培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維淺談

1、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維淺談祝春蘭（湖南省武岡十中 422400）數(shù)學(xué)直覺是學(xué)生運用已有的數(shù)學(xué)知識分析思考面臨的數(shù)學(xué)問題后，思維模糊發(fā)散、轉(zhuǎn)化，跨越式接通，從而得出問題的某個結(jié)論的思維方式。這種不嚴(yán)密的直覺思維不是胡思亂想，應(yīng)激勵和培養(yǎng)，因為大量的事實證明，直覺思維能力強(qiáng)的人往往有較強(qiáng)的創(chuàng)新、創(chuàng)造能力。那么，如何在數(shù)學(xué)課堂數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維呢？本文擬結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，介紹這方面的一些做法或體會。一、創(chuàng)設(shè)猜想情境，增強(qiáng)直覺意識回想十余年的中小學(xué)學(xué)習(xí)過程，總感到自己從小學(xué)的敢于異想天開到中學(xué)的崇尚嚴(yán)密的邏輯思維，直覺意識在不斷減弱，直覺思維沒有得到應(yīng)有的發(fā)展?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)新教材十分重視培養(yǎng)直覺思

2、維，增加了許多供學(xué)生探索的素材，真令人高興。因此，我們數(shù)學(xué)教師必須改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式、觀念，靈活、創(chuàng)造性地使用好教材。還可根據(jù)教學(xué)實際，適當(dāng)?shù)卦黾右恍┡囵B(yǎng)直覺思維的學(xué)習(xí)素材，以豐富課堂教學(xué)。深入挖掘教材中各知識點的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程、相互聯(lián)系等，能從中挖掘出許多有趣的能引發(fā)直覺思維的內(nèi)容，借此創(chuàng)設(shè)猜想情境，引導(dǎo)學(xué)生用試驗、觀察、歸納、類比、聯(lián)想、審美等方法，多角度、多層次地思考問題，充分發(fā)揮直覺思維的導(dǎo)向作用去探索問題。這是使學(xué)生品嘗探索的辛酸，享受成功的喜悅，不斷感受猜想的威力，從而增強(qiáng)直覺意識，激發(fā)探索興趣，激活創(chuàng)造思維的一條好途徑。在球面面積公式的探究性學(xué)習(xí)中，我設(shè)置了圓與圓錐這兩個比較

3、圖形，如圖。先讓學(xué)生觀察比較圖中三個幾何圖形。易知圓的面積為r2，圓錐的側(cè)面積為r2，那么半徑為r的半球面面積是多少？由圖看出：r2r2s半球面，聯(lián)想到等差數(shù)列會想到：s半球面=（2-1）r2？或s半球面=r2？由于表達(dá)式繁雜，這兩個結(jié)果可能不正確。此時，學(xué)生又馬上會由公比為的等比數(shù)列直覺到：r2r22r2，于是猜想：s半球面=2r2，s球面=4r2，學(xué)生會有疑慮：球面面積果真是4r2嗎？從而轉(zhuǎn)入探證s球面=4r2。憑觀察比較得出自己先算不出的正確結(jié)果，是給學(xué)生極好的獎賞，會給每個學(xué)生注入證明猜想的動力。在艱難地探索證明后，學(xué)生們都為現(xiàn)實世界的事物與數(shù)學(xué)王國的數(shù)式竟有如此奇妙的聯(lián)系而贊嘆不己，

4、同時體會到數(shù)學(xué)的“順序”美和數(shù)學(xué)的神奇，從而大大激發(fā)了其探索的興趣。興趣促使學(xué)生對球的體積也進(jìn)行了探究，當(dāng)出示半徑為r的半球圖形后，學(xué)生馬上聯(lián)想到了底面半徑和高均是r的圓錐體和圓柱體，并將三個幾體體畫在一起比較。由v圓錐=r3，v圓柱=r3，及r3v半球r3，學(xué)生馬上猜想v半球=r3，且由v半球=v圓柱v圓椎得到了證明方法。這樣不斷地讓學(xué)生進(jìn)行由形到形，形到數(shù)，數(shù)到數(shù)，數(shù)到形的直覺聯(lián)想、猜想且能得出正確的結(jié)論的教學(xué)，增強(qiáng)了其內(nèi)心那種想從已知越過細(xì)微步驟直覺結(jié)果的意識，激發(fā)探索的興趣，提高探索猜想的能力。二、給予探索空間，拓展直覺思路直覺猜想是建立在牢固的基礎(chǔ)知識、基本技能之上的，如知道圓的面積

5、和圓錐的側(cè)面積是基礎(chǔ)。缺乏基本知識及其聯(lián)系的學(xué)生，一般很難正確、全面地利用題給信息去聯(lián)想相關(guān)或相近的知識點。他們連直覺聯(lián)想的起點和指向目標(biāo)都沒有，哪還能做出什么正確猜想，更談不上靈活地解決問題。在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，在注重基本知識的同時，應(yīng)注意把一些思想性強(qiáng)，解法靈活的題引入課堂，營造民主氣氛，給予探索的時間和空間，讓每位學(xué)生都有機(jī)會充分展示自己的思維，注重加強(qiáng)以直覺引路的探求一題多解的訓(xùn)練，注意引導(dǎo)挖掘其題設(shè)中的隱含條件以引發(fā)奇思妙想，這既有利于鞏固基本知識，加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，又有利于拓展直覺思路，優(yōu)化直覺思維品質(zhì)，可達(dá)到知識和能力雙豐收。如“求函數(shù)y=的最大值”，憑經(jīng)驗，顯然很難將其轉(zhuǎn)化為求

6、正弦型函數(shù)y=asin(wx+)+最值的問題，但由其分子、分母只含sinx，易得出如下兩種解法：解法1 （拆），y=1，ymax=1=。解法2 （減sinx個數(shù)），當(dāng)sinx=0時，y=0；當(dāng)sinx0時， y=，從而ymax=。至此為止，則很難全面鞏固有關(guān)知識，提高思維能力。由sinx的值域去探索，易直覺到函數(shù)的另一種形式，于是有解法3 （用sinx值域）將原函數(shù)變?yōu)閟inx=（y1）解不等式11，得y，ymax=。由函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點探索，可聯(lián)想到函數(shù)y=及斜率公式k=，又會得如下兩種巧妙解法，從而加深了三角與代數(shù)、解析幾何知識間的聯(lián)系。解法4 設(shè)sinx=t，則y=f(t)= ，t-1，1，

7、易得ymax=f(1)= 。解法5 （數(shù)形結(jié)合）函數(shù)y=表示在以點（-1，-1），b（1，1）為端點的線段ab上的點（sinx，sinx）與點p（-3，0）的連線的斜率。顯然，ymax=kpb= 。顯然以上幾種解法都以直覺思維為先導(dǎo)，因直覺思維的觸發(fā)點不同，而解法各異。認(rèn)真弄清各種解法的思維觸發(fā)點，比較轉(zhuǎn)化問題的不同途徑，最后對用到的各種知識加以總結(jié)，這可進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高直覺思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性。三、反思思維疑點，提高直覺能力解題后引導(dǎo)學(xué)生對解題過程中的疑點，特別是對其中的直覺思維活動進(jìn)行深刻反思十分必要。通過反思，可以使學(xué)生明確觸發(fā)解題思路的直覺思維點，使先前思維躍過的每一步

8、變得清晰、具體，模糊的思維表象會顯化成實線連珠式的思維圖象，促使學(xué)生去思考類似相關(guān)問題，以探索總結(jié)一般方法，這有利于提高直覺思維能力及解題能力。如題：已知對于r中的任意x1、x2，函數(shù)f（x）都滿足f(x1+x2)=f(x1) +f(x2) ，且f（a）=1，a為正常數(shù)，求證f(x)是周期函數(shù)。分析討論后，可得如下證明。證明：因為f(x+2a)=f(x+a)+a=|f(x)|，（1）當(dāng)f(x+2a)=f(x)時，有f(x+4a)=f(x+2a)=f(x)，（2）當(dāng)f(x+2a)=-f(x)時，有f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x)，所以，對于任意xr，a0，恒有f(x+4a)=f(x)，

9、故f(x)是周期為4a的周期函數(shù)。至此，也許大多數(shù)學(xué)生對其中如何由題設(shè)得出周期4a存有疑慮，因此，很難解決類似的問題。解題后有必要引導(dǎo)學(xué)生對這一疑點進(jìn)行反思、討論。否則，學(xué)生會失去一次提升直覺思維能力的絕好機(jī)會，今后用雙倍的時間也許很難彌補。為此，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下反思。反思1：你是怎么想到周期4a的呢？下面是我班兩個學(xué)生反思之后對此問題的回答。生1：初看此題，無從下手。為解此題，我的思維從式的數(shù)字、符號、結(jié)構(gòu)特點出發(fā)流向每一個有關(guān)或相似的知識點，幾經(jīng)思考，終于由等式的結(jié)構(gòu)特點聯(lián)想到兩角和的正弦公式sin(+)=sincos+cossin及sin2+cos2=1。進(jìn)而想到正弦函數(shù)y=sinx，最小正周期t=2，sin=1，比較f(a)=1，于是憑直覺猜想f(x)的一個周期為4a。生2：用這樣的方法得出周期4a，真是奇妙有效，我原來還以為“4a”是從天上掉下來的。這足以看出通過反思后，中小學(xué)生這一直覺思維的清晰程度。至此，一學(xué)生提出如下問題。反思2：這種方法是否可解其他抽象函數(shù)問題呢？這個問題我留給學(xué)生課后思考。許多學(xué)生用課余時間查資料，把以正弦、余弦、正切、余切函數(shù)為原形的抽象函數(shù)問題找了出來，且一一解答。從而得出用直覺思維探求周期的一般方