第7章參數(shù)估計

1、1第一、抽樣的基本問題第一、抽樣的基本問題 一、抽樣調(diào)查的概念、目的、作用一、抽樣調(diào)查的概念、目的、作用抽樣調(diào)查的概念：抽樣調(diào)查的概念： 按照隨機原則從總體中抽取一部分單位進行觀察，并運用數(shù)理統(tǒng)按照隨機原則從總體中抽取一部分單位進行觀察，并運用數(shù)理統(tǒng)計的原理，以被抽取的那部分單位的數(shù)量特征為代表，對總體作出數(shù)計的原理，以被抽取的那部分單位的數(shù)量特征為代表，對總體作出數(shù)量上的推斷分析。量上的推斷分析。 1.按按隨機原則隨機原則抽取樣本抽取樣本 2.在數(shù)量上，以樣本推斷總體。在數(shù)量上，以樣本推斷總體。 3.抽樣推斷的誤差可以事先計算和控制抽樣推斷的誤差可以事先計算和控制 抽樣的目的抽樣的目的：進行

2、抽樣推斷。包含兩個方面：進行抽樣推斷。包含兩個方面： 一是利用抽樣所得到的信息對研究對象的總體數(shù)量特征進行估計；一是利用抽樣所得到的信息對研究對象的總體數(shù)量特征進行估計； 二是利用抽樣所得到的信息對某些假設進行檢驗。二是利用抽樣所得到的信息對某些假設進行檢驗。 抽樣的作用：抽樣的作用：1.對隨機現(xiàn)象進行推斷。對隨機現(xiàn)象進行推斷。 2.節(jié)約調(diào)查成本。節(jié)約調(diào)查成本。 3.有效地控制誤差。有效地控制誤差。 4.對某些假設進行檢驗，從而做出科學的決策。對某些假設進行檢驗，從而做出科學的決策。 2 二、總體和樣本二、總體和樣本 1、總體、總體又稱全及總體，指所要研究對象的全體，由許多客觀存在的具有又稱全

3、及總體，指所要研究對象的全體，由許多客觀存在的具有某種共同性質(zhì)的單位構(gòu)成。某種共同性質(zhì)的單位構(gòu)成。全及總體全及總體N ：根據(jù)屬性不同分：根據(jù)屬性不同分v 變量總體變量總體v 屬性總體屬性總體2、樣本、樣本子樣，是從總體中抽取部分單位組成的集合，是總體的一部分。子樣，是從總體中抽取部分單位組成的集合，是總體的一部分。樣本總體樣本總體n ：又稱子樣，簡稱樣本。：又稱子樣，簡稱樣本。 變量樣本變量樣本 屬性樣本屬性樣本n30 大樣本；大樣本； n30 小樣本小樣本3 三、參數(shù)和統(tǒng)計量三、參數(shù)和統(tǒng)計量1、參數(shù)、參數(shù)參數(shù)是總體參數(shù)的簡稱，是反映總體數(shù)量特征的參數(shù)是總體參數(shù)的簡稱，是反映總體數(shù)量特征的指標

4、，其數(shù)值是唯一的、確定的，但往往是未知的。指標，其數(shù)值是唯一的、確定的，但往往是未知的。最常用的參數(shù)有總體均值（記為最常用的參數(shù)有總體均值（記為 ）、總體比率）、總體比率（記為（記為 ）和總體方差（記為）和總體方差（記為 ）。）。 22、統(tǒng)計量、統(tǒng)計量統(tǒng)計量是樣本統(tǒng)計量的簡稱，是由樣本中單位的統(tǒng)計量是樣本統(tǒng)計量的簡稱，是由樣本中單位的變量值計算得到的反映樣本數(shù)量特征的指標，其數(shù)變量值計算得到的反映樣本數(shù)量特征的指標，其數(shù)值是不確定的，隨機的。最常用的統(tǒng)計量有樣本平值是不確定的，隨機的。最常用的統(tǒng)計量有樣本平均數(shù)（記為均數(shù)（記為 ）、樣本比率（記為）、樣本比率（記為p）、樣本方差）、樣本方差（記

5、為（記為 ）。）。 x2s4 統(tǒng)計參數(shù)統(tǒng)計參數(shù)又稱全及指標又稱全及指標 全及指標：根據(jù)總體各個單位的標志值或標志特征計算的、全及指標：根據(jù)總體各個單位的標志值或標志特征計算的、反映總體某種屬性的綜合指標。反映總體某種屬性的綜合指標。 有變量總體指標、屬性總體指標。全及指標具有唯一性。有變量總體指標、屬性總體指標。全及指標具有唯一性。 有總體平均數(shù)、成數(shù)、方差、標準差等全及指標。有總體平均數(shù)、成數(shù)、方差、標準差等全及指標。 NX.總體均值變量總體指標PNNNNNQNN1.101總體比率（成數(shù)）屬性總體指標NXX2)(.總體標準差5nxx.樣本平均數(shù)pnnnnnQnnP1.101樣本比率（成數(shù)）統(tǒng)

6、計量統(tǒng)計量-又稱抽樣指標又稱抽樣指標 由抽樣總體各個標志值或標志特征計算的綜合指標，又稱由抽樣總體各個標志值或標志特征計算的綜合指標，又稱為抽樣指標。為抽樣指標。 有樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)、樣本方差（標準差）。有樣本平均數(shù)、樣本成數(shù)、樣本方差（標準差）。 統(tǒng)計量是樣本變量的函數(shù)，它本身也是隨機變量。統(tǒng)計量是樣本變量的函數(shù)，它本身也是隨機變量。nxxs2)(.樣本標準差63 3、統(tǒng)計抽樣推斷過程：根據(jù)樣本的平均數(shù)、成數(shù)（也、統(tǒng)計抽樣推斷過程：根據(jù)樣本的平均數(shù)、成數(shù)（也稱比率）來推斷總體的平均數(shù)、成數(shù)或總體指標所在范稱比率）來推斷總體的平均數(shù)、成數(shù)或總體指標所在范圍的過程。圍的過程。、X總體總體N

7、N樣本樣本n npx、（推斷總量指標）（推斷總量指標）（計算抽樣指標）（計算抽樣指標）（抽取方式方法）（抽取方式方法）（抽樣估計）（抽樣估計）（計算抽樣誤差）（計算抽樣誤差）7 四、抽樣誤差四、抽樣誤差誤差可以分為登記性誤差和代表性誤差。所謂誤差可以分為登記性誤差和代表性誤差。所謂登記性誤差登記性誤差是指在登記、匯是指在登記、匯總數(shù)據(jù)時產(chǎn)生的誤差，從理論上講，登記性誤差是可以避免的；而總數(shù)據(jù)時產(chǎn)生的誤差，從理論上講，登記性誤差是可以避免的；而代表性誤代表性誤差差是指用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)而產(chǎn)生的誤差，又分為偏差和隨機誤差；是指用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)而產(chǎn)生的誤差，又分為偏差和隨機誤差；偏差偏

8、差是指破壞了抽樣的隨機原則而產(chǎn)生的誤差，這種誤差在理論上也是可以是指破壞了抽樣的隨機原則而產(chǎn)生的誤差，這種誤差在理論上也是可以避免的；避免的；隨機誤差隨機誤差是指在抽樣中遵循了隨機原則，但由于樣本的不穩(wěn)定性而是指在抽樣中遵循了隨機原則，但由于樣本的不穩(wěn)定性而產(chǎn)生的誤差，也就是產(chǎn)生的誤差，也就是抽樣誤差抽樣誤差，這種誤差是必然會產(chǎn)生的，是不可避免的，這種誤差是必然會產(chǎn)生的，是不可避免的，但是可以對其進行控制和計算。但是可以對其進行控制和計算。 統(tǒng)計誤差統(tǒng)計誤差登記性誤差登記性誤差代表性誤差代表性誤差系統(tǒng)性誤差系統(tǒng)性誤差-偏差偏差隨機誤差隨機誤差抽樣實際誤差抽樣實際誤差抽樣平均誤差抽樣平均誤差抽樣

9、極限誤差抽樣極限誤差8 抽樣誤差的概念抽樣誤差的概念 抽樣誤差是指樣本指標和總體指標之間數(shù)量上的差別，抽樣誤差是指樣本指標和總體指標之間數(shù)量上的差別，是指隨機誤差。是指隨機誤差。 隨機誤差有三種：隨機誤差有三種： 1、實際誤差、實際誤差一個樣本指標與總體指標之間的差別。一個樣本指標與總體指標之間的差別。 以數(shù)學符號表示：以數(shù)學符號表示： 這是無法知道的誤差。這是無法知道的誤差。 2、抽樣平均誤差抽樣平均誤差是指所有可能出現(xiàn)的樣本指標的標準差，是指所有可能出現(xiàn)的樣本指標的標準差， 也可以說是所有可能出現(xiàn)的樣本指標和總也可以說是所有可能出現(xiàn)的樣本指標和總 體指標的平均離差。體指標的平均離差。 這是

10、可以計算的誤差。這是可以計算的誤差。 3、抽樣極限誤差、抽樣極限誤差-PpXx、在討論抽樣誤差時，指的是抽樣平均誤差。在討論抽樣誤差時，指的是抽樣平均誤差。9 有實際意義的是抽樣平均誤差，也稱為標準誤差。有實際意義的是抽樣平均誤差，也稱為標準誤差。MxEMix12)(誤差樣本平均數(shù)的抽樣平均樣本平均數(shù)的實際誤差樣本可能數(shù)目xExM公式表示的是用估計的所有誤差的平均值，我們稱公式表示的是用估計的所有誤差的平均值，我們稱其為的抽樣平均誤差其為的抽樣平均誤差,也稱為標準誤差。也稱為標準誤差。10 抽樣平均誤差的意義抽樣平均誤差的意義 抽樣平均誤差是反映抽樣誤差一般水平的指標，是一系列抽樣平均誤差是反

11、映抽樣誤差一般水平的指標，是一系列抽樣指標（平均指標或成數(shù)）的標準差。抽樣指標（平均指標或成數(shù)）的標準差。 1、它是衡量抽樣指標對于全及指標代表性程度的一個尺度；、它是衡量抽樣指標對于全及指標代表性程度的一個尺度； 2、計算抽樣指標與全及指標之間變異范圍的一個根據(jù)；、計算抽樣指標與全及指標之間變異范圍的一個根據(jù)； 3、在組織抽樣調(diào)查中，確定抽樣單位數(shù)多少的計算依據(jù)之一。、在組織抽樣調(diào)查中，確定抽樣單位數(shù)多少的計算依據(jù)之一。111.簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣2.分層抽樣分層抽樣3.系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣4.整群抽樣整群抽樣第二、抽樣方式第二、抽樣方式 遵循同一個原則遵循同一個原則隨機原則。隨機原則。第三

12、、抽樣分布第三、抽樣分布樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 的抽樣分布的抽樣分布1.抽樣分布的概念抽樣分布的概念 某個統(tǒng)計量對應的頻率分布或概率分布稱為該統(tǒng)計量的抽某個統(tǒng)計量對應的頻率分布或概率分布稱為該統(tǒng)計量的抽樣分布。樣分布。常用的抽樣分布有樣本平均數(shù)的抽樣分布、樣本比率的抽常用的抽樣分布有樣本平均數(shù)的抽樣分布、樣本比率的抽樣分布、樣本方差的抽樣分布。樣分布、樣本方差的抽樣分布。 x122.抽樣分布的形態(tài)抽樣分布的形態(tài)大量的試驗表明，無論總體服從什么分布，只要總體方差已大量的試驗表明，無論總體服從什么分布，只要總體方差已知，樣本容量足夠大，樣本平均數(shù)知，樣本容量足夠大，樣本平均數(shù) 近似服從正態(tài)分布，這近

13、似服從正態(tài)分布，這個結(jié)論就是著名的個結(jié)論就是著名的中心極限定理中心極限定理。 ),(),(22nNNxxx樣本平均數(shù)的數(shù)學期望期中：x樣本平均數(shù)的方差2xx13中心極限定理中心極限定理 (central limit theorem)14 3. 的抽樣平均誤差的抽樣平均誤差 xnnMxExMix2212)(平均誤差大。要比不重復抽樣的抽樣、理論上講，重復抽樣平均誤差就越??；、總體方差越小，抽樣平均誤差就越?。?、樣本容量越大，抽樣法有關(guān)。量及總體方差、抽樣方抽樣平均誤差與樣本容代替。未知時，可用當32122s15 這時樣本方差為：這時樣本方差為： 的抽樣平均誤差為：的抽樣平均誤差為：1)1()1(

14、22NnNnNnNnNnNExx（8-7） x)1(22NnNnx4修正系數(shù)修正系數(shù)上述結(jié)論是在重復抽樣的條件下得到的，上述結(jié)論是在重復抽樣的條件下得到的，如果是如果是有限總體且有限總體且不重復抽樣不重復抽樣，當樣本容量超過總體，當樣本容量超過總體容量的容量的5%時，要對樣本方差進行修正，修正系數(shù)為時，要對樣本方差進行修正，修正系數(shù)為 1NnN16 5標準化變換標準化變換) 1 , 0( NnxZdxeZZx2221)( 標準正態(tài)分布的分布函數(shù)記為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)記為 )(Z標準正態(tài)分布函數(shù)的三個重要性質(zhì)：標準正態(tài)分布函數(shù)的三個重要性質(zhì)： )()()(1abbZap）)(1)(2aa）1

15、)(2)(3aaZp）17 在大樣本、總體方差未知條件下，可以用在大樣本、總體方差未知條件下，可以用 代替代替 ，這時標準化后的統(tǒng)計量服從這時標準化后的統(tǒng)計量服從t分布：分布：2s2) 1(ntnsxt t分布也稱為學生分布，在統(tǒng)計推斷中有廣泛的分布也稱為學生分布，在統(tǒng)計推斷中有廣泛的運用。運用。t分布的形態(tài)是類似于標準正態(tài)分布的對稱分分布的形態(tài)是類似于標準正態(tài)分布的對稱分布，其分布密度函數(shù)的圖像比標準正態(tài)分布平坦。布，其分布密度函數(shù)的圖像比標準正態(tài)分布平坦。t分布依賴于自由度，隨著自由度分布依賴于自由度，隨著自由度k的增大，的增大，t分布會逐分布會逐漸趨近于標準正態(tài)分布。漸趨近于標準正態(tài)分布

16、。 6. t分布：分布：18標準正態(tài)分布與標準正態(tài)分布與t分布分布 K=(正態(tài)分布正態(tài)分布)K=10K=5自由度自由度K=n-k k-1n:樣本數(shù)樣本數(shù)k:解釋變量個數(shù)解釋變量個數(shù)1:常數(shù)項常數(shù)項19 樣本比率樣本比率p的抽樣分布的抽樣分布 由概率論知識我們有以下結(jié)論：當樣本容量足夠由概率論知識我們有以下結(jié)論：當樣本容量足夠大時，大時，p的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。 其中其中大樣本的標準大樣本的標準是：同時滿足是：同時滿足 的的n為大樣本標準，如果為大樣本標準，如果 未知，可用未知，可用p代替。代替。 一、一、 p的數(shù)學期望和方差的數(shù)學期望和方差 pnp)1 (25

17、)1 (5nn或20 二、二、 P的抽樣分布的形態(tài)的抽樣分布的形態(tài) 三、三、 p的抽樣平均誤差的抽樣平均誤差 其中：其中： 樣本比率的抽樣平均誤差。樣本比率的抽樣平均誤差。 )1 (,(),(2nNNppp（8-10） nEpp)1 (2（8-11） pE21 四、修正系數(shù)四、修正系數(shù) 如果是有限總體且如果是有限總體且不重復抽樣不重復抽樣，當樣本容量超過總，當樣本容量超過總體容量的體容量的5%時，要對樣本方差進行修正，修正系數(shù)為時，要對樣本方差進行修正，修正系數(shù)為 1NnN)1()1 ()1(2NnNnNnNEpp1)1 (2NnNnp抽樣平均誤差為：抽樣平均誤差為： 這時樣本方差為：這時樣本

18、方差為：五、標準化變換五、標準化變換) 1 , 0()1 (NnpZ22 方差方差 的抽樣分布的抽樣分布-卡方分布?？ǚ椒植肌?由概率論知識可知，由概率論知識可知， 的抽樣分布服從卡方的抽樣分布服從卡方分布。分布。 2s2s) 1() 1(2222nsn（8-15） 圖8-4 分布圖 2自由度8自由度15自由度自由度=n-k-1n:樣本數(shù)樣本數(shù)k:解釋變量個數(shù)解釋變量個數(shù)1:常數(shù)項常數(shù)項23 兩個總體方差之比的抽樣分布兩個總體方差之比的抽樣分布-F分布分布 從兩個總體中獨立的抽取兩個樣本，兩個總體從兩個總體中獨立的抽取兩個樣本，兩個總體的方差分別是的方差分別是 ，兩個樣本容量分別，兩個樣本容量

19、分別是是 ，兩個樣本的方差分別是，兩個樣本的方差分別是 ，則，則 。 于是有：于是有：2221,21,nn2221,ss) 1() 1(122121121nsn) 1() 1(222222222nsn) 1, 1() 1() 1(2122222121222121nnFssnnF7 - 247.1 參數(shù)估計的一般問題7.1.1 估計量與估計值估計量與估計值7.1.2 點估計與區(qū)間估計點估計與區(qū)間估計7.1.3 評價估計量的標準評價估計量的標準7 - 267 - 277 - 287 - 29xxzx27 - 307 - 317 - 327 - 337 - 347 - 35127 - 36作者：賈俊

20、平，中國人民大學統(tǒng)計學院統(tǒng)計學統(tǒng)計學STATISTICS(第五版第五版)7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.2.1 7.2.1 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計7.2.2 7.2.2 總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)間估計7.2.3 7.2.3 總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計7 - 382xp2s7 - 397 - 40)1 ,0( Nnxz)(22未知或nszxnzx7 - 41112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.6100.0

21、100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.37 - 4228.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x7 - 4323233535393927273636444436364242464643433131333342425353454554544747242434342828393936364444404

22、03939494938383434484850503434393945454848454532327 - 4463.41,37.3713.25 .393677.7645.15 .392nszx5 .39x77. 7s7 - 457 - 46)1(ntnsxtnstx2)1(ntnsxtnstx27 - 477 - 48151015101520152014801480150015001450145014801480151015101520152014801480149014901530153015101510146014601460146014701470147014707 - 492 .150

23、3, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s7 - 507 - 51均值均值比例比例方差方差大樣本大樣本小樣本小樣本 2 2已知已知 2 2已知已知 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布)1 ,0( Nnxz)(22未知或nszxnzx)1(ntnsxtnstx27 - 52xxzx27 - 537 - 54) 1 , 0()1 (Nnpznppzp)-1 (27 - 55%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp7 - 5

24、67 - 5711222nsn111122122222nsnnsn7 - 587 - 59112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.37 - 6

25、04011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n39.18083.564011.1221.931253641.3921.93125227 - 61均值均值比例比例方差方差大樣本大樣本小樣本小樣本大樣本大樣本 2 2分布分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布7 - 627.3 7.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.3.1 7.3.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體均值之差的區(qū)間估計7.3.2 7.3.2 兩個總體比例之差

26、的區(qū)間估計兩個總體比例之差的區(qū)間估計7.3.3 7.3.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計7 - 642121222121xx 21pp 2221ss7 - 657 - 66) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz7 - 67222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxx7 - 68中學中學1 1中學中學2 2n n1 1=46=46n n1 1=33=33S S1 1=5.8=5.8 S S2 2=7.2=7.2861x782x7 - 69)97.10,03. 5(97. 28332 . 7468 . 596. 1)7886()(222

27、22121221nsnszxx7 - 707 - 712) 1() 1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp7 - 72)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp7 - 73方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.137.237.222.222.226.026.029.029.038.538.531.031.032.032.037.637.634.434.433.833.831.231.232.132.128.028.020.020.033.4

28、33.428.828.830.030.030.230.226.526.57 - 745 .321x996.1521s8 .282x358.1922s677.1721212358.19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2)8 .285 .32(7 - 75)()()(2221212121vtnsnsxxt7 - 76222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv7 - 77方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.13

29、7.237.222.222.226.526.529.029.038.538.531.031.037.637.634.434.433.833.832.132.128.028.020.020.028.828.830.030.030.230.27 - 785 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(7 - 797 - 80nzdd27 - 81nsntdd) 1(27 - 82學生編號學生編號試卷試卷A A試卷試卷B B差值差值d d1 1787871717 72 26363444419193 37272616111114 489898484