線性代數(shù)PPT全集

1、線性代數(shù)PPT全集課程簡介課程簡介線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題問題. 線性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式線性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達的來表達的. 最簡單的線性問題就是解線性方程組最簡單的線性問題就是解線性方程組.行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具，行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具，也推動了線性代數(shù)的發(fā)展也推動了線性代數(shù)的發(fā)展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點加量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論以討論.

2、因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容.線性代數(shù)PPT全集它的特點是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上它的特點是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁瑣和技巧性很強的數(shù)字計算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加瑣和技巧性很強的數(shù)字計算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加強這些方面的訓(xùn)練。強這些方面的訓(xùn)練。 線性代數(shù)PPT全集第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩陣及其運算矩陣及其運算第三章第三章 矩陣的初等變換矩陣

3、的初等變換 及線性方程組及線性方程組第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性基礎(chǔ)基礎(chǔ)基本內(nèi)容基本內(nèi)容用向量的觀點討論用向量的觀點討論基本問題并介紹向基本問題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容量空間的有關(guān)內(nèi)容第五章第五章 相似矩陣及二次相似矩陣及二次型型矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚摼€性代數(shù)PPT全集一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )線性方程組線性方程組: :第一章第一章 行列式行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a1

4、2a21x1 + a12a22x2 = b2a12,兩式相減消去兩式相減消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;1.1 二階與三階行列式二階與三階行列式線性代數(shù)PPT全集;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定.線性代數(shù)PPT全集 由

5、四個數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）由四個數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達達式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 線性代數(shù)PPT全集11a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式線性

6、代數(shù)PPT全集則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx 線性代數(shù)PPT全集 . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 線性代數(shù)PPT全集二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的數(shù)數(shù)表表行行個個數(shù)數(shù)排排成成設(shè)設(shè)有有,3122133321123223113221133123

7、12332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .線性代數(shù)PPT全集323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 線性代數(shù)PPT全集33323123222113121

8、1aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 線性代數(shù)PPT全集 如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三

9、階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). .線性代數(shù)PPT全集 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若記若記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb線性代數(shù)PPT全集 ;,333323213123232221211

10、313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即線性代數(shù)PPT全集 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 線性代數(shù)PPT全集 ;,3333232131232322212113

11、13212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 線性代數(shù)PPT全集,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aaba

12、abaabD 線性代數(shù)PPT全集2-43-122-4-21D 計計算算三三階階行行列列式式按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 線性代數(shù)PPT全集. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或線性代數(shù)PPT全集例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 1

13、11 122 131 5 , 0 線性代數(shù)PPT全集同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx線性代數(shù)PPT全集 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333

14、231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)線性代數(shù)PPT全集 使使求一個二次多項式求一個二次多項式,xf .283, 32, 01 fff線性代數(shù)PPT全集解解設(shè)所求的二次多項式為設(shè)所求的二次多項式為 ,2cbxaxxf 由題意得由題意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一個關(guān)于未知數(shù)得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組的線性方程組,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc線性代數(shù)PPT全集故所求多項式為故所求多項式為 . 1322 xxxf線性代數(shù)PPT全集1.2 全排列及其逆序數(shù)全

15、排列及其逆序數(shù) 引例引例: 用用1, 2, 3三個數(shù)字三個數(shù)字, 可以組成多少個沒有重可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個大家熟知的問題這是一個大家熟知的問題, 答案是答案是: 3! = 6. 將此問題將此問題推廣推廣: 把把n個不同的元素按先后次序排成個不同的元素按先后次序排成一列一列, 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. 定義定義: 把把 n 個不同的元素排成一列個不同的元素排成一列, 叫做這叫做這 n 個個元素的元素的全排列全排列(或或排列排列). n 個不同的元素的所有排列的種數(shù)個不同的元素的所有排列的種數(shù), 通常用通常用 Pn 表表示示, 稱為稱為排列

16、數(shù)排列數(shù). Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列線性代數(shù)PPT全集二、排列的逆序數(shù)二、排列的逆序數(shù) 定義定義: 在一個排列在一個排列 i1 i2 is it in 中中, 若數(shù)若數(shù) isit,則稱這兩個數(shù)組成一個則稱這兩個數(shù)組成一個逆序逆序.例如例如: 排列排列32514 中中, 我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序. 以以 n 個不個不同的自然數(shù)為例同的自然數(shù)為例, 規(guī)定規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定義定義: 一個排列中所有一個排列中所有逆序逆序的總數(shù)稱為此的總數(shù)稱為此排

17、列的排列的逆序數(shù)逆序數(shù).前面的數(shù)比前面的數(shù)比后面的數(shù)大后面的數(shù)大線性代數(shù)PPT全集3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的逆序數(shù)為故此排列的逆序數(shù)為: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如例如: 排列排列32514 中中,計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. 方法方法1: 分別計算出排在分別計算出排在1,2, , n 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼的個數(shù)并求和碼的個數(shù)并求和, 即先分別算出即先分別算出 1,2, , n 這這 n 個元素個元素

18、的逆序數(shù)的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)的逆序數(shù).線性代數(shù)PPT全集 方法方法2: 依次計算出排列中每個元素依次計算出排列中每個元素前面比它大前面比它大的的數(shù)碼的個數(shù)并求和數(shù)碼的個數(shù)并求和, 即算出排列中每個元素的逆序數(shù)即算出排列中每個元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù). 方法方法3: 依次計算出排列中每個元素依次計算出排列中每個元素后面比它小后面比它小的的數(shù)碼的個數(shù)并求和數(shù)碼的個數(shù)并求和, 即算出排列中每個元素的逆序數(shù)即算出排列中每個元素的逆序數(shù), 則所有元素的逆

19、序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).線性代數(shù)PPT全集例例1: 求排列求排列32514的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解: 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位, 則則3的逆序為的逆序為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只有一個大的數(shù)只有一個3, 故故2的逆序為的逆序為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1沒有比沒有比5大的數(shù)大的數(shù), 故其逆序為故其逆序為0;個個, 故其逆序為故其逆序為3; 4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個, 故逆序為故逆序為1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3即即于是排列于是排列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)

20、為 t = 0+1+0+3+1 = 5.線性代數(shù)PPT全集解解:此排列為此排列為偶排列偶排列.例例2: 計算下列排列的逆序數(shù)計算下列排列的逆序數(shù), 并討論其奇偶性并討論其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解解: n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2) ,21 nnt = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2) 21的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:線性代

21、數(shù)PPT全集 此排列當(dāng)此排列當(dāng) n=4k, 4k+1 時為偶排列時為偶排列; 當(dāng)當(dāng) n=4k+2, 4k+3 時為奇排列時為奇排列.(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解解:0121233(k1) (k1) kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為: .2122kkkk 此排列當(dāng)此排列當(dāng) k 為偶數(shù)時為偶排列為偶數(shù)時為偶排列, 當(dāng)當(dāng) k為奇數(shù)時為為奇數(shù)時為奇排列奇排

22、列.線性代數(shù)PPT全集1. n個不同的元素的所有排列種數(shù)為個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!個個;2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3. 計算排列逆序數(shù)常用的方法計算排列逆序數(shù)常用的方法.三、小結(jié)三、小結(jié)線性代數(shù)PPT全集1.3 n 階行列式的定義階行列式的定義333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式說明說明(1) 三階行列式共有三階行列式共有6項項, 即即3!項項. 說明說明(2) 每項都是位于不同行不同列的三個元素

23、每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積的乘積. 說明說明(3) 每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)列的三個元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)(行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列).線性代數(shù)PPT全集 例如例如 a13a21a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat (312)=1+1=2, 偶排列偶排列. a13a21a32 的前面取的前面取+號號. 例如例如 a11a23a32, 將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列將行下標(biāo)

24、標(biāo)準(zhǔn)排列, 列下標(biāo)排列列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為t (132)=0+1=1, 奇排列奇排列. a11a23a32的前面取的前面取號號.其中其中是對列下標(biāo)的所有排列求和是對列下標(biāo)的所有排列求和(3!項項), t 是列下標(biāo)是列下標(biāo)排列排列 p1p2p3 的逆序數(shù)的逆序數(shù).線性代數(shù)PPT全集二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義定義定義: 設(shè)由設(shè)由 n2 個數(shù)排成一個個數(shù)排成一個 n 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 個數(shù)的乘積個數(shù)的乘積, 并冠以并冠以符號符號(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 為自然數(shù)為自然數(shù)1,

25、2, , n 的一個排列的一個排列, t為排列為排列p1p2 pn的逆序數(shù)的逆序數(shù). nnppptaaa2121)1( 的項的項,nnnnnnaaaaaaaaa212222111211線性代數(shù)PPT全集所有這所有這 n! 項的代數(shù)和項的代數(shù)和 nnppptaaa2121)1(稱為稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的由上述數(shù)表構(gòu)成的) n 階行列式階行列式.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 記作記作簡記作簡記作 det(aij). 數(shù)數(shù) aij 稱為行列式稱為行列式 det(aij) (第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素. nnppptaaaD2121)1(即即線性代數(shù)PPT全

26、集 說明說明1. 行列式是一種特定的算式行列式是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的義的; 說明說明2. n 階行列式是階行列式是 n! 項的代數(shù)和項的代數(shù)和; 說明說明3. n 階行列式的每項都是位于不同行階行列式的每項都是位于不同行, 不同不同列列 n 個元素的乘積個元素的乘積,nnpppaaa2121的符號為的符號為(1)t; 說明說明4. 一階行列式的符號一階行列式的符號 | a | = a, 不要與絕對值不要與絕對值符號相混淆符號相混淆, 一般不使用此符號一般不使用此符號.線性代數(shù)P

27、PT全集0004003002001000例例1: 計算對角行列式計算對角行列式.0004003002001000解解: 分析分析.展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa從而這個項為零從而這個項為零,同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4, 則則 432114321 t.24 即行列式中非零的項為即行列式中非零的項為:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即即線性代數(shù)PPT全集例例2: 計算計算上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解:

28、 分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa所以非零的項只可能是所以非零的項只可能是: a11 a22 ann .從最后一行開始討論非零項從最后一行開始討論非零項. 顯然顯然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即即線性代數(shù)PPT全集8000650012404321 D顯然顯然= 1 4 5 8nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角

29、行列式線性代數(shù)PPT全集對角行列式對角行列式;21n n 21n 21( ( -1)321)121.n t n n(1 2(1)121nn .12121nnn 線性代數(shù)PPT全集例例5: 設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明: D1=D2. 中中b的指數(shù)正好是的指數(shù)正好是a的行標(biāo)與列標(biāo)的差的行標(biāo)與列標(biāo)的差2D線性代數(shù)PPT全集證證: 由行列式定義有由行列式定義有 nnnpppnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111

30、1線性代數(shù)PPT全集由于由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故故線性代數(shù)PPT全集 行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式特定算式. n 階行列式共有階行列式共有n!項項, 每項都是位于不同行每項都是位于不同行, 不同列的不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積, 正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)三、小結(jié)線性代數(shù)PPT全集 1211123111211xxxxxf 已知多項式

31、已知多項式 1211123111211xxxxxf 求求 x3 的系數(shù)的系數(shù).思考題解答思考題解答含含 x3 的項有僅兩項的項有僅兩項, 即即對應(yīng)于對應(yīng)于= x3+ (2x3)故故 x3 的系數(shù)為的系數(shù)為(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43線性代數(shù)PPT全集一、對換的定義一、對換的定義1.4 對對 換換 定義定義: 在排列中在排列中, 將任意兩個元素對調(diào)將任意兩個元素對調(diào), 其余元素其余元素不動不動, 這種作出新排列的手續(xù)叫做這種作出新排列的手續(xù)叫做對換對換 將相鄰兩個元素對調(diào)將相鄰兩個元素對調(diào), 叫做叫做相鄰對換相鄰對換.a1

32、a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如線性代數(shù)PPT全集二、對換與排列奇偶性的關(guān)系二、對換與排列奇偶性的關(guān)系 定理定理1: 一個排列中的任意兩個元素對換一個排列中的任意兩個元素對換, 排列改排列改變奇偶性變奇偶性.對換對換 a與與b即除即除 a, b 外外, 其它元素的逆序數(shù)不改變其它元素的逆序數(shù)不改變.證明證明: 先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此, 相鄰對換排列改變

33、奇偶性相鄰對換排列改變奇偶性.當(dāng)當(dāng) ab 時時, 對換后對換后 a 的逆序數(shù)不變的逆序數(shù)不變, b 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1;線性代數(shù)PPT全集a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對一般對換的情形對一般對換的情形, 例如例如對換對換 a與與b經(jīng)過經(jīng)過m次相鄰對換次相鄰對換, 排列排列a1a2alab1bmbc1cn對對換為換為a1a2alabb1bmc1cn,再經(jīng)過再經(jīng)過m+1次相鄰對換次相鄰對換, 對對換為換為a1a2albb1bmac1cn,共經(jīng)過了共經(jīng)過了2m+1次相鄰對換次相鄰對換. 所以所以, 由相鄰對換的結(jié)果知由相鄰對換的結(jié)果知: 一個排列中的任意兩一

34、個排列中的任意兩個元素對換個元素對換, 排列改變奇偶性排列改變奇偶性.線性代數(shù)PPT全集次相鄰對換次相鄰對換mnmlccbbabaa111次相鄰對換次相鄰對換1 mnmlccabbbaa111111,lmnabaa bbcc次相鄰對換次相鄰對換12 m111,lmnaa bbccba.abnmlccbbbaaa111abab對一般對換的情形對一般對換的情形, 例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn對換對換 a與與b線性代數(shù)PPT全集 推論推論: 奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)排列調(diào)成

35、標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明證明: 由定理由定理1知知, 對換的次數(shù)就是排列奇偶性的對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為逆序數(shù)為0), 論成立論成立.因此因此, 推推線性代數(shù)PPT全集下面討論下面討論行列式的另一種定義行列式的另一種定義形式形式.對于行列式的任一項對于行列式的任一項 ,12121njinpjpippptaaaaa 其中其中12ijn為自然排列為自然排列, 其逆序數(shù)其逆序數(shù)0, t 為列標(biāo)排列為列標(biāo)排列p1p2pipjpn的逆序數(shù)的逆序數(shù), ,12121nijnpipjppptaaaaa 成成與與jijpipaa對換元素對換

36、元素線性代數(shù)PPT全集 ,12121nijnpipjppptaaaaa 此時此時, 行標(biāo)排列行標(biāo)排列12jin的逆序為奇數(shù)的逆序為奇數(shù), 而列標(biāo)而列標(biāo)排列排列p1p2pjpipn的逆序也改變了一次奇偶性的逆序也改變了一次奇偶性. 換后換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的的奇偶性不變奇偶性不變, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)與與t(p1pipjpn)具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.因此因此, 對對 njinpjpippptaaaaa21211 故故線性代數(shù)PPT全集 一般地一般地, 經(jīng)過若干次對換行列式的任一項乘積元經(jīng)過若干次對換行列式的任一項乘積元

37、素的位置后得到的符號仍為素的位置后得到的符號仍為(1)t.因此因此, 總可以經(jīng)過總可以經(jīng)過若干次對換行列式的任一項若干次對換行列式的任一項, 得得 ,1121212121nqqqsnppptnnaaaaaa 其中其中 s 為行下標(biāo)排列為行下標(biāo)排列 q1q2 qn 的逆序數(shù)的逆序數(shù).線性代數(shù)PPT全集 nqqqsnaaaD21211 定理定理2: n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為其中其中s為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列q1q2qn的逆序數(shù)的逆序數(shù), 并按行標(biāo)排列求和并按行標(biāo)排列求和.定理定理3: n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 t 為行標(biāo)排

38、列為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆的逆序數(shù)之和序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列或列標(biāo)排列)求和求和.因此因此, 我們可以得到行列式的另一種定義形式我們可以得到行列式的另一種定義形式:根據(jù)以上討論根據(jù)以上討論, 還可以如下定義還可以如下定義線性代數(shù)PPT全集 例例1: 試判斷試判斷 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項是否六階行列式中的項. 解解: a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列的行標(biāo)為順序排列, 列標(biāo)排列列標(biāo)排列的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為:t(431265)=0+1+2+

39、2+0+1=6(偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項是六階行列式中的項. 將將a32a43a14a51a25a66的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則其則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.線性代數(shù)PPT全集 解解: 將將a23a31a42a56a14a65的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列, 則則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t (431265) = 0+1+2+2

40、+0+1 = 6 (偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前邊應(yīng)帶正號的前邊應(yīng)帶正號.例例2: 在六階行列式中在六階行列式中, 下列兩項各應(yīng)帶什么符號下列兩項各應(yīng)帶什么符號.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 .線性代數(shù)PPT全集 項項a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之和為和為 t (341562)+t (234165) =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶數(shù)偶數(shù))所以所以 a32a43a14a51a66a25的前邊

41、應(yīng)帶正號的前邊應(yīng)帶正號.線性代數(shù)PPT全集例例3: 用行列式的定義計算用行列式的定義計算nnDn0000000010020001000 解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中僅有一個非零元素每行每列中僅有一個非零元素, 所所以以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1221nDnnn 所以所以線性代數(shù)PPT全集三、小結(jié)三、小結(jié)1. 對換排列中的任意兩個元素對換排列中的任意兩個元素, 排列改

42、變奇偶性排列改變奇偶性.2. 行列式的三種定義方法行列式的三種定義方法: nqqqsnaaaD21211 nnqpqpqpraaaD22111 nnppptaaaD21211其中其中 r 為行標(biāo)排列為行標(biāo)排列 p1p2pn與列標(biāo)排列與列標(biāo)排列 q1q2qn的逆的逆序數(shù)之和序數(shù)之和. 并按行標(biāo)排列并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列或列標(biāo)排列)求和求和.線性代數(shù)PPT全集思考題思考題證明在全部證明在全部 n 階排列中階排列中(n 2), 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考題解答思考題解答 證證: 設(shè)在全部設(shè)在全部 n階排列中有階排列中有s個奇排列個奇排列, t 個偶排列個偶排列,則則 s + t = n

43、！現(xiàn)來證！現(xiàn)來證 s = t . 若若將所有將所有 s個奇排列的前兩個數(shù)作對換個奇排列的前兩個數(shù)作對換, 則這則這 s 個個奇排列全變成偶排列奇排列全變成偶排列, 故必有故必有s = t = 若若將所有將所有 t 個偶排列的前兩個數(shù)作對換個偶排列的前兩個數(shù)作對換, 則這則這 t 個個偶排列全變成奇排列偶排列全變成奇排列, 如此產(chǎn)生的如此產(chǎn)生的 s 個偶排列不會超個偶排列不會超過所有的過所有的 s 個奇排列個奇排列, 所以所以 t s .過所有的過所有的 t 個偶排列個偶排列, 所以所以 s t .如此產(chǎn)生的如此產(chǎn)生的 t 個奇排列不會超個奇排列不會超2!n線性代數(shù)PPT全集1.5 行列式的性質(zhì)

44、行列式的性質(zhì) 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式行列式DT稱為行列式稱為行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 記記將將D的行列互換就得到的行列互換就得到TD線性代數(shù)PPT全集證明證明: 記行列式記行列式 D=det(aij) 的轉(zhuǎn)置行列式為的轉(zhuǎn)置行列式為: 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, 即即DT = D.,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定義按定義 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD即即 b

45、ij=aji ( i, j=1, 2, , n),線性代數(shù)PPT全集 .12121 nppptnaaaD又由行列式的另一種表示得又由行列式的另一種表示得,所以所以, DT = D, 結(jié)論成立結(jié)論成立 說明說明: 性質(zhì)性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, 因此因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論, 對列也同樣成立對列也同樣成立.線性代數(shù)PPT全集 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列), 行列式變號行列式變號.設(shè)行列式設(shè)行列式,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaa

46、aD11111111 線性代數(shù)PPT全集nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD1111111 是由行列式是由行列式互換互換 i, j (i j 時，時，0,ija 則稱則稱 A 為為上三角矩陣上三角矩陣.若當(dāng)若當(dāng) ij 時時線性代數(shù)PPT全集1 12 2ijijijinnjca ba ba b11iikkjka b nikkjk ia b 0ika0kjb0.即即 C為上三角矩陣為上三角矩陣.線性代數(shù)PPT全集定義定義設(shè)設(shè) A 是是 n 階方陣，階方陣，k 個個 A 的連乘積稱為的連乘積稱為 A 的的k 次冪，記作次冪，記作,kA即即 kkAAAA個當(dāng)當(dāng) m，k 為正整數(shù)

47、時，有為正整數(shù)時，有mkm+kA AA() mkmkAA當(dāng)當(dāng)AB不可交換時，一般不可交換時，一般() kkkABA B當(dāng)當(dāng)AB可交換時，可交換時，() kkkkkABA BB A線性代數(shù)PPT全集定義定義 設(shè)設(shè)( )1110kkkkf xa xaxa xa是是 x 的的 k 次多項式，次多項式，A 是是 n 階方陣，則稱階方陣，則稱( )1110kkkkf Aa AaAa Aa E為方陣為方陣 A 的的 n 次多項式次多項式.線性代數(shù)PPT全集若若 f(x)，g(x) 為多項式，為多項式，A、B為為 n 階方陣，則階方陣，則f(A) g(A) = g(A) f(A)當(dāng)當(dāng) AB 不可交換時，一般

48、不可交換時，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)線性代數(shù)PPT全集特別當(dāng)矩陣為對角陣特別當(dāng)矩陣為對角陣 =diag( 1, 2, n ) 時時,則則f( )=a0E + a1 +ak k,120112111 nkkkknaaa 線性代數(shù)PPT全集 方陣方陣A的多項式可以類似一般多項式一樣相乘或分的多項式可以類似一般多項式一樣相乘或分解因式解因式. 例如例如(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A + 3A2 A3.因為單位矩陣因為單位矩陣 E 與任意同階方陣可交換，所以有與任意同階方陣可交換，所以有1122211()nnnnnnnnnnAkE

49、AC kAC k ACkAk E 線性代數(shù)PPT全集解解: 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求設(shè)設(shè) 例例4: 00100100201222223AAA 32323003033 線性代數(shù)PPT全集由此歸納出由此歸納出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 線性代數(shù)PPT全集用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)當(dāng)k=2時時, 顯然成立顯然成立.假設(shè)假設(shè), 當(dāng)當(dāng)k=n時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 對對 k=n+1時時, 001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA線性代數(shù)PPT全集 11110010211nnnnnnnnnn 所以對于任

50、意的所以對于任意的 k 都有都有: .00021121 kkkkkkkkkkkA 也可利用二項式也可利用二項式定理展開計算定理展開計算.線性代數(shù)PPT全集101000100101000100001000AEB 記記于是于是()nnAEB 11222333nnnnnnnnnnECBCBCBC B 注意到：注意到：2010010001001000000B 001000000 線性代數(shù)PPT全集3010010010001001001000000000B 001010000001000000 000000000 即當(dāng)即當(dāng)3n 時，時，nBO 所以所以線性代數(shù)PPT全集四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置 定義

51、定義: 把矩陣把矩陣A 的行列互換的行列互換, 所得到的新矩陣所得到的新矩陣, 叫叫做做矩陣矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣, 記作記作AT.例如例如:,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B線性代數(shù)PPT全集(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)一般地一般地1211()TTTTkkkA AAA AA 線性代數(shù)PPT全集證明（證明（4）設(shè)設(shè) (),(),(),ijm sijs nijm nAaBbABCc ()TTijn mB ADd 首先容

52、易看到首先容易看到()TAB與與TTB A為同型矩陣為同型矩陣.因為因為1,sijikkjkca b 所以所以()TAB的第的第 i 行第行第 j 列列的元素為的元素為1,sjijkkikca b 線性代數(shù)PPT全集又因為又因為TB中第中第 i 行的元素為行的元素為 B 中第中第 i 列的元素列的元素12,iisibbbTA中第中第 j 列的元素為列的元素為 A 中第中第 j 行的元素行的元素12,jjjsaaa于是于是TTB A的第的第 i 行第行第 j 列元素為列元素為1122ijijsijsb ab ab a 1sjkkika b 故故()TTTABB A 線性代數(shù)PPT全集解法解法1:

53、 因為因為 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例例5: 已知已知,102324171,231102 BA求求(AB)T.所以所以解法解法2: 213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT線性代數(shù)PPT全集例例6：設(shè)設(shè)()ijn nAa（1）2A的第的第 i 行第行第 j 列的元素為列的元素為（2）TAA的第的第 i 行第行第 j 列的元素為列的元素為（3）TA A的第的第 i 行第行第 j 列的元素為列的元素為1nikkjka a 1nikjkka a 1nkikjka a 線性代數(shù)PPT全集 設(shè)設(shè)A = (

54、aij )為為 n 階方陣階方陣, 對任意對任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 則稱則稱A為為; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 則稱則稱A為為; 顯然，若顯然，若 A 是反對稱矩陣，那么對任意是反對稱矩陣，那么對任意 i，有有0iia線性代數(shù)PPT全集由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣、反對稱矩陣的定義可得由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣、反對稱矩陣的定義可得:.線性代數(shù)PPT全集證明證明: 因為因為 例例7: 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣X = (x1 x2 xn)T, 滿足滿足XTX = 1, E為為n 階單位矩陣階單位矩陣, H = E 2XXT, 證明證明: H為對稱矩陣為對稱矩陣,

55、且且HHT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.所以所以, H為對稱矩陣為對稱矩陣.= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E HHT = H2 = (E 2XXT)2線性代數(shù)PPT全集 例例8: 證明任一證明任一n 階方陣階方陣A 都可表示成對稱陣與反都可表示成對稱陣與反對稱陣之和對稱陣之和.證明證明: 設(shè)設(shè) C = A + AT,所以所以, C為對稱矩陣為對稱矩陣.)(21)(21TTA

56、AAAA ,2121BC 從而從而, 命題得證命題得證.則則 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,設(shè)設(shè) B = A AT,則則 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以所以, B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.線性代數(shù)PPT全集 定義定義: 由由n 階方陣階方陣A 的元素所構(gòu)成的行列式叫做的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣方陣A 的行列式的行列式, 記作記作 | A | 或或 detA . 2 ,8632 A例如例如:8632 A則則方陣行列式的運算性質(zhì)方陣行列式的運算性質(zhì)| AT | = | A |;| kA | = kn| A |;(3) | AB | = | A

57、| | B | = | B | | A | = | BA |.線性代數(shù)PPT全集設(shè)設(shè)A、B是兩個是兩個 n 階方陣，則階方陣，則| |ABA B利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)6及及矩陣乘法的定義矩陣乘法的定義.|AOA BEBAABEO( 1)nABAOE ( 1) |nABE ( 1) |( 1) nnAB| AB對于同階方陣對于同階方陣A和和B，一般，一般AB BA ，但是，但是|AB|=|BA|線性代數(shù)PPT全集111,2,njjcb cjn 11111 1112211111 112211100100010nnnnnnnnnnnnnnaaa ba b

58、a baaa ba ba bbb 繼續(xù)做繼續(xù)做 2233,njjnjjn njnjcb ccb ccb c 線性代數(shù)PPT全集例例9. 設(shè)設(shè)111211121121222122221212,nnnn*nnnnnnnnaaaAAAaaaAAAA=A =aaaAAA 其中其中ijA是行列式是行列式 |A| 中元素中元素ija的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式.證明：證明： *1| |nAA (1)|AAA AA E（2）當(dāng)）當(dāng)|A|不等于不等于0時，時，稱稱A 為矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。線性代數(shù)PPT全集證：設(shè)證：設(shè)*(),ijAACc其中其中ijc1122ijijinjna Aa Aa A |

59、,0Ajiji ， 當(dāng)時當(dāng)時于是于是線性代數(shù)PPT全集*|AAAAA|A E兩邊取行列式得兩邊取行列式得:*|AAAEAA|nA因為因為|0A所以所以*1| |nAA類似可證：類似可證：|A AA E 線性代數(shù)PPT全集六、共軛矩陣六、共軛矩陣 定義定義: 當(dāng)當(dāng) A = (aij) 為復(fù)矩陣時為復(fù)矩陣時, 用用 表示表示aij 的共軛的共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù), 記記 , 稱稱 為為A 的共軛矩陣的共軛矩陣.ija)(ijaA A ;2AA .3BAAB 運算性質(zhì)運算性質(zhì) ;1BABA 設(shè)設(shè)A, B為復(fù)矩陣為復(fù)矩陣, 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù), 且運算都是可行的且運算都是可行的, 則則:線性代數(shù)PPT全集矩陣運算矩陣

60、運算 加法加法數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣 (1) 只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時, 才能進行加法才能進行加法運算運算. (2) 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時行數(shù)時, 兩矩陣才能相乘兩矩陣才能相乘, 且矩陣相乘且矩陣相乘不滿足交換律不滿足交換律. (3) 矩陣的數(shù)乘運算與行列式的性質(zhì)矩陣的數(shù)乘運算與行列式的性質(zhì)3不同不同.注意注意線性代數(shù)PPT全集思考題思考題思考題解答思考題解答 設(shè)設(shè)A與與B為為 n 階方陣