空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué)

1、空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué) 安寧市職業(yè)高級(jí)中學(xué) 張克昌空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué)作者：安寧職中教師張克昌地址：昆畹公路34公里 郵編：6503002010年7月空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué)安寧職業(yè)高級(jí)中學(xué)教師張克昌【摘要】：求空間兩個(gè)向量的夾角，是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，自己的切身感受告誡我：求空間兩個(gè)向量的夾角并不是你想象中的那么難學(xué),即：空間兩條直線的方向向量夾角的確定。方法是: 一、設(shè)置情境，引入課題；二、利用引例繪制空間圖形，探求新知；三、靈活運(yùn)用知識(shí)，舉一反三：四、總結(jié)提煉：從教學(xué)出發(fā)轉(zhuǎn)換到學(xué)法探究，重視對(duì)學(xué)法的探究，使教學(xué)為學(xué)生學(xué)習(xí)

2、服務(wù)。研究當(dāng)代學(xué)生的新情況，新特點(diǎn)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。【關(guān)鍵詞】：空間向量 基 內(nèi)積 夾角 習(xí)題空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué)安寧市職業(yè)高級(jí)中學(xué)教師張克昌空間個(gè)向量的夾角，在中等職業(yè)學(xué)校教材，丘維聲主編的數(shù)學(xué)第九章<空間立體幾何>的學(xué)習(xí)中占有重要的地位，對(duì)空間幾何的學(xué)習(xí)，起到承前啟后的作用，并為后面三垂線定理、直線與平面所形成的角、二面角及幾何體的學(xué)習(xí)起到鋪墊作用。求空間兩個(gè)向量的夾角并不是你想象中的那么難學(xué)，本文從基的確定求方向向量夾角與線段中點(diǎn)求方向向量夾角等方面，通過(guò)習(xí)題解析的方式進(jìn)行闡述： 一、設(shè)置情境，引入公式：（一）、圖中拉小車(chē)的力F，圖中在大海航行

3、的輪船的位移s，以及汽車(chē)行駛的速度移，它們有什么共同點(diǎn)? 它們是既有大小又有方向的量，即向量。在研究空間圖形的度量關(guān)系時(shí)，需要引入空間向量、單位向量、 基 、向量夾角、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量?jī)?nèi)積等，如：基的確定：空間中取定一個(gè)基（ ，） 設(shè)向量 ， 在這個(gè)基下的單位向量坐標(biāo)分別是 ，則空間向量和與差的坐標(biāo)為：空間向量和 ： + 的坐標(biāo)為（a1 + b1，a2 + b2，a3 + b3）空間向量差 ： -的坐標(biāo)為（a1b1，a2b2，a3 b3）數(shù)乘向量：；（二）、如圖所示，小李拉一輛小車(chē)，所用里F的方向與水平線夾角為300，F(xiàn)的大小為400N.小車(chē)水平向右移動(dòng)了s=100(m)試問(wèn)：小李做了

4、多少功？ 從物理學(xué)知道，小李做的功w等于力F在小車(chē)移動(dòng)方向的分量I F l c。s 30。與小車(chē)移動(dòng)的距離|s|的乘積：W=|F|cos300×|S|=400×/2×100=2000(J)從上看到，力F做的功W等于F的大小、位移s的大小及力F與位移s的夾角的余弦的乘積。由此收到啟發(fā)，抽象出向量的內(nèi)積概念。直角坐標(biāo)計(jì)算內(nèi)積·= a1b1 + a2b2 + a3向量?jī)?nèi)積: ·=|a|b|cos<a,b> 向量夾角的余弦為：cos, 向量的長(zhǎng)度：，這是因?yàn)橄蛄康膬?nèi)積是向量的長(zhǎng)度和夾角有密切聯(lián)系的量。二、巧用典型例題，探求新知：空間兩條直線

5、的方向向量的夾角?！窘滩睦}】：（如圖1），在棱長(zhǎng)為1的的正方體中，求向量1和1的內(nèi)積，以及A1BD ？解：在空間中取一個(gè)基：、1，它們兩兩垂直，且都為單位向量。建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則點(diǎn)B、A1、D、的坐標(biāo)分別為：C(1,0,0)，B(0,0,0)，A(0,1 ,0)，（z）（y）(x)B1A1C1BDAD1Cxxx（圖1o根據(jù)三角形法則，得：1 = + 1由空間向量分解定理：m = xa + yb + zc，得：1= 1+ A1= 1+ 1因此1、1在上述基下的坐標(biāo)分別為：1=（0，1，1），1=（1，1，1）。由·= a1b1 + a2b2 + a3b3從而1·

6、1= O·1+1·1+1·1 = 2由 ；得：|1| = = ； |1|=由cos, ，得：cos<1,1> = = 于是通過(guò)反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:ABD1=<BA1,BD1> = arccos 0.615小結(jié)：此例通過(guò)確定空間中的一個(gè)基：、1（y軸，x軸 ，z軸）, 確定O點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0，0），來(lái)求向量的坐標(biāo)，向量的內(nèi)積及向量的夾角。此例的學(xué)習(xí)，并不只在學(xué)會(huì)這道題，更多的是，能否融會(huì)貫通，在腦海里建立空間立體幾何的概念，為后面的舉一反三，真正掌握好空間向量的知識(shí)和培養(yǎng)素質(zhì)能力打下基礎(chǔ)。三、靈活運(yùn)用知識(shí)，舉一反三：【中等職業(yè)學(xué)校教育

7、數(shù)學(xué)教材第二冊(cè)（基礎(chǔ)版、修訂版）155頁(yè)，練習(xí)A組學(xué)生黑板練習(xí)，教師修正】習(xí)題1、（如圖2）：在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求下列各對(duì)直線所成的角：（1）1與B1的夾角 （2）1與D1的夾角（z）（y）(o)（x）C1CADBA1B1D1圖2M（3）AC與BC1的夾角 （4）1與1的夾角解：（1）1與B1的夾角（如圖2） 1=1 夾角:<1，B1 >=BBC=90°總結(jié)：中等學(xué)生畫(huà)圖解答，交線垂直夾角是90°解：（2）1與D1的夾角（如圖2）夾角:< 1, D1> = A1B1A = 45°小結(jié)：中等學(xué)生畫(huà)圖解答，等量代換，交線夾角是直角的一半45

8、°。解：（3）AC與BC1的夾角（如圖2）連接AD1,由于BC1 = AD1 = CD1,因此D1AC是等邊三角形夾角:D1AC = ACD1 = CD1A = <AC,BC1> = 60°。(z)（y）（o）(x)C1CADBA1B1D1圖3M小結(jié)：中等學(xué)生畫(huà)圖解答，等量代換組成等邊三角形，交線夾角是60°（4）求：1與1的夾角（如圖3），解：在空間中取一個(gè)基：、1，它們兩兩垂直，且都為單位向量。建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則點(diǎn)B、A1、D、的坐標(biāo)分別為：B(1,0,0)，A(0,0,0)，D(0,1 ,0)，由圖知：1與1共面，1是 + +1的向量

9、和，1是 + +1的向量和，空間向量分解定理：m = xa + yb + zc，得：1 = + +1 = - 1 - 1 +11 1 坐標(biāo)為：（-1，-1，1）。1 = + +1= - 1 +1 +11 1 坐標(biāo)為：（-1，1，1）1·1 = （-1）×（-1）+（-1）×1 + 1×1= 1由a ；b得：|1|= = ； |1|= = 又a·b |a| |b| cosa,b··cosa,b由此可以得出：cosa,b cos，1，1= cosBMC = = = 通過(guò)反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:，1，1= BMC = arc c

10、osa2 = b2+c2- 2bc cosAb2 = a2+c2-2accosBc2 = b2+a2-2abcosC從作圖知，可用解任意三角形的余弦定理檢驗(yàn)以上計(jì)算的正誤：由得，cosA = cos，1，1= cosBMC = =2 +2 - 12 ÷2（·）= × = 即：cos，1，1= cosBMC = = = 通過(guò)反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:，1，1= BMC = arc cos 。 兩式得數(shù)相同，說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。小結(jié)：由易到難，引入空間中的一個(gè)基：、1，確定向量坐標(biāo)、內(nèi)積、用反余弦函數(shù)值求夾角。并獨(dú)創(chuàng)性的引入用解任意三角形的余弦定理來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算的正誤，讓學(xué)生真

11、真切切體會(huì)到空間夾角的存在，并能用其他方法加以證明，讓學(xué)生習(xí)慣于探究，習(xí)慣于運(yùn)用知識(shí)，而不是死記硬背知識(shí)。以此提高學(xué)生的探究精神，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神提供了最佳環(huán)境。增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與趣味性。習(xí)題2、（如圖4），在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M、N分別是A1B1 、BB1的中點(diǎn)，求下列線段所成的角：（z）(y)(o)（x）MD1C1B1A1DCBAN圖4（1）與 的夾角 （2）1與 的夾角（1）求：與 的夾角，（如圖4）、解：在空間取一個(gè)基：、1，它們兩兩垂直，且都為單位向量建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則點(diǎn)B、A1、D、的坐標(biāo)分別為：B(1,0,0)，A(0,0,0)，D(0,1 ,0)，M

12、是A1B1中點(diǎn)。由空間向量分解定理m = xa + yb + zc；得： = + 0 + 1坐標(biāo)為：（，0，1） = - 1 +1 + 01 坐標(biāo)為：（-1，1，0），由·= a1b1 + a2b2 + a3b3 ，得：· = ×（-1）+0 × 1 + 1× 0= - 由 ， ，得：| = ； | = 由cos, ；得：cos<,> = = = - 通過(guò)反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:<,> = arccos（- ）由于余弦為負(fù)值，空間兩條直線的方向向量的夾角已大于90°需轉(zhuǎn)換為小于90°的角，從而AM與

13、BD所成的角為：- <,> = - arccos（- ） 1.249（o）（y）(z)（x）MD1C1B1A1DCBAN圖5總結(jié)：增加難度，確定中點(diǎn)坐標(biāo)，讓優(yōu)等學(xué)生上黑板獨(dú)立進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，想出新辦法，獲得新知識(shí)，解決新問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)：空間中兩條直線的方向向量的夾角中不大于90°的哪個(gè)角叫做這兩條直線所成角 （2）求:1與 的夾角，（如圖5）、解：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則點(diǎn)B、A1、D、的坐標(biāo)分別為：B(1,0,0)，A(0,0,0)，D(0,1 ,0)，N是1中點(diǎn)。由空間向量分解定理m = xa + yb + zc；得： = 0 - 1 + 1坐標(biāo)為：（0，-1，）1

14、在ACC1中，由空間向量分解定理m = xa + yb + zc；得：1 = + CC1 = + + 1 1坐標(biāo)為：（1，1，1）由·= a1b1 + a2b2 + a3b3 ，得：1· = 0×1+1×（-1）+1× = - 由 ， ，得：|1| = = ;| = = 由cos, ；得：COS1，= = = （- ）通過(guò)反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:1，= arccos（- ）由于余弦為負(fù)值，空間兩條直線的方向向量的夾角已大于90°需轉(zhuǎn)換為小于90°的角，從而1與所成的角為：-1，= - arccos（- ） 1.310小結(jié)：

15、再次增加難度，讓優(yōu)等學(xué)生上黑板獨(dú)立進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，通過(guò)習(xí)題解析，加深了對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的理解，對(duì)所學(xué)內(nèi)容做更進(jìn)一步的鞏固和掌握；同時(shí)，對(duì)分析問(wèn)題的能力和靈活運(yùn)用知識(shí)綜合能力也是一次檢驗(yàn)。探究學(xué)力題：循序漸進(jìn)增加難度，直接確定關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)。再求向量夾角如圖（六），在正方體中，求與所成的角的余弦值？解：設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度，且設(shè)i，j，Dk以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則點(diǎn)B、E1、D、F1的坐標(biāo)圖6分別為：B(1,1,0)，E1(1,1)，D(0,0,0)，F(xiàn)1(0,1)由ab；得：B(1,1)(1,1,0)(0,1)，D(0,1)(0,0,0)(0,1)由a，b，得：，B

16、·Dcos,四、總結(jié)提煉：求空間兩條直線的方向向量的夾角，是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，自己的切身感受告誡我：過(guò)去認(rèn)為教師只要講深講透，學(xué)生自然會(huì)了，實(shí)踐證明，這是極大的誤解。教不等于學(xué)，教過(guò)不等于學(xué)會(huì)，教師的滔滔不絕的講，占用了課堂寶貴時(shí)間和空間，學(xué)生被動(dòng)接受，主動(dòng)性，創(chuàng)造性難以發(fā)揮。求空間兩條直線的方向向量的夾角，關(guān)鍵是先確定（如圖1）空間的一個(gè)基：、1，它們兩兩垂直，且都為單位向量,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz。（圖4）在空間取的另一個(gè)基是：、1，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。由于所確定單位向量位置不同、它們所確定的基跟上面不一樣。其次，方向、大小改變，所確定的坐標(biāo)也改變。學(xué)生是課堂的“主人”。以上6道習(xí)題6個(gè)學(xué)生上黑板解析，教師用探究的教學(xué)理念、教學(xué)方法啟發(fā)，引導(dǎo)，點(diǎn)撥、修正，效果很好。習(xí)題解析學(xué)生學(xué)有所“得”，很高興，自然就對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生情感與趣味。并能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，抽象邏輯思維能力，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神提供了最佳環(huán)境。為今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)?？傊?，空間兩個(gè)向量的夾角并沒(méi)有你想象中的那么難學(xué),從教學(xué)出發(fā)轉(zhuǎn)換到學(xué)法探究，重視對(duì)學(xué)法的探究，使教學(xué)為學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)。研究當(dāng)代學(xué)生的新情況，新特點(diǎn)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。跟據(jù)職業(yè)學(xué)校學(xué)生特