常用高階導(dǎo)數(shù)公式

1、常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式( )1(1)!(4)(ln )( 1)nnnnxx )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx例例7 7( )(),.nyxry 設(shè)設(shè)求求解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n 若若為為自自然然數(shù)數(shù)則則)()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 練練 習(xí)習(xí)( )1,.nyyx 已已知知求求解解( )()(1)(1)nn

2、xnx ( )111()( 1)( 1 1)( 11)( 1)!nnnnnxxnx 例例8 8230023arctan ,.xxd yd yyxdxdx 設(shè)設(shè)求求解解21,1yx 21()1yx 22222(1)2,(1)(1)xxxx 222(1)xyx 2222242(1)22(1) (1)(1)xxxxx 2222242(1)2 (1) (1)xxxx 2002222(1)xxd yxdxx 32003232(31)(1)xxd yxdxx ; 0 . 2 222242(1)22(1) 2(1)xxxxx 2232(1)22 2(1)xxxx 2232(31),(1)xx 練練 習(xí)習(xí)2l

3、n(1),.yxxy 已已知知求求解解221(1)1yxxxx 2212(1)12 1xxxx 2222111.111xxxxxx 21()1yx 122(1)x 32221(1)(1)2xx 3221(1)22xx 23.(1)xx , , 2( )( )( )( ),( ).nf xfxfxfx 設(shè)設(shè)有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 且且滿滿足足求求, ,2( )( )fxfxx 對對等等式式兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 求求導(dǎo)導(dǎo) 得得3( )2 ( )( )2( ),fxf x fxfx24( )2 3( )( )2 3( ),fxfx fxfx! !( )1( )( ),kkfxk fx 設(shè)設(shè)則則有有!

4、!(1)( )(1)( )( )kkfxkkfx fx !2(1) 1(1)( )(1)( ( ),kkkfxkf x由由數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法得得! !( )1( )( )nnfxn fx 例例9 9解解2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:,uvn設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 和和 具具有有 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nncucu ( )( )1(1)2(2)()( )( )(3)()nnnnnnkn kknnu vuvc uvc uvc uvuv 萊布尼茲公式萊布尼茲公式例例101022(20),.xyx ey 設(shè)設(shè)求求解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼

5、茲公式知設(shè)設(shè),22xveux (20)2(20)212(19)22022(18)220()()()()()0 xxxyexcexcex 22! 21920222022182192220 xxxexexe20222(2095).xexx練練 習(xí)習(xí)cos4xyex 求求函函數(shù)數(shù)的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解解,cos ,xuevx設(shè)設(shè)則則由由萊萊布布尼尼茲茲公公式式知知(4)(4)142344(4)()cos()(cos )()(cos )() (cos )(cos )xxxxxyexcexcexcexex(4)cos4sin6cos4sincosxxxxxyexexexexex(4)4cos .xyex

6、 3.3.間接法間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式( )(5)()(1)(1)nnxnx )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, , 通過四則通過四則運(yùn)算運(yùn)算, , 變量代換等方法變量代換等方法, , 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). .( )1(1)!(4)(ln )( 1)nnnnxx 1)(!)1()1( nnnxnx例例1111(5)21,.1yyx 設(shè)設(shè)求求解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(!

7、52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx練練 習(xí)習(xí)11xynx 求求函函數(shù)數(shù)的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解解12(1)112111xxyxxx ( )11!()( 1)1(1)nnnnxx (1( )2!(12 ()1.(1)1)nnnnyxnx 例例121266( )sincos,.nyxxy設(shè)設(shè)求求解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn練練 習(xí)習(xí)lnyxxn 求求函

8、函數(shù)數(shù)的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解解,ln ,ux vx設(shè)設(shè)則則由由萊萊布布尼尼茲茲公公式式知知()()1(1)202(2)20(ln)(ln)( )(ln)00nnnnyxxcxxcx ( )(1)1(2)ln1,111()()( )2nnnnxnyxcxnxx 時(shí)時(shí) ，時(shí)時(shí)1)(!)1()1( nnnxnx()(1)1(2)11()()( )nnnnyxcxxx 2n 時(shí)時(shí), ,1(2)!( 1).nnnx 121(1)!(2)!( 1)( 1)nnnnnxnnxx ( )1ln1,1.(2)!( 1).2nnnxnynnx 時(shí)時(shí) 綜綜上上，時(shí)時(shí)求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)x

9、yx 0lim高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容補(bǔ)充題：補(bǔ)充題：(1)(2)()1.( ),(1).(1)(2)()xxxnf xfxxxn 已已知知求求解解1( )(1)(1)lim1xf xffx 1(1)(2)()(1)(2)()lim1xxxxnxxxnx 1(2)()lim(1)(2)()xxxnxxxn ( 1)( 2)(1)2 3(1)nn 1(1)!( 1)(1)!nnn 1( 1).(1)nn n 2(1)(1)2.( )lim,( )1n xn xnx eaxbf xf xe 設(shè)設(shè)求求，并并討討論論其其連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性。解解2(1)(1)( )lim1n

10、xn xnx eaxbf xe 2,11,12,1xxabxaxb x 11lim( )lim( )(1)( )xxf xf xff x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，連連續(xù)續(xù). .211abab 即即1ab2,11( ),12,1xxabf xxaxb x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1x ( )2 ;fxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1x ( );fxa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1x 1( )(1)(1)lim1xf xffx ( )1f xab當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，即即時(shí)時(shí)，考考慮慮導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù). .211lim21xxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 111limlim11xxaxbaxaaxx2,1( ).abf x 故故而而，當(dāng)當(dāng)此此時(shí)時(shí)

11、，可可導(dǎo)導(dǎo)111212,1( ).abxabaxabf x 綜綜上上，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)在在不不連連續(xù)續(xù)；當(dāng)當(dāng)，但但時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)但但在在不不可可導(dǎo)導(dǎo)；當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可導(dǎo)導(dǎo)03.4( )(,)(1)(1)lim1,( )2(5,(5)xf xffxyf xxf 設(shè)設(shè)周周期期為為 的的周周期期函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，又又已已知知求求曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線方方程程。解解00(5)(5)(1)(1)(5)limlimxxfxffxffxx 0(1)(1)limxffxx 0(1)(1)2lim2xffxx 2. (5)2(5).yfx切切線線方方程程為為4.( ),( )0,2()

12、lim .( )nnf xxaf af anf a 設(shè)設(shè)在在的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且求求極極限限解解2()( )lim1( )nnf af anf a原原式式2()( )( )2( )()( )2()( )lim1( )n f af af anf af af annf af anf a 2()( )lim( )nn f af anf ae 2()( )2lim2( )nf af anf ane 2( )( ).faf ae 二、典型題型二、典型題型題型一題型一 利用導(dǎo)數(shù)定義解題利用導(dǎo)數(shù)定義解題例例1 1設(shè)設(shè)則則在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的 左左、右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在 左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在

13、，但但右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，但但右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都不不存存在在322,1( ),( )1()3,1( )( )( )()xxf xf xxxxabcd b例例2 2設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo)，則則是是在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)的的 充充分分必必要要條條件件； 充充分分條條件件但但非非必必要要條條件件必必要要條條件件但但非非充充分分條條件件；既既非非充充分分條條件件又又非非必必要要條條件件( )( )( )(1sin),(0)0( )0()( )( )( )()f xf xf xxff xxabcd a例例3 3函函數(shù)數(shù)不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)是是 ； ； ； 23

14、( )(2)()()3()2()1()0f xxxxxabcd b例例4 4設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，則則在在內(nèi)內(nèi) 處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)；恰恰有有一一個(gè)個(gè)不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)；恰恰有有兩兩個(gè)個(gè)不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)；至至少少有有三三個(gè)個(gè)不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)3( )lim 1( )(,) ()()()()().nnnf xxf xabcd c例例5 5設(shè)設(shè)在在處處連連續(xù)續(xù)，且且則則0sin( )0lim1,ln ( )2(0)_.xxxf xxf xf 0例例6 6設(shè)設(shè)求求極極限限220(1)0,(1),12 ()1(1sin)lim.lncosxxffaf efxx 解解原原式式222022 ()(1sin)limln(1

15、cos1) 12 ()1(1sin)xxxf efxxf efx 2202 ()(1sin)lim2(cos1)xxf efxx 22202 ()(1sin)limxxf efxx 原原式式2220(1sin)2 ()limxxfxf ex 2220(1sin)(1)2 (1)2 ()limxxfxfff ex 222200(1sin)(1)()(1)lim2limxxxfxff efxx2222222200(1sin)(1) sin()(1)1lim2limsin1xxxxxfxfxf efexxxe 2.aaa 例例7 7設(shè)設(shè)討討論論在在什什么么條條件件下下在在處處連連續(xù)續(xù)1sin,0(

16、),0,0,0,( )0.xxf xxxfxx 解解當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0 x 1( )(sin)fxxx 11111sincos()xxxxx 1111sincosxxxx111(sincos).xxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0 x 01sin(0)limxxxfx 101limsinxxx 要要使使在在處處連連續(xù)續(xù)，( )0fxx 存存在在，且且0(0)lim( )(0).xffxf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，存存在在且且值值為為10(0)0.f 0lim( )xfx 1011lim(sincos)xxxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，即即101,0lim( )0 xfx 綜綜上上，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，在在處處連連續(xù)續(xù)1( )0.fxx 題型二題型二 導(dǎo)

17、數(shù)在幾何上的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用例例8 8的的圖圖形形，在在點(diǎn)點(diǎn)處處切切線線與與 軸軸交交點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是 3211( )61(0,1)32()11()(,0)()( 1,0)()(,0)()(1,0)66f xxxxxabcd a題型三題型三 利用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求導(dǎo)例例9 9若若則則21( )lim (1),( )_txxf ttftx 222ttete 例例10設(shè)設(shè)其其中中 為為二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，求求2ln(),.yf xfy 解解y 221() 2()fxxf x 222()()xfxf x 222()()xfxyf x 2222222()()

18、2() ()()xfxf xxfxf xfx 222222222()4()()2() 2()()fxx fxf xxfxxfxfx 222222222()4()()4 .()()fxx fxfxxf xf x 例例11求求函函數(shù)數(shù)在在處處的的 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)2( )ln(1)0(0)(3).nyxxxnfn 解解( )2( )ln(1)nnyxx2( )12(1)22(2)ln(1)() ln(1)()ln(1)nnnnnxxcxxcxx 122132( 1)(1)!( 1)(2)!2(1)(1)( 1)(3)!(1)(1)nnnnnnnnxnxxxnn nx 121( )12( 1)(1)!2

19、(2)!( 1)(1)(3)!(1)(1)(1)nnnnnnxnnx nn nnyxxx( )(0)nf3(1)( 1)(3)!nn nn 1!( 1).2nnn 例例12設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)滿滿足足則則21()( ),_.1xxxdyyffxexdx 22.e 作作 業(yè)業(yè)求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)431tancos1.11(1)sin;(2)sin;(3)(sin ).xxxdydxyeyx exxyxx 13212.,( )ln,.1xdyyffxxxdx 設(shè)設(shè)求求作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題2-2 102-2 10、11113(10)sin3.,(0).yxxy 函函數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)4.( )(1,0

20、)11,lim1(1 .)nnyf xyfn 已已知知曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線在在 軸軸上上的的截截距距為為求求極極限限25( )(,),(1)2 ( ),01,( )(1) ,0,( ).f xxf xf xxf xxxxf x 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義 對對任任意意都都有有且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)試試判判斷斷在在處處 函函數(shù)數(shù)是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)附加題（競賽真題）：附加題（競賽真題）：0001( )(,) ( ).(,)().f xf f xxxf xx 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且證證明明在在內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)滿滿足足22( )(,),(1)2 ( ),01,( )(1) ,0,( )f xxf xf xxf xxxxf x 、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)有有定定義義 對對任任意意都都有有且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)試試判判斷斷在在處處