第十一章 一元線性回歸

1、人大出版社統(tǒng)計(jì)學(xué)第四版課后習(xí)題參考答案第十一章 一元線性回歸11.1 從某一行業(yè)中隨機(jī)抽取12家企業(yè)，所得產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的數(shù)據(jù)如下：企業(yè)編號(hào)產(chǎn)量（臺(tái)）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）企業(yè)編號(hào)產(chǎn)量（臺(tái)）生產(chǎn)費(fèi)用（萬(wàn)元）14013078416524215081001703501559116167455140101251805651501113017567815412140185要求：（1）繪制產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)。（2）計(jì)算產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的線性相關(guān)系數(shù)。（3）對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)（ = 0.05），并說(shuō)明二者之間的關(guān)系強(qiáng)度。解：(1)利用Excel的散點(diǎn)圖繪制功能，繪制的散點(diǎn)圖

2、如下：從散點(diǎn)圖的形態(tài)可知，產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間存在正的線性相關(guān)。（2）利用Excel的數(shù)據(jù)分析中的相關(guān)系數(shù)功能，得到產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的線性相關(guān)系數(shù)r = 0.920232。（3）計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，得到t = 7.435453，在 = 0.05的顯著性水平下，臨界值為2.6337，統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于臨界值，拒絕原假設(shè)，產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間存在顯著的正線性相關(guān)關(guān)系。r大于0.8，高度相關(guān)。11.2 學(xué)生在期末考試之前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間（單位：h）和考試分?jǐn)?shù)（單位：分）之間是否有關(guān)系？為研究這一問(wèn)題，以為研究者抽取了由8名學(xué)生構(gòu)成的一個(gè)隨機(jī)樣本，得到的數(shù)據(jù)如下：復(fù)習(xí)時(shí)間x考試分?jǐn)?shù)y2064166134842370278

3、8329218722277要求：（1）繪制復(fù)習(xí)時(shí)間和考試分?jǐn)?shù)的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)。（2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。解：(1)利用Excel的散點(diǎn)圖繪制功能，繪制的散點(diǎn)圖如下：從散點(diǎn)圖的形態(tài)來(lái)看，考試分?jǐn)?shù)與復(fù)習(xí)時(shí)間之間似乎存在正的線性相關(guān)關(guān)系。（2）r = 0.862109，大于0.8，高度相關(guān)。11.3 根據(jù)一組數(shù)據(jù)建立的線性回歸方程為。要求：（1）解釋截距的意義。（2）解釋斜率意義。（3）計(jì)算當(dāng)x = 6時(shí)的E(y)。解：（1）在回歸模型中，一般不能對(duì)截距項(xiàng)賦予意義。（2）斜率的意義為：當(dāng)x增加1時(shí)，y減小0.5。（3）當(dāng)x = 6時(shí)，E(y) = 10 0.5

4、* 6 = 7。11.4 設(shè)SSR = 36，SSE = 4，n = 18。要求：（1）計(jì)算判定系數(shù)R2并解釋其意義。（2）計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差se并解釋其意義。解：SST = SSR+SSE = 36+4 = 40，R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9，意義為自變量可解釋因變量變異的90%，自因變量與自變量之間存在很高的線性相關(guān)關(guān)系。（2） = 0.5，這是隨機(jī)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值。11.5 一家物流公司的管理人員想研究貨物的運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的關(guān)系，因此，他抽出了公司最近10輛卡車運(yùn)貨記錄的隨機(jī)樣本，得到運(yùn)送距離（單位：km）和運(yùn)送時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：運(yùn)送距離x運(yùn)

5、送時(shí)間y8253.5 2151.0 10704.0 5502.0 4801.0 9203.0 13504.5 3251.5 6703.0 12155.0 要求：（1）繪制運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)。（2）計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。（3）利用最小二乘法求出估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。解：（1）利用Excel繪制散點(diǎn)圖，如下：從散點(diǎn)圖的形態(tài)來(lái)看，運(yùn)送時(shí)間和運(yùn)送距離之間存在正的線性相關(guān)關(guān)系。（2）計(jì)算的相關(guān)系數(shù)為0.9489，這是一個(gè)很高的相關(guān)系數(shù)。（3）用OLS方法估計(jì)得到模型參數(shù)為= 0.118129，= 0.003585，回歸方程為：運(yùn)

6、送時(shí)間 = 0.118129 + 0.003*運(yùn)送距離，意義為：運(yùn)送距離每增加1km，運(yùn)送時(shí)間增加0.003383天，即0.086小時(shí)。11.6 下面是7個(gè)地區(qū)2000年的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）和人均消費(fèi)水平的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：地區(qū)人均GDP（元）人均消費(fèi)水平（元）北京224607326遼寧112264490上海3454711546江西48512396河南54442208貴州26621608陜西45492035要求：（1）人均GDP作自變量，人均消費(fèi)水平左因變量，繪制散點(diǎn)圖，并說(shuō)明二者之間的關(guān)系形態(tài)。（2）計(jì)算兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。（3）利用最小二乘法求出估計(jì)的回

7、歸方程，并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。（4）計(jì)算判定系數(shù)，并解釋其意義。（5）檢驗(yàn)回歸方程線性關(guān)系的顯著性（ = 0.05）。（6）如果某地區(qū)的人均GDP為5000元，預(yù)測(cè)其人均消費(fèi)水平。（7）求人均GDP為5000元時(shí)，人均消費(fèi)水平95%的置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間。解：（1）利用Excel繪制的散點(diǎn)圖如下：從散點(diǎn)圖來(lái)看，人均消費(fèi)水平與人均GDP之間存在很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。（2）r = 0.998，高度相關(guān)。（3）用OLS方法估計(jì)得到模型參數(shù)為= 734.69，= 0.308，回歸方程為：人均消費(fèi)水平 = 734.69 + 0.308*人均GDP，意義為：人均GDP每增加1元，人均消費(fèi)水平增加0.31

8、元，此值即為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際消費(fèi)傾向。這里截距可解釋為人均GDP為0時(shí)，居民的消費(fèi)支出為734元/年，即經(jīng)濟(jì)學(xué)中的自發(fā)支出。（4）判定系數(shù)R2 = 0.996，人均消費(fèi)水平變異的99%可由人均GDP來(lái)解釋。（5）這是一個(gè)一元線性回歸模型，只需要檢驗(yàn)斜率系數(shù)的顯著性即可。斜率系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量，顯著性水平為0.05，自由度為7-2=5，臨界值為3.16，統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于臨界值，是高度顯著的。（6）將人均GDP代入到估計(jì)的回歸方程，計(jì)算得到人均消費(fèi)水平的期望值為2278元。（7）查表得，點(diǎn)估計(jì)值為2278元，標(biāo)準(zhǔn)誤差為247.3035，人均消費(fèi)水平95%的置信區(qū)間為即（1990.73,2565.27）。而人

9、均消費(fèi)水平95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為即區(qū)間（1580.79，2975.21），對(duì)個(gè)別值的預(yù)測(cè)精確度比對(duì)總體均值的預(yù)測(cè)低。11.7 隨機(jī)抽取10家航空公司，對(duì)其最近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下：航空公司編號(hào)航班正點(diǎn)率（%）投訴次數(shù)（次）181.821276.658376.685475.768573.874672.293771.272870.8122991.4181068.5125要求：（1）繪制散點(diǎn)圖，說(shuō)明二者之間的關(guān)系形態(tài)。（2）用航班正點(diǎn)率左自變量，顧客投訴次數(shù)左因變量，求出估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的意義。（3）檢驗(yàn)回歸系數(shù)的限制性（=0.05）。（4）如果航班正點(diǎn)率

10、為80%，估計(jì)顧客投訴次數(shù)。（5）求航班正點(diǎn)率為80%時(shí)，顧客投訴次數(shù)95%的置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間。解：（1）散點(diǎn)圖如下。從散點(diǎn)圖的形態(tài)來(lái)看，航班正點(diǎn)率與顧客投訴次數(shù)之間有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系。（2）用Excel回歸分析，得到估計(jì)的回歸方程如下：斜率系數(shù)為-4.70062，表示航班正點(diǎn)率提高1個(gè)百分點(diǎn)，顧客投訴次數(shù)減少4.7次。符號(hào)為負(fù)，與理論相符。截距系數(shù)一般不賦予意義。（3）一元回歸只要檢驗(yàn)斜率系數(shù)的顯著性即可。斜率西數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量為相應(yīng)的P值為0.001108，小于0.05，t統(tǒng)計(jì)量是顯著的。（4）由估計(jì)的回歸方程，得到果航班正點(diǎn)率為80%，估計(jì)顧客投訴次數(shù)為430.1892 - 4.70062

11、*80 = 54.1396（次）（5）查表得，點(diǎn)估計(jì)值為54.1396元，標(biāo)準(zhǔn)誤差為18.887，故置信區(qū)間為即區(qū)間（37.6597,70.61949）。而預(yù)測(cè)區(qū)間為即區(qū)間（7.57204,100.7071）11.8 下面是20個(gè)城市寫字樓由出租率和每平方米月租金的數(shù)據(jù)。地區(qū)編號(hào)出租率（%）每平方米月租金（元）170.6 99269.8 74373.4 83467.1 70570.1 84668.7 65763.4 67873.5 105971.4 951080.7 1071171.2 861262.0 661378.7 1061469.5 701568.7 811669.5 751767.7

12、 821868.4 941972.0 922067.9 76設(shè)月租金為自變量，出租率為因變量，用Excel進(jìn)行回歸，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋和分析。解：回歸分析結(jié)果如下：SUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計(jì)Multiple R0.79508R Square0.632151Adjusted R Square0.611715標(biāo)準(zhǔn)誤差2.685819觀測(cè)值20方差分析dfSSMSFSignificance F回歸分析1223.1403223.140330.933182.8E-05殘差18129.84527.213622總計(jì)19352.9855Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t StatP-valueLowe

13、r 95%Upper 95%下限 95.0%上限 95.0%Intercept49.317683.80501612.961231.45E-1041.3236457.3117241.3236457.31172X Variable 10.2492230.044815.5617612.8E-050.155080.3433650.155080.343365結(jié)果分析如下：（1）斜率系數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量在95%的顯著性水平下是高度顯著的，斜率系數(shù)等于0.2492，表示每平方米月租金提高1元，出租率將提高0.2492個(gè)百分點(diǎn)。（2）判斷系數(shù)R2等于6321，表示出租率的變異可由月租金解釋63.21%。判斷系數(shù)不算

14、很高，可能還有其它的變量影響出租率。11.9 某汽車生產(chǎn)商欲了解廣告費(fèi)用（x）對(duì)銷售量（y）的影響，收集了過(guò)去12年的有關(guān)數(shù)據(jù)。通過(guò)計(jì)算得到下面的有關(guān)結(jié)果：方差分析表變差來(lái)源dfSSMSFSignificance F回歸2.17E-09殘差40158.07總計(jì)111642866.67參數(shù)估計(jì)表Coefficients標(biāo)準(zhǔn)誤差t Stat.P-valueIntercept363.689162.455295.8231910.000168X Variable 11.4202110.07109119.977492.17E-09要求：（1）完成上面的方差分析表。（2）汽車銷售量的變差中有多少是由廣告費(fèi)用的變動(dòng)引起的？（3）銷售量與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)是多少？（4）寫出估計(jì)的回歸方程并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。（5）檢驗(yàn)線性關(guān)系的顯著性（=0.05）。解：（1）此為一元線性回歸，由自由度可知，樣本容量n = （11+1）=12。由此可計(jì)算各自由度和SS。進(jìn)而計(jì)算各均方誤，最后計(jì)算出F統(tǒng)計(jì)量（MSR/MSE）。結(jié)果如下：方差分析表變差來(lái)源dfSSMSFSignificance F回歸11602708.61602708.6199.12.17E-09殘差1040158.074015.807總計(jì)111642866.67（2）計(jì)算判斷系數(shù)，表明銷售量的變異