四邊形的折疊與剪拼試題賞析

1、四邊形的折疊與剪拼試題賞析由于特殊的四邊形具有許多的特殊性，所以命題專家常在中考命題時(shí)將特殊四邊形設(shè)計(jì)為折疊或剪拼型試題，以考查同學(xué)們的動(dòng)手操作、探究創(chuàng)新的能力為方便同學(xué)們的學(xué)習(xí)，現(xiàn)以中考試題為例說(shuō)明如下：edbcfcda圖1一. 折疊問題例1 如圖1所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿ef折疊后，點(diǎn)d，c分別落在d，c的位置若efb65°，則aed等于 （ ） a. 70° b. 65° c. 50° d. 25° 解析:adbc,def=efb65°,由折疊性質(zhì)可知, def=def65°, aed=180°-2def=

2、50°,故本題應(yīng)選c.評(píng)注:求解特殊四邊形的翻折問題應(yīng)注意圖形在變換前后的形狀、大小都不發(fā)生改變，折痕是它們的對(duì)稱軸例2 如圖2,矩形紙片abcd中，ab=4,ad=3,折疊紙片使ad邊與對(duì)角線bd重合,折痕為dg,則ag的長(zhǎng)為( )cbdag圖2a.1 b. c. d.2解析:本題以矩形為依托,利用折疊提出問題,這種在中考中屢有出現(xiàn).在解答本題時(shí),首先要了解矩形的性質(zhì),同時(shí)要注意在折疊過程中只是部分圖形的位置發(fā)生了變化,而形狀和大小關(guān)系沒有改變.解答時(shí)可以先利用勾股定理算出db=5.由折疊可知設(shè)利用勾股定理列方程得:,解之得:.評(píng)注:有關(guān)折疊問題的計(jì)算通常要想到直角三角形，利用勾股

3、定理構(gòu)造出方程求解二.裁剪問題例3 如圖所示，將一張正方形紙片對(duì)折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，則紙片展開后是abcd解析:由于折疊的圖形是正方形，所以經(jīng)過兩次折疊后得到的是一個(gè)等腰直角三角形，且直角的頂點(diǎn)是原來(lái)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，腰是正方形對(duì)角線的一半，又等腰三角形中剪去的圖形是三個(gè)圓孔，那么所剪的三個(gè)圓孔的圓心所在的直線平行于等腰直角三角形的斜邊(即正方形邊)，而且展開后應(yīng)為12個(gè)圓孔,所以觀察圖形只有d圖形符合要求，故應(yīng)選d 評(píng)注:“紙上得來(lái)終覺淺,絕知此事要躬行”.我們知道，通過動(dòng)手實(shí)踐獲取知識(shí),并且了解知識(shí)發(fā)生的過程，其效果勝于直接吸收書本知識(shí),本題以學(xué)生信手拈來(lái)的紙片為道具,通過紙條的

4、折疊考查對(duì)稱思想,真正體現(xiàn)了動(dòng)手實(shí)踐的教學(xué)理念.例4 如圖3，將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）abcdabcd圖3解析:本題是在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上考查菱形的性質(zhì)，具有一定的靈活性.在解答過程中,要理解菱形的對(duì)角線把菱形分割成了四個(gè)全等的直角三角形，其面積實(shí)際上就是剪下的直角三角形的面積的四倍.所以面積為:.也可根據(jù)題意得ac=8,bd=10.面積為.評(píng)注:通過對(duì)本題的操作，不但能使有利于培養(yǎng)我們的動(dòng)手能力，而且還更有利于培養(yǎng)我們的觀察分析和解決問題的能力動(dòng)手操作折菱形折紙是一種既有趣味性，同時(shí)也能培養(yǎng)我們

5、的動(dòng)手操作能力和思維能力的一種活動(dòng)，通過折紙可以得到許多美麗的圖案，下面就談?wù)勅绾螌⑷切位蚓匦蔚募埰鄢鲆粋€(gè)菱形。一、從三角形紙片中折出菱形o圖1例1、將一張三角形的紙片abc按照如下的折疊步驟進(jìn)行折疊：（1）將三角形的紙片abc沿過b點(diǎn)的某條直線折疊，使bc與ba重合，得到折痕與ac的交點(diǎn)d。（2）再將三角形的紙片abc沿某條直線折疊，使點(diǎn)b與點(diǎn)d重合，得到折痕與ba、bc的交點(diǎn)e、f。則四邊形ebfd是菱形。分析：關(guān)鍵利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到相應(yīng)的邊等和角等，然后熟練利用菱形的判定進(jìn)行說(shuō)理。本題說(shuō)明四邊形ebfd是菱形的方法很多，下面一一予以說(shuō)明。解：由第一步折疊可知：abd=cbd，由第二

6、步折疊可知：ef垂直平分bd，be=de，df=bf，od=ob，abd=edbedb=cbd又eod=fob，eodfob，de=bf be=de=df=bf四邊形ebfd是菱形（四邊相等的矩形是菱形）二、從矩形紙片中折出菱形例2、把一張矩形的紙abcd按照如下的折疊步驟進(jìn)行折疊：將矩形的紙片abcd沿某條直線折疊，使點(diǎn)b與點(diǎn)d重合，得到折痕與ad、bc的交點(diǎn)e、f。則四邊形ebfd是菱形。圖2o分析：雖然紙片不同，但方法同例1一樣，說(shuō)明四邊形ebfd是菱形的方法還有很多，下面只選一種予以說(shuō)明。解：由折疊可知：ef垂直平分bd，be=de，df=bf，od=ob，ebd=edb四邊形abcd

7、是矩形，adbc，edb=fbd，又eod=fob，eodfob，de=bf be=de=df=bf四邊形ebfd是菱形（四邊相等的矩形是菱形）多邊形折疊的新變化因折疊型試題對(duì)考生的能力（動(dòng)手能力、想象能力、綜合運(yùn)用知識(shí)的能力等）要求較高，故近幾年全國(guó)各地的中考題中，形式新穎、結(jié)構(gòu)獨(dú)特、解法靈活的折疊題倍受命題者青睞。翻閱2008年的中考試卷，不難發(fā)現(xiàn)此類試題的新變化。一、由一次、二次折疊向多次折疊變化例1如圖（1）（2）所示，將一張長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次后，沿圖（3）中的虛線ab剪下，將aob完全展開。（1）畫出展開圖形，判斷其形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若按上述步驟操作，展開圖形是正方形時(shí)，

8、請(qǐng)寫出aob應(yīng)滿足的條件。思路分析（1）緊扣折疊前后的兩個(gè)圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，是解折疊題的主要依據(jù)，其思維過程和操作程序如下（自右到左）：（2）最快、最可靠的方法是利用草稿紙動(dòng)手折一折，中間的菱形立即躍然紙上。解：（1）展開圖如圖（4）所示，它是菱形證明：由操作過程可知oa=oc，ob=od四邊形abcd是平行四邊形又oaob，即acbd四邊形abcd是菱形（2）aob中，abo=45°（或bao=45°或oa=ob）經(jīng)驗(yàn)提升（1）在考試中，不必“沿圖（3）中的虛線ab剪下”（沒有剪刀，難以操作），只須沿ab再折一次，完全展開后可發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形紙片中間是一個(gè)菱形，因此，此題可

9、看作是3次折疊。例2將一張紙片沿任一方面翻折，得到折痕ab（如圖1），再翻折一次，得到折痕oc（如圖2），翻折使oa與oc重合，得到折痕od（如圖3），最后翻折使ob與oc重合，得到折痕oe（如圖4），展開恢復(fù)成圖1，則doe的大小是_度。思路分析此題共有4次折疊，前兩次折疊沒有特別的限制條件，第3次折疊“使oa與oc重合”，可知折痕od是圖（2）中aoc的角平分線，第4次折疊由“ob與oc重合”，可知折痕oe是圖（3）中boc的角平分線，展開恢復(fù)成圖1，aob是一平角，故可知，兩條角平分線的夾角為90°。解 填90°。經(jīng)驗(yàn)提升折疊次數(shù)多、圖形較復(fù)雜，不易看出各個(gè)角之間關(guān)系

10、，如果想不到上面的分析思路，那么折緊時(shí)間動(dòng)手一試，便見分曉。二、由四邊形折疊向五邊形、六邊形折疊變化例3將五邊形abcde按如圖方式折疊，折痕為af，點(diǎn)e、d分別落在e'、d'，已知afc=76°，則cfd'等于（）a.31°b.28°c.24°d.22°思路分析圖中的四邊形aedf與四邊形ae'd'f是全等形，故有afd=afd'因?yàn)閍fcafd=180°，若設(shè)cfd'=x°則afd=afd'=76°x°故可列方程求x。解：設(shè)cfd'

11、;=x°，由題意得，解之，得x=28所以cfd'=28°，應(yīng)選b。經(jīng)驗(yàn)提升一般情況下，一次折疊題無(wú)須動(dòng)手折疊，但要抓住折疊的本質(zhì)特征折疊前后的兩個(gè)圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱（或折疊前后的兩個(gè)圖形全等），此外，挖掘隱含條件cfd是平角，是解決此例的關(guān)鍵。折疊梯形 全等立功用全等的方法解決梯形中的這類折疊問題，可以達(dá)到事半功倍的效果。下面舉幾例，供同學(xué)們參考。例1、如圖1，在梯形abcd中，adbc，ab=cd，abc=720，現(xiàn)平移腰ab至de，再將dce沿de對(duì)折，得，求的度數(shù)。分析：利用等腰梯形的性質(zhì)可得cde為等腰三角形，c=dec=720，根據(jù)dce可得，c=，ce

12、d=ed，在中，利用三角形的內(nèi)角和定理就能求出的度數(shù)。解：由題意可得dce c=，ced=四邊形abed為平行四邊形 ab=db 又ab=cd cd=de c=dec梯形abcd為等腰梯形， abc=c=720， =720在中，=答：的度數(shù)為360。例2、如圖2，在直角梯形abcd中，adbc，dcbc，e為bc邊上的點(diǎn)。將直角梯形abcd沿對(duì)角線bd折疊，使abd與ebd重合。若a=1200，ab=4cm，求梯形abcd的高cd的長(zhǎng)。分析：因?yàn)閍bdebd，所以a=bed=1200， 易得四邊形abed為平行四邊形，所以可得de=ab=4。在rtcde中，利用勾股定理可求得cd的長(zhǎng)。解：由題

13、意得abdebd， a=bed=1200， dec=600. adbc，a=1200， abc=600，dec=abc=600 abde, 又adbc 四邊形abcd為平行四邊形 de=ab= 4在rtcde中, dec=600 cde=300 ce=de=2則cd=.答：梯形abcd的高cd的長(zhǎng)是.例3、如圖3，在梯形紙片abcd中，adbc，ad>cd，將紙片沿過點(diǎn)d的直線折疊，使點(diǎn)c落在點(diǎn)處，折痕de交bc于點(diǎn)e，連結(jié)e。求證：四邊形cde為菱形分析：利用“四條邊相等的四邊形是菱形”證明較簡(jiǎn)便。由dcede可得，dc=d，ec=e，cde=de；再利用adbc，可證得cde為等腰三角形，其它問題就會(huì)迎刃而解。證明：由題意可得dcede，dc=d，ec=e，edc=ed又adbc ced=cde cd=ce cd=d=e=ec四邊形cde為菱形實(shí)戰(zhàn)練習(xí)：如圖4，在梯形abcd中，adbc，ab=dc，dbc=450，翻折梯形abcd，使點(diǎn)b重合于點(diǎn)d，折痕分別交邊ab、b