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文檔簡介

1、空間兩個向量的夾角并沒有你想象中的那么難學(xué) 安寧市職業(yè)高級中學(xué) 張克昌空間兩個向量的夾角并沒有你想象中的那么難學(xué)作者:安寧職中教師張克昌地址:昆畹公路34公里 郵編:6503002010年7月空間兩個向量的夾角并沒有你想象中的那么難學(xué)安寧職業(yè)高級中學(xué)教師張克昌【摘要】:求空間兩個向量的夾角,是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,自己的切身感受告誡我:求空間兩個向量的夾角并不是你想象中的那么難學(xué),即:空間兩條直線的方向向量夾角的確定。方法是: 一、設(shè)置情境,引入課題;二、利用引例繪制空間圖形,探求新知;三、靈活運用知識,舉一反三:四、總結(jié)提煉:從教學(xué)出發(fā)轉(zhuǎn)換到學(xué)法探究,重視對學(xué)法的探究,使教學(xué)為學(xué)生學(xué)習(xí)

2、服務(wù)。研究當(dāng)代學(xué)生的新情況,新特點,從學(xué)生的實際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。【關(guān)鍵詞】:空間向量 基 內(nèi)積 夾角 習(xí)題空間兩個向量的夾角并沒有你想象中的那么難學(xué)安寧市職業(yè)高級中學(xué)教師張克昌空間個向量的夾角,在中等職業(yè)學(xué)校教材,丘維聲主編的數(shù)學(xué)第九章<空間立體幾何>的學(xué)習(xí)中占有重要的地位,對空間幾何的學(xué)習(xí),起到承前啟后的作用,并為后面三垂線定理、直線與平面所形成的角、二面角及幾何體的學(xué)習(xí)起到鋪墊作用。求空間兩個向量的夾角并不是你想象中的那么難學(xué),本文從基的確定求方向向量夾角與線段中點求方向向量夾角等方面,通過習(xí)題解析的方式進(jìn)行闡述: 一、設(shè)置情境,引入公式:(一)、圖中拉小車的力F,圖中在大海航行

3、的輪船的位移s,以及汽車行駛的速度移,它們有什么共同點? 它們是既有大小又有方向的量,即向量。在研究空間圖形的度量關(guān)系時,需要引入空間向量、單位向量、 基 、向量夾角、空間向量的坐標(biāo)運算、向量內(nèi)積等,如:基的確定:空間中取定一個基( ,) 設(shè)向量 , 在這個基下的單位向量坐標(biāo)分別是 ,則空間向量和與差的坐標(biāo)為:空間向量和 : + 的坐標(biāo)為(a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3)空間向量差 : -的坐標(biāo)為(a1b1,a2b2,a3 b3)數(shù)乘向量:;(二)、如圖所示,小李拉一輛小車,所用里F的方向與水平線夾角為300,F(xiàn)的大小為400N.小車水平向右移動了s=100(m)試問:小李做了

4、多少功? 從物理學(xué)知道,小李做的功w等于力F在小車移動方向的分量I F l c。s 30。與小車移動的距離|s|的乘積:W=|F|cos300×|S|=400×/2×100=2000(J)從上看到,力F做的功W等于F的大小、位移s的大小及力F與位移s的夾角的余弦的乘積。由此收到啟發(fā),抽象出向量的內(nèi)積概念。直角坐標(biāo)計算內(nèi)積·= a1b1 + a2b2 + a3向量內(nèi)積: ·=|a|b|cos<a,b> 向量夾角的余弦為:cos, 向量的長度:,這是因為向量的內(nèi)積是向量的長度和夾角有密切聯(lián)系的量。二、巧用典型例題,探求新知:空間兩條直線

5、的方向向量的夾角?!窘滩睦}】:(如圖1),在棱長為1的的正方體中,求向量1和1的內(nèi)積,以及A1BD ?解:在空間中取一個基:、1,它們兩兩垂直,且都為單位向量。建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則點B、A1、D、的坐標(biāo)分別為:C(1,0,0),B(0,0,0),A(0,1 ,0),(z)(y)(x)B1A1C1BDAD1Cxxx(圖1o根據(jù)三角形法則,得:1 = + 1由空間向量分解定理:m = xa + yb + zc,得:1= 1+ A1= 1+ 1因此1、1在上述基下的坐標(biāo)分別為:1=(0,1,1),1=(1,1,1)。由·= a1b1 + a2b2 + a3b3從而1·

6、1= O·1+1·1+1·1 = 2由 ;得:|1| = = ; |1|=由cos, ,得:cos<1,1> = = 于是通過反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:ABD1=<BA1,BD1> = arccos 0.615小結(jié):此例通過確定空間中的一個基:、1(y軸,x軸 ,z軸), 確定O點坐標(biāo)為:(0,0,0),來求向量的坐標(biāo),向量的內(nèi)積及向量的夾角。此例的學(xué)習(xí),并不只在學(xué)會這道題,更多的是,能否融會貫通,在腦海里建立空間立體幾何的概念,為后面的舉一反三,真正掌握好空間向量的知識和培養(yǎng)素質(zhì)能力打下基礎(chǔ)。三、靈活運用知識,舉一反三:【中等職業(yè)學(xué)校教育

7、數(shù)學(xué)教材第二冊(基礎(chǔ)版、修訂版)155頁,練習(xí)A組學(xué)生黑板練習(xí),教師修正】習(xí)題1、(如圖2):在棱長為1的正方體中,求下列各對直線所成的角:(1)1與B1的夾角 (2)1與D1的夾角(z)(y)(o)(x)C1CADBA1B1D1圖2M(3)AC與BC1的夾角 (4)1與1的夾角解:(1)1與B1的夾角(如圖2) 1=1 夾角:<1,B1 >=BBC=90°總結(jié):中等學(xué)生畫圖解答,交線垂直夾角是90°解:(2)1與D1的夾角(如圖2)夾角:< 1, D1> = A1B1A = 45°小結(jié):中等學(xué)生畫圖解答,等量代換,交線夾角是直角的一半45

8、°。解:(3)AC與BC1的夾角(如圖2)連接AD1,由于BC1 = AD1 = CD1,因此D1AC是等邊三角形夾角:D1AC = ACD1 = CD1A = <AC,BC1> = 60°。(z)(y)(o)(x)C1CADBA1B1D1圖3M小結(jié):中等學(xué)生畫圖解答,等量代換組成等邊三角形,交線夾角是60°(4)求:1與1的夾角(如圖3),解:在空間中取一個基:、1,它們兩兩垂直,且都為單位向量。建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則點B、A1、D、的坐標(biāo)分別為:B(1,0,0),A(0,0,0),D(0,1 ,0),由圖知:1與1共面,1是 + +1的向量

9、和,1是 + +1的向量和,空間向量分解定理:m = xa + yb + zc,得:1 = + +1 = - 1 - 1 +11 1 坐標(biāo)為:(-1,-1,1)。1 = + +1= - 1 +1 +11 1 坐標(biāo)為:(-1,1,1)1·1 = (-1)×(-1)+(-1)×1 + 1×1= 1由a ;b得:|1|= = ; |1|= = 又a·b |a| |b| cosa,b··cosa,b由此可以得出:cosa,b cos,1,1= cosBMC = = = 通過反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:,1,1= BMC = arc c

10、osa2 = b2+c2- 2bc cosAb2 = a2+c2-2accosBc2 = b2+a2-2abcosC從作圖知,可用解任意三角形的余弦定理檢驗以上計算的正誤:由得,cosA = cos,1,1= cosBMC = =2 +2 - 12 ÷2(·)= × = 即:cos,1,1= cosBMC = = = 通過反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:,1,1= BMC = arc cos 。 兩式得數(shù)相同,說明計算無誤。小結(jié):由易到難,引入空間中的一個基:、1,確定向量坐標(biāo)、內(nèi)積、用反余弦函數(shù)值求夾角。并獨創(chuàng)性的引入用解任意三角形的余弦定理來檢驗計算的正誤,讓學(xué)生真

11、真切切體會到空間夾角的存在,并能用其他方法加以證明,讓學(xué)生習(xí)慣于探究,習(xí)慣于運用知識,而不是死記硬背知識。以此提高學(xué)生的探究精神,為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神提供了最佳環(huán)境。增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與趣味性。習(xí)題2、(如圖4),在棱長為1的正方體中,M、N分別是A1B1 、BB1的中點,求下列線段所成的角:(z)(y)(o)(x)MD1C1B1A1DCBAN圖4(1)與 的夾角 (2)1與 的夾角(1)求:與 的夾角,(如圖4)、解:在空間取一個基:、1,它們兩兩垂直,且都為單位向量建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則點B、A1、D、的坐標(biāo)分別為:B(1,0,0),A(0,0,0),D(0,1 ,0),M

12、是A1B1中點。由空間向量分解定理m = xa + yb + zc;得: = + 0 + 1坐標(biāo)為:(,0,1) = - 1 +1 + 01 坐標(biāo)為:(-1,1,0),由·= a1b1 + a2b2 + a3b3 ,得:· = ×(-1)+0 × 1 + 1× 0= - 由 , ,得:| = ; | = 由cos, ;得:cos<,> = = = - 通過反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:<,> = arccos(- )由于余弦為負(fù)值,空間兩條直線的方向向量的夾角已大于90°需轉(zhuǎn)換為小于90°的角,從而AM與

13、BD所成的角為:- <,> = - arccos(- ) 1.249(o)(y)(z)(x)MD1C1B1A1DCBAN圖5總結(jié):增加難度,確定中點坐標(biāo),讓優(yōu)等學(xué)生上黑板獨立進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),想出新辦法,獲得新知識,解決新問題,強調(diào):空間中兩條直線的方向向量的夾角中不大于90°的哪個角叫做這兩條直線所成角 (2)求:1與 的夾角,(如圖5)、解:建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則點B、A1、D、的坐標(biāo)分別為:B(1,0,0),A(0,0,0),D(0,1 ,0),N是1中點。由空間向量分解定理m = xa + yb + zc;得: = 0 - 1 + 1坐標(biāo)為:(0,-1,)1

14、在ACC1中,由空間向量分解定理m = xa + yb + zc;得:1 = + CC1 = + + 1 1坐標(biāo)為:(1,1,1)由·= a1b1 + a2b2 + a3b3 ,得:1· = 0×1+1×(-1)+1× = - 由 , ,得:|1| = = ;| = = 由cos, ;得:COS1,= = = (- )通過反余弦函數(shù)求兩向量夾角為:1,= arccos(- )由于余弦為負(fù)值,空間兩條直線的方向向量的夾角已大于90°需轉(zhuǎn)換為小于90°的角,從而1與所成的角為:-1,= - arccos(- ) 1.310小結(jié):

15、再次增加難度,讓優(yōu)等學(xué)生上黑板獨立進(jìn)行探究性學(xué)習(xí),通過習(xí)題解析,加深了對各知識點的理解,對所學(xué)內(nèi)容做更進(jìn)一步的鞏固和掌握;同時,對分析問題的能力和靈活運用知識綜合能力也是一次檢驗。探究學(xué)力題:循序漸進(jìn)增加難度,直接確定關(guān)鍵點坐標(biāo)。再求向量夾角如圖(六),在正方體中,求與所成的角的余弦值?解:設(shè)已知正方體的棱長為個單位長度,且設(shè)i,j,Dk以i、j、k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則點B、E1、D、F1的坐標(biāo)圖6分別為:B(1,1,0),E1(1,1),D(0,0,0),F(xiàn)1(0,1)由ab;得:B(1,1)(1,1,0)(0,1),D(0,1)(0,0,0)(0,1)由a,b,得:,B

16、·Dcos,四、總結(jié)提煉:求空間兩條直線的方向向量的夾角,是中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,自己的切身感受告誡我:過去認(rèn)為教師只要講深講透,學(xué)生自然會了,實踐證明,這是極大的誤解。教不等于學(xué),教過不等于學(xué)會,教師的滔滔不絕的講,占用了課堂寶貴時間和空間,學(xué)生被動接受,主動性,創(chuàng)造性難以發(fā)揮。求空間兩條直線的方向向量的夾角,關(guān)鍵是先確定(如圖1)空間的一個基:、1,它們兩兩垂直,且都為單位向量,建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz。(圖4)在空間取的另一個基是:、1,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。由于所確定單位向量位置不同、它們所確定的基跟上面不一樣。其次,方向、大小改變,所確定的坐標(biāo)也改變。學(xué)生是課堂的“主人”。以上6道習(xí)題6個學(xué)生上黑板解析,教師用探究的教學(xué)理念、教學(xué)方法啟發(fā),引導(dǎo),點撥、修正,效果很好。習(xí)題解析學(xué)生學(xué)有所“得”,很高興,自然就對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生情感與趣味。并能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,抽象邏輯思維能力,為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神提供了最佳環(huán)境。為今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。總之,空間兩個向量的夾角并沒有你想象中的那么難學(xué),從教學(xué)出發(fā)轉(zhuǎn)換到學(xué)法探究,重視對學(xué)法的探究,使教學(xué)為學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)。研究當(dāng)代學(xué)生的新情況,新特點,從學(xué)生的實際出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。跟據(jù)職業(yè)學(xué)校學(xué)生特

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