得的狀態(tài)空間表達式保持原傳遞函數(shù)的輸入態(tài)空間表達式保持原傳遞函數(shù)的輸入/輸出關系，同時反映輸出關系，同時反映內(nèi)部動態(tài)變化。內(nèi)部動態(tài)變化。實現(xiàn)不是唯一的，會有無窮多個狀態(tài)空間表達式能夠獲得實現(xiàn)不是唯一的，會有無窮多個狀態(tài)空間表達式能夠獲得相同的輸入相同的輸入

43、/輸出關系。輸出關系?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換 模 型 實 現(xiàn) 11110110,nnmmnmmyaya ya yb ububub u mn&llxaxbuycxdu&mn并非任意的微分方程和傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)存在的并非任意的微分方程和傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)存在的條件是條件是考慮單變量線性定常系統(tǒng)考慮單變量線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為模型的實現(xiàn)就是根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)找出狀態(tài)空間表達式模型的實現(xiàn)就是根據(jù)微分方程或傳遞函數(shù)找出狀態(tài)空間表達式1111011110( )( ),()( )mmmmnnnb sbsb sby sg smnu ssasa sall控制

44、系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 一一.能控標準型能控標準型設傳遞函數(shù)為設傳遞函數(shù)為令令1111011110( )( )( )1( )mmmmnnny sb sbsb sbx sx su ssasa sall1111011110( ),()mmmmnnnb sbsb sbg smnsasa sall控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) ( )(1)(1)110()(1)(1)110nnnmmmmxaxa xa xuyb xbxb xb xll取狀態(tài)取狀態(tài)123(1)nnxxxxxxxx& &l11221101210100000100000101nnnnnxxxxuxxaaa

45、axx &l&lmmmmmmm&l&l狀態(tài)方程為狀態(tài)方程為輸出方程為輸出方程為1201 00mnxxyb bbxllm控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 二二. 對角標準型對角標準型 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)1111011110( )mmmmnnnb sbsb sbg ssasa sall()mn根據(jù)系統(tǒng)特征根情況，展開成部分分式，求得與之對應的狀根據(jù)系統(tǒng)特征根情況，展開成部分分式，求得與之對應的狀態(tài)空間表達式。態(tài)空間表達式?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 1111012( )( )( )()()()mmmmnb sbsb sby sw su

46、 sspspspll式中，式中，12,np ppl 為分母多項式極點，即系統(tǒng)特征根。為分母多項式極點，即系統(tǒng)特征根。12112( )( )( )nniinikkkky sw su sspspspspl將其展成部分分式將其展成部分分式iklim( )()iiispkw s sp式中，式中， 為待定系數(shù)，計算公式為待定系數(shù)，計算公式 所以所以1( )( )niiiky su ssp1. 特征根互異情況特征根互異情況控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 1( )( )iix su ssp1,2,inlstep 1：選擇狀態(tài)變量：選擇狀態(tài)變量1122111( )( )1( )( )1( )( )1(

47、 )( )nnnnx su sspx su sspxsu sspx su sspm控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 11 12221111 122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnsx sp x su ssx sp x su ssxspxsu ssx sp x su sy sk x sk x sk x sml拉普拉斯反變換化成時域11 12221111 122nnnnnnnnxp xuxp xuxpxuxp xuyk xk xk x&m&lstep 2：化為狀態(tài)變量的一階方程組為：化為狀態(tài)變量的一階方程組為控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) step 3：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為：寫成狀態(tài)空間方程向量形式為111222121201110nnnnnpxxpxxuxxpxxk kkx y&mmm&lm控制系統(tǒng)數(shù)學模型及其轉(zhuǎn)換模 型 實 現(xiàn) 2. 特征根有重根情況特征根有重根情況1qp2qpnp( )w s設有重的主根設有重的主根 ，其余，其余 ， ， 是互異根。是互