高等數(shù)學-概率41 二項分布

1、第四章 幾種重要的分布 在這一章中，我們將從分布列（或概率密度）、概率背景、數(shù)字特征等方面集中討論一些重要的隨機變量的分布。一、一、常見的離散型隨機變量的概率分布常見的離散型隨機變量的概率分布 （一）（一）01分布分布 1、概率函數(shù)、概率函數(shù) 11,kkPkpp0,1k 2、數(shù)學期望和方差、數(shù)學期望和方差 ,Ep1Dpp3、概率背景、概率背景 設(shè)隨機試驗設(shè)隨機試驗 E 只有只有兩種可能結(jié)果：兩種可能結(jié)果：A和和 ，且且P(A)=p (0p1)， 。用。用 表示一表示一次試驗中次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0 01 1分布。分布。A 1P Ap 例如：例如

2、：擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產(chǎn)品：抽驗產(chǎn)品：“是正品是正品”，“是次品是次品” （二）二項（二）二項分布分布 1、概率函數(shù)、概率函數(shù) 2、概率背景、概率背景 1,n kkknPkC pp0,1,kn,B n p若隨機變量若隨機變量 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為其中其中0p1，則稱，則稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p的二項的二項分布，記為分布，記為 。 用用 表示表示 n 重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)，且次數(shù)，且P(A)=p (0p1)，則，則 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p 的二項

3、分布，即的二項分布，即 。,B n p例例1、 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為 p ，生女孩的，生女孩的概率為概率為 q =1-p，令令 表示隨機抽查出生表示隨機抽查出生的的4 4個嬰兒中個嬰兒中“男孩男孩”的個數(shù)的個數(shù). . B (4，p)解：解：概率函數(shù)為概率函數(shù)為441,kkkPkC pp0,1,2,3,4k 解：解： 例例2、將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰子拋擲3次，次， 令令 表示表示3次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)“4 4”點的次數(shù)。點的次數(shù)。 B (3，1/6)概率函數(shù)為概率函數(shù)為3315,66kkkPkC 0,1,2,3k 例例3、 某類燈泡使用時數(shù)在某類燈泡使用時數(shù)在2000小時以上視為

4、小時以上視為正品正品. .已知有已知有一大批一大批這類的燈泡這類的燈泡, ,其次品率是其次品率是0.2。隨機抽出隨機抽出2020只燈泡做壽命試驗只燈泡做壽命試驗, ,求這求這2020只只燈泡中至多有燈泡中至多有3 3只是次品的概率只是次品的概率. .解解: : 設(shè)設(shè) 為為2020只燈泡中次品的個只燈泡中次品的個數(shù)數(shù) ,則則. B (20, 0.2) 20200.20.8,kkkPkC0,1,2,20k 03P所以所以 32032000.20.8kkkC 特別地，當二項分布特別地，當二項分布B (n, p)的參數(shù)的參數(shù)n=1時，時，B (1, p)就是參數(shù)為就是參數(shù)為p的的01分布。分布。 說明

5、說明 設(shè)試驗設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果：只有兩個結(jié)果：A和和 . . 記記P(A)=p, ,則則P( )= 1- p , 0p0 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 泊松分布，記作泊松分布，記作 P( ).,!mPmem0,1,2,m 2、概率背景、概率背景 泊松分布常見于所謂稠密性的問題中。泊松分布常見于所謂稠密性的問題中。 例如：例如：一段時間內(nèi)，一段時間內(nèi)，車站來候車的旅客數(shù)；車站來候車的旅客數(shù)；原子放射粒子數(shù)；原子放射粒子數(shù)； 用戶對電話交換臺的呼叫次數(shù)；用戶對電話交換臺的呼叫次數(shù)；織布機上斷頭的次數(shù)。織布機上斷頭的次數(shù)。零件鑄造表面上砂眼的個數(shù)；零件鑄造表面上砂眼的個數(shù)；又

6、例如：又例如：一定面積內(nèi)一定面積內(nèi)耕地上雜草的數(shù)目等。耕地上雜草的數(shù)目等。3、泊松分布的期望和方差、泊松分布的期望和方差 E0!mmmem111 !mmem0!nnen 同理求得同理求得22E所以所以D22EE解解: 例例8、某一無線尋呼臺某一無線尋呼臺, ,每分鐘收到尋呼的次每分鐘收到尋呼的次 數(shù)數(shù) 服從參數(shù)服從參數(shù) =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分鐘內(nèi)恰好收到一分鐘內(nèi)恰好收到3 3次尋次尋呼呼的概率的概率. . (2) (2)一分鐘內(nèi)收到一分鐘內(nèi)收到2 2至至5 5次尋呼的概率次尋呼的概率. (1) (1) P =3 =(33/3!)e-30.2240 (2)

7、(2) P2 5 =P =2+P =3+P =4+P =5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169解解: 例例8 8、某一城市每天發(fā)生火災的次數(shù)某一城市每天發(fā)生火災的次數(shù) 服從服從參數(shù)泊松分布參數(shù)泊松分布, ,且平均每天發(fā)生火災且平均每天發(fā)生火災0.8次次. . 求求: :該城市一天內(nèi)發(fā)生該城市一天內(nèi)發(fā)生3 3次以上火災的概率次以上火災的概率. . P 3=1- P 100 , p0.1）時時, ,則對任意固定的非負整數(shù)則對任意固定的非負整數(shù)k, ,有近似公式有近似公式 1,!kn kkknpnnpC ppek0,1,kn即二項分布即二項分布B(n

8、, p)可由泊松分布可由泊松分布P(np)近似近似. 由泊松定理，由泊松定理，n重貝努里試驗中重貝努里試驗中稀有事件稀有事件出出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稱作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大洪如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等水、意外事故等等 解解: 例例9 9、某出租汽車公司共有出租車某出租汽車公司共有出租車400輛輛, ,設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02, , 求求: :一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率.設(shè)設(shè) 表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出