常微分第四章

1、u 主講：張文俊u 主講：胡鵬彥第四章高階微分方程授課教師：胡鵬彥授課對(duì)象：10本科第四章高階微分方程 本章主要討論高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和常系數(shù)線性微分方程的求解問題, 同時(shí)結(jié)合質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)來體會(huì)數(shù)學(xué)與物理的深刻聯(lián)系.第四章高階微分方程4.1 線性微分方程的 一般理論一、引言二、齊次線性微分方程 解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)三、非齊次線性微分方程與 常數(shù)變易法第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論一、引言 1. 線性微分方程的相關(guān)定義 形如1111ddd( )( )( )( ) (4.1)dddnnnnnnxxxa tata t xf tttt的方程為n階線性微分方程階線性微分方程,

2、 其中ai(t)(i 1, 2, , n)及 f (t)都是區(qū)間a t b上的連續(xù)函數(shù).第四章高階微分方程 若 f (t)0, 則(4.1)變?yōu)?111ddd( )( )( )0, (4.2)dddnnnnnnxxxa tata t xttt稱之為n階齊次線性微分方程階齊次線性微分方程, 簡稱為齊次線性微齊次線性微分方程分方程, 而(4.1)稱為n階非齊次線性微分方程階非齊次線性微分方程, 簡稱為非齊次線性微分方程非齊次線性微分方程, 且通常將(4.2)稱為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于(4.1)的齊次線性微分方程的齊次線性微分方程.4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論第四章高階微分方程 2. 線性微分

3、方程解的存在唯一性定理 定理1 如果ai(t)(i 1, 2, , n)及 f (t)都是區(qū)間a t b上的連續(xù)函數(shù), 則對(duì)于任一t0a, b及任意(1)(1)000, , , ,nxxx 100(1)(1)00001dd,. (4.3)ddnnntttxxxtt的方程(4.1)存在唯一定義在區(qū)間a t b上的解x (t), 滿足初值條件4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論二、齊次線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 1. 齊次線性微分方程解的疊加原理 定理2(疊加原理疊加原理) 如果x1(t), x2(t), , xk(t)是方程(

4、4.2)的k個(gè)解, 則它們的線性組合 c1x1(t) c2x2 (t) ckxk(t)也是(4.2)的解, 這里c1, c2, , ck是任意常數(shù). 該定理可直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則證明.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 在定理2中, 如果k n, 則(4.2)有解 x c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t), (4.4)它含有n個(gè)任意常數(shù). 試問何時(shí)(4.4)能夠成為(4.2)的通解?第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 要使(4.4)成為(4.2)的通解, (4.4)中的c1, c2, cn須相互獨(dú)立.第四章高階微分方程4.1

5、 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 2. 函數(shù)組的線性相關(guān) 定義 設(shè)x1(t), x2(t), , xk(t)在a, b上有定義.若存在不全為零的常數(shù)c1, c2, , ck, 使得恒等式 c1x1(t) c2x2 (t) ckxk(t) 0在a, b上成立, 則稱x1(t), x2(t), , xk(t)是線性相線性相關(guān)關(guān)的, 否則就稱它們?cè)赼, b上線性無關(guān)線性無關(guān).sin , costt21, , , , nt tt 如何判斷函數(shù)組線性相關(guān)?第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 設(shè)x1(t), x2(t), , xk(t)為a, b上的k 1次可微函數(shù), 稱

6、行列式121212(1)(1)(1)12( ),( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkkW x tx tx tW tx tx tx tx tx tx txtxtxt為函數(shù)組x1(t), x2(t), , xk(t)的朗斯基行列式朗斯基行列式.Wronskian Wronsky第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 定理3 設(shè)函數(shù)x1(t), x2(t), , xk(t)在a, b上k 1次可微. 若它們?cè)赼, b上線性相關(guān), 則在a, b上有W(t) 0.21,10,( )0,01,ttx tt 注 定理3的逆一般不成立,

7、 例如220,10,( ),01.tx ttt 第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 定理4 若方程(4.2)的解x1(t), x2(t), , xn(t)在a, b上線性無關(guān), 則對(duì)任意ta, b, W(t) 0. 證明思路 利用反證法 構(gòu)造一個(gè)微分方程的滿足一定初值條件的解,然后由解的唯一性推得矛盾.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 定理5 n階齊次線性微分方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無關(guān)的解. 證明思路 利用解的存在唯一性和定理3. 構(gòu)造n組初值得到n個(gè)解, 而這n個(gè)解的朗斯基行列式有非零點(diǎn), 由定理3知這n個(gè)解線性無關(guān). (1)

8、101010(1)202020(1)0001,0,0,0,1,0,0,0,1nnnnnnx tx txtxtxtxtxtxtxt第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 3. 齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定理6(通解結(jié)構(gòu)定理通解結(jié)構(gòu)定理) 如果x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的n個(gè)線性無關(guān)的解, 則方程(4.2)的通解可表為 x(t) c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t), (4.11)其中c1, c2, , cn是任意常數(shù), 且(4.11)包括了(4.2)的所有解.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 推論1

9、 方程(4.2)的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n. 推論2 方程(4.2)的解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間. 定義 方程(4.2)的一組n個(gè)線性無關(guān)解稱為其一個(gè)基本解組基本解組. 滿足W(t0) 1的基本解組稱為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)基本解組基本解組. 注 基本解組不唯一.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論三、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法 1. 非齊次線性微分方程解的性質(zhì)1111ddd( )( )( )( ) (4.1)dddnnnnnnxxxa tata t xf tttt1111ddd( )( )( )0 (4.2)dddnnnnnnxxxa tata t xttt第四章高階微分方程4

10、.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 性質(zhì)1 如果( )x t是方程(4.1)的解, x(t)是方程(4.2)的解, 則是( )( )x tx t是方程(4.1)的解. 性質(zhì)2 方程(4.1)的任意兩個(gè)解之差必為(4.2)的解.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 定理7 設(shè)x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的基本解組, 而( )x t是方程(4.1)的解, 則方程(4.1)的其中c1, c2, , cn為任意常數(shù). 而且這個(gè)通解包括了方程(4.1)的所有解. 注 定理7給出了一種求非齊次線性方程通解的方法: 求其一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)的齊次線性

11、方程的基本解組.通解可表為1 122( )( )( )( ), (4.14)nnxc x tc x tc x tx t第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 2. 非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法 設(shè)x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的基本解組, x c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t) (4.15)是(4.2)的通解. 把(4.15)中的ci看成t的函數(shù), 則有 x c1(t)x1(t) c2(t)x2 (t) cn(t)xn(t), (4.16)通過確定(4.16)中的ci(t)就可以得到(4.1)的通解. 這種求非齊次線性微分方程

12、通解的方法稱為常數(shù)常數(shù)變易法變易法.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 要確定(4.16)中的ci(t)除將其代入方程(4.1)之外還要附加另外的限制條件, 其法無窮, 為簡便起見, 可如下進(jìn)行. (4.16)兩端對(duì)t求導(dǎo):11221122( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ),nnnnxc t x tc t x tc t x tx t c tx t c tx t c t令11221( ) ( )( )( )( )( )0, (4.17)nnx t c tx t c tx t c t11221( ) ( )( )( )( )(

13、 ), (4.18)nnxc t x tc t x tc t x t得第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 對(duì)(4.18)1重復(fù)上述過程得11222( ) ( )( )( )( )( )0, (4.17)nnx t c tx t c tx t c t11222( ) ( )( )( )( )( ), (4.18)nnxc t x tc t x tc t x t 繼續(xù)上述過程可得(2)(2)1122(2)1( ) ( )( )( ) ( )( )0, (4.17)nnnnnnxt c txt c txt c t( )( )( )1122( )( )( )( )( ) (

14、 )( ), (4.18)nnnnnnnxc t xtc t xtc t xt第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 將(4.16), (4.18)1, (4.18)2, , (4.18)n代入(4.1)可得 積分得(1)(1)1122(1)( ) ( )( )( ) ( )( )( ), (4.17)nnnnnnxt c txt c txt c tf t 由(4.17)1, (4.17)2, , (4.17)n可求得( )( ), 1, 2, , ,iic ttin( )( )d, 1, 2, , ,iiic tttin第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性

15、方程的一般理論 將其代入(4.16)即得(4.1)的通解11( )( )( )d .nniiiiiixx tx ttt 在上式中令i 0(i 1, 2, , n)可得(4.1)的解1( )( )d .niiixx ttt 由此可知, 在已知對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組時(shí), 非齊次線性微分方程的解可由求積分得到.第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 例1 求方程1cosxxt應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組為cos t, sin t.的通解. 已知其對(duì)第四章高階微分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論 例2 求方程2txxt于域t 0上的所有解.第四章高階微

16、分方程4.1 線性方程的一般理論線性方程的一般理論作業(yè)P1313(2, 5), 4, 6第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法一、復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解二、常系數(shù)齊次線性微分方程 和歐拉方程三、非齊次線性微分方程比較 系數(shù)法與拉普拉斯變換法四、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法一、復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解 1. 復(fù)值函數(shù)概念 復(fù)值函數(shù) 設(shè) (t)與 (t)是區(qū)間a, b的實(shí)函數(shù),稱z(t) (t) i (t)為a, b上的復(fù)值函數(shù)復(fù)值函數(shù), 其中i為虛數(shù)單位, 即i2 1. 復(fù)值函數(shù)的極限 如果實(shí)函數(shù) (t)與 (t)都在t0a, b存在極限, 則稱復(fù)值函

17、數(shù) z(t) (t) i (t)在在t0存在極限存在極限, 且有000lim ( )lim ( )ilim( ).ttttttz ttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 復(fù)值函數(shù)的連續(xù) 對(duì)于t0a, b, 如果 00lim ( ),ttz tz t則稱復(fù)值函數(shù) z(t) (t) i (t)在在t0 a, b連續(xù)連續(xù). 如果z(t)在區(qū)間a, b上每一點(diǎn)都連續(xù), 則稱z(t)為區(qū)間a, b上的連續(xù)連續(xù), 也稱z(t)為區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 如果極限 000( )limttz tz t

18、tt存在, 就稱z(t)在在t0 a, b有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)(可微可微), 且記此極限 如果z(t)在區(qū)間a, b上每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù), 則稱z(t)在區(qū)間a, b上有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù). 0d,dz tt為或者 0.z t第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 容易驗(yàn)證, 復(fù)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)成立下列等式:1212d( )d( )d( )( ),dddz tz tz tz tttt11d( )d( ),ddz tcz tctt121221d( )d( )d( )( )( )( ).dddz tz tz tz tz tz tttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程

19、的解法 2. 復(fù)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 設(shè) K i是任一復(fù)數(shù), 這里 , 是實(shí)數(shù), 而t是實(shí)變量, 我們定義(i)eee (cossin).Kttttt 由上述定義易知ii1cosee,2tttii1sinee,2ttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 復(fù)指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì):(1) ee ;KtKt1212(2) eee;KKtK tK tde(3) e ;dKtKtKtd(4) ee .dnKtnKtnKt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 3. 微分方程的復(fù)值解 定義于區(qū)間a, b上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù) x z(t)稱為方程(4.1)

20、的復(fù)值解復(fù)值解, 倘若在a, b上恒成立.1111d( )d( )d ( )( )( )ddd ( ) ( )( )nnnnnnz tz tz ta tatttta t z tf t第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 定理8 如果方程(4.2)中所有系數(shù)ai(t)(i 1, 2, , n)都是實(shí)值函數(shù), 而 x z(t) (t) i (t)是方程的復(fù)值解, 則z(t)的實(shí)部 (t) 、虛部 (t)和共軛( )z t復(fù)值函數(shù)都是方程(4.2)的解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 定理9 若方程有復(fù)值解 x U(t) iV (t)

21、, 這里ai(t)(i 1, 2, , n)及u(t), v(t)都是實(shí)函數(shù), 那么U(t)和V(t)分別是方程1111ddd( )( )ddd ( )( )i ( )nnnnnnxxxa tatttta t xu tv t1111ddd( )( )( )( )dddnnnnnnxxxa tata t xu tttt1111ddd( )( )( )( )dddnnnnnnxxxa tata t xv tttt的解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法二、常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程 1. 特征方程與特征根 n階常系數(shù)齊次線性微分方程形如1111ddd 0, (

22、4.19)dddnnnnnnxxxL xaaa xttt其中a1, a2, , an為常數(shù). 可以驗(yàn)證(4.19)具有形如 etx的解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 稱方程 111( )0, (4.21)nnnnFaaa為(4.19)的特征方程特征方程, 其根稱為特征根特征根.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 2. 基本解組的確定 根據(jù)常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程的特征根的情形來確定其基本解組. (1) 特征根為單根的情形 設(shè)1, 2, , n為特征方程(4.21)的n個(gè)互異根,則相應(yīng)地, 方程(4.19)有如下n個(gè)線性

23、無關(guān)的解12e , e, , e, (4.22)nttt從而構(gòu)成方程(4.19)的基本解組.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 當(dāng)1, 2, , n均為實(shí)數(shù)時(shí), (4.22)是方程(4.19)的n個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解, 其通解為1212eee,ntttnxccc其中c1, c2, , cn為任意常數(shù). 當(dāng)特征方程有復(fù)根 i 時(shí), 由于特征方程為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程, 其復(fù)根成對(duì)出現(xiàn), 因此 i 也是一特征根, 這對(duì)共軛復(fù)根可對(duì)應(yīng)方程(4.19)的兩個(gè)實(shí)值解e cos, e sin.tttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 這樣得到的實(shí)值

24、解連同實(shí)特征根對(duì)應(yīng)的實(shí)值解共同構(gòu)成方程(4.19)的基本解組, 由此可給出方程(4.19)的通解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 (2) 特征根有重根的情形 設(shè)為特征方程(4.21)的k重根, 則方程(4.19)有如下k個(gè)線性無關(guān)的解21e , e , e , e . (4.25)tttktttt 設(shè)1, 2, , m為特征方程(4.21)的根, 其重?cái)?shù)分別為k1, k2, , km, k1 k2 km n, 則方程(4.19)n個(gè)線性無關(guān)解111111212e , e , e , e , (4.26)e, e, e, e.mmmmmtttkttttkttt

25、tttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 若1, 2, , m均為實(shí)數(shù), 則(4.26)就是(4.19)的基本解組. 若 i 為k重復(fù)特征根, 則 i 也是k重復(fù)特征根, 這對(duì)共軛復(fù)重根可對(duì)應(yīng)方程(4.19)的2k個(gè)線性無關(guān)解2121e cos, e cos, e cos, e cos,e sin, e sin, e sin, e sin,tttkttttktt tt ttttt tt tttt這樣得到的對(duì)應(yīng)于復(fù)根的實(shí)值解與實(shí)根對(duì)應(yīng)的解共同構(gòu)成(4.19)的基本解組.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例1 求方程44d0dxx

26、t的通解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例2 求解方程33d0.dxxt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例3 求方程3232ddd330dddxxxxttt的通解.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例4 求解方程4242dd20.ddxxxtt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 3. 歐拉方程 形如的方程稱為歐拉方程歐拉方程. 這里a1, a2, , an為常數(shù).11111ddd0 (4.29)dddnnnnnnnnyyyxa xaxa yxxx第四章高階

27、微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 做變量變換則直接計(jì)算可得e , ln ,txtxdddde,ddddtyytyxtxt22222ddddedddddd e,ddttyytxttxyytt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法一般地,1111dddde,ddddkkkktkkkkyyyyxttt其中1, 2, , k1都是常數(shù), 于是1111dddd,ddddkkkkkkkkyyyyxxttt因此, 將其代入方程(4.29)可得1111ddd0, (4.30)dddnnnnnnyyybbb yttt其中b1, b2, , bn是常數(shù).第四章高

28、階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 這樣, 就將歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)齊次線性微分方程, 對(duì)其求解之后再代回原變量即得歐拉方程的通解. 另外, 由上述討論易知, 歐拉方程具有形如 y x的解, 因此, 也可直接求該形式的解. 將其代入方程(4.29)易得代數(shù)方程 1(1)(1)(1)(2) 0, (4.31)nnana 可以證明(4.31)正是(4.30)的特征方程, 由此可以根據(jù)特征根給出歐拉方程的基本解組.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 m重實(shí)根0對(duì)應(yīng)m個(gè)實(shí)值解,000021, ln|, ln |, , ln|.mxxxxxxx 而

29、m重復(fù)根 i 對(duì)應(yīng)2m個(gè)實(shí)值解,1cosln| , ln|cosln| , , ln|cosln| ,mxxxxxxxx1sinln| , ln|sinln| , , ln|sinln| .mxxxxxxxx第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例5 求解方程222dd0.ddyyxxyxx第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例6 求解方程222dd350.ddyyxxyxx第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法三、非齊次線性微分方程比較系數(shù)法 與拉普拉斯變換法 本段討論常系數(shù)非齊次線性微分方程1111d

30、dd ( ),(4.32)dddnnnnnnxxxL xaaa xf tttt其中a1, a2, , an為常數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 1. 比較系數(shù)法 類型I 設(shè)1011( )e ,mmtmmf tb tbtbtb其中及b0, b1, , bm為實(shí)常數(shù), 則方程(4.32)有形如1011( )e (4.33)kmmtmmx ttB tBtBtB的特解, 其中k為特征根的重?cái)?shù)(單根相當(dāng)于k 1;當(dāng)不是特征根時(shí)取k 0), 而B0, B1, , Bm為待定的常數(shù), 可以通過比較系數(shù)確定.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解

31、法 例7 求方程的通解.22dd2331ddxxxttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例8 求方程的通解.22dd23eddtxxxtt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例9 求方程的通解.3232ddd33e (5)dddtxxxxtttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 類型II 設(shè)( )( )cos( )sine ,tf tA ttB tt其中, 為常數(shù), 而A(t), B(t)為t的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,一個(gè)次數(shù)為m, 另一個(gè)的次數(shù)不超過m, 則方程(4.32)有形如( )( )cos(

32、)sine (4.38)ktx ttP ttQ tt的特解, 其中k為特征根 i 的重?cái)?shù), 而P(t), Q(t)均為待定的t的次數(shù)不超過m的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式, 可以通過比較系數(shù)確定.第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 注 當(dāng)( )( )cosetf tA tt時(shí), 可用所謂的復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法求解.或( )( )sinetf tB tt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例10 求方程的通解.22dd44cos2ddxxxttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法22i2dd44eddtxxxtt2ietxA

33、i8A 第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 2. 拉普拉斯變換法 由積分0( ) ( )e( )dstF sf tf ttL定義的復(fù)平面(Re s )上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)稱為函數(shù) f (t)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換, 其中f (t)對(duì)t 0有定義,且滿足不等式|( )|,tf tMe這里M, 為兩個(gè)正常數(shù). 我們稱 f (t)為原函數(shù)原函數(shù), 而F(s)稱為像函數(shù)像函數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 由像函數(shù)求原函數(shù)稱為拉普拉斯反演拉普拉斯反演.可由如下積分表示i1i1( ) ( )e( )d .2 icstcf t

34、F sF ss L在已知像函數(shù)的情況下, 一般采用查表的方法求原函數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 給定微分方程及初始條件1111ddd( ) (4.32)dddnnnnnnxxxaaa xf tttt(1)(1)000(0), (0), , (0),nnxxxxxx其中a1, a2, , an是常數(shù), 而 f (t)連續(xù)且滿足原函數(shù)的條件. 由于常系數(shù)微分方程的任何解及其各階導(dǎo)數(shù)都滿足原函數(shù)的條件, 設(shè)x(t)為(4.32)的解, 記第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法0( ) ( )e( )d ,stF sf tf ttL

35、由拉普拉斯變換的定義易知0( ) ( )e( )d .stX sx tx ttL0 ( )( ),x tsX sxL( )12(1)000 ( )( ),nnnnnxts X ssxsxx L第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法對(duì)方程(4.32)兩端實(shí)施拉普拉斯變換可得12(1)000123(2)100010( )( )( )( )( ),nnnnnnnnnns X ssxsxxa sX ssxsxxasX sxa X sF s1111211023(1)1200( )( )( ),nnnnnnnnnnnX ssa sX sasaF ssa saxsa saxx第四

36、章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法這就是滿足初值條件的解x(t)的像函數(shù), 然后直接查拉普拉斯變換表或者有反變換公式計(jì)算得到方程(4.32)的滿足初值條件的解.( ) ( )( )( ),X s A sF sB s( )( )( ),( )F sB sX sA s第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例12 求方程2dedtxxt滿足初值條件x(0) 0的解.11( )21X sss第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例13 求解方程22dd2e , (1)(1)0.ddtxxxxxtt311( )e1X

37、 ss2(1)2dd2e, (0)(0)0.ddxxxxxtt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例14 求方程3232ddd331dddxxxxttt滿足初值條件22d(0)d (0)(0)0ddxxxtt的解.32311111( )1111X ssss sss第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 例15 求解方程22002dd (0)sin, (0), ddxxa xbat xxxtt其中a, b為非零常數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法0022222222200222222222220022

38、222222221( )1122absX sxxsasasabsasxxa sasasasaxbasasaaxasasaa sasa第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法四、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng) 1. 無阻尼自由振動(dòng) 數(shù)學(xué)擺的無阻尼微小自由振動(dòng)方程為22d0, (1.9)dgtl若記2,gl其中 0為常數(shù), 則(1.9)變?yōu)?22d0, (4.39)dt 第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法其通解為12cossin, (1.9)ctct其中c1, c2為常數(shù). 若令22121222221212sin,cos,ccAcccccc則有sin, (4.4

39、1)At第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 從(4.41)可以看出, 不論擺的初始狀態(tài)如何,擺的運(yùn)動(dòng)總是一個(gè)正弦函數(shù), 它是t的周期函數(shù).這種運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng). 振動(dòng)往返一次所需的時(shí)2;T注 數(shù)學(xué)擺的周期只依賴于擺長l, 而與初值無關(guān). 振幅與初相位1;2T間稱為周期周期, 記為T, 這里動(dòng)的次數(shù)稱為頻率頻率, 記作, 這里單位時(shí)間內(nèi)振 稱為圓頻率圓頻率.而第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 2. 有阻尼自由振動(dòng) 數(shù)學(xué)擺的有阻尼的自由振動(dòng)方程為22dd0, (1.10)ddgtmtl記22 , ,gnml其中n, 為正常數(shù)

40、, 則(1.10)變?yōu)?22dd20, (4.43)ddntt 第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法其特征方程為2220, (4.44)n (1) 小阻尼的情形: n , 通解為或1esin, (4.45)ntAt1121ecossin.ntctct特征根為221,2.nn 這里A, 為任意常數(shù).第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 (2) 大阻尼的情形: n , 通解為其中c1, c2為常數(shù).1212ee, (4.46)ttcc221,2.nn 第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 (3) 臨界阻尼的情

41、形: n , 通解為其中c1, c2為常數(shù).12e, (4.47)ntcc t221,2.nn 第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 3. 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 數(shù)學(xué)擺的微小強(qiáng)迫振動(dòng)方程為22dd1( ). (1.11)ddgF ttmtlml無阻尼振動(dòng)對(duì)應(yīng) 0. 若記2( ), sin,gF tHptlml222dsin. (4.41)dHptt H為已知常數(shù), p為外力圓頻率, 則(1.11)變?yōu)榈谒恼赂唠A微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法可以求得(4.48)的通解為22sin()sin. (4.50)HAtptp如果p , 則(4.48)有通

42、解(4.51)表示, 隨著時(shí)間的增大, 擺的偏離將無限增加,這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象.sin()cos. (4.51)2HAttt第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法 4. 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 此時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程為222dd2sin. (4.52)ddnHpttt 在小阻尼情形下, 即n , 方程(4.52)的通解為122222esin sin. (4.55)4ntAtHptpn p第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法當(dāng)222pn時(shí)有最大振幅max22.2HHnn這時(shí)的圓頻率稱為共振頻率共振頻率, 所產(chǎn)生的現(xiàn)象也叫共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象.第四

43、章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法作業(yè)P1642(1, 4, 6, 10, 12, 13, 16, 18, 19), 3(2), 4(1)第四章高階微分方程4.2 常系數(shù)線性方程的解法常系數(shù)線性方程的解法作業(yè)P1667第四章高階微分方程4.3 高階微分方程的降階 與冪級(jí)數(shù)解法一、可降階的一些方程類型二、二階線性微分方程的 冪級(jí)數(shù)解法三、第二宇宙速度第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法一、可降階的一些方程類型 n階微分方程一般可寫為( ), ,0.nF t x xx第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 若令 x(k) y,

44、則可得如下 n k 階方程(), ,0. (4.58)n kF t y yy 1. 方程(不含未知函數(shù)或直到某階導(dǎo)數(shù))( )(1)( ),0(1). (4.57)kknF t xxxkn 若(4.58)的通解為12,n kyt c cc即( )12,kn kxt c cc第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法經(jīng)過 k 次積分之后可得(4.57)的通解其中c1, c2, , cn為任意常數(shù).12,nxt c cc 例1 求方程的解.5454d1d0ddxxttt第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 若令 x y, 以它為新未知函數(shù), 而視x為新自變量,

45、則方程就可降低一階.xy 2. 方程(不顯含自變量)( ),0. (4.59)nF x xxddddddyyyxxytxx2222ddddddddddddyyyyyxyyytxtxxx 第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 例2 求解方程 20.xxx2d0dyxyyxd0, 0dyyxyxcyxddxctx212xctc第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 例3 求數(shù)學(xué)擺的運(yùn)動(dòng)方程22dsin (1.8)dgtl 的滿足初值條件: 當(dāng)t 0時(shí), 0 0,d0dt的解.dd, sinddpgpptl 21101cos, cos2gpccl 第四章高階

46、微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法0d2coscosdgtl 第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 可以證明: 已知(4.2)的k個(gè)線性無關(guān)解, 則可通過一系列同類型的變換, 將方程(4.2)降低k階. 設(shè) x1, x2, , xk為(4.2)的k個(gè)線性無關(guān)解, 則 3. 齊次線性微分方程111dd( )( )0. (4.2)ddnnnnnxxa ta t xtt第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 令 x xk y, 則,kkxx yx y2, kkkxx yx yx y ( )( )(1)( ),nnnnkkkxx ynx yxy將

47、這些關(guān)系式代入(4.2)并注意到xk 是(4.2)的解, 同時(shí)令 z y, 則有(1)(2)11( )( )0, (4.67)nnnzb t zbt z這樣就得到一個(gè)比(4.2)低一階的微分方程.第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法kxzyxdkxxz t第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 方程(4.2)與(4.67)的解之間的關(guān)系:(1, 2,1)iikxzikx 重復(fù)上述過程可得比(4.67)低一階的齊次線性方程, 其與(4.67)的關(guān)系與(4.2)與(4.67)的關(guān)系相同.那么, 通過這樣一系列的變換可得一比(4.2)低k階的齊次線性方程,

48、通過對(duì)新的方程的求解, 并利用相應(yīng)的變換就可得到(4.2)的解. (1)是(4.67)的解; (2) z1, z2, , zn1線性無關(guān).第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法若令 x x1 0是其解, 則通過變換 對(duì)于二階齊次線性方程22dd( )( )0, (4.69)ddxxp tq t xtt1dxxy t方程(4.69)化為111d2( )0,dyxxp t xyt此為一階線性微分方程, 其解為( )d211e,p ttycx第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法從而可得(4.69)的通解為其中c, c1為任意常數(shù).( )d11211ed, (

49、4.70)p ttxxcctx第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 例4 已知的解, 試求方程的通解.sintxt20 xxxt是方程21221sin1dsin1 sincosttxccttt tctctt第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法二、二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 1. 兩個(gè)例子0yxy 例5 求方程的通解. 解題思路 先設(shè)某級(jí)數(shù)為方程的解, 代入方程之后可以確定級(jí)數(shù)的系數(shù)(確定系數(shù)的方法是比較系數(shù)), 若確定的級(jí)數(shù)收斂, 則得到方程的解.第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法2012nnyaa xa xa x2222

50、13 2(1)nnyaa xnna x 230415232 103 204 305 40(1)0nnaaaaaaannaa第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法03131323(31)6 5 3 2(31) (3 )7 6 4 30kkkaakkaakka 第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法36304731113 26 53(31)3 2 4 37 6(31) (3 )4 3nnxxxyannxxxaxnn 第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法240yxyy 例6 求方程的滿足初值條件 y(0) 0與 y(0) 0的解.第四章高

51、階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法2012nnyaa xa xa x2222 13 2(1)nnyaa xnna x 010, 1aa1122nnyaa xna x 2031425322 12 203 22 304 32 405 42 50(1)20nnaaaaaaaannana 第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法234201021nnaaaaan2121, 0,!kkaak第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法252134222! 12! ennxxxyxxnxxxxnx第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 2

52、. 二階齊次線性方程有級(jí)數(shù)解的條件 考慮二階齊次線性微分方程滿足初值條件 y(x0) y0與 y(x0) y0的情形. 不妨假設(shè) x0 0.22dd( )( )0 (4.72)ddyyp xq x yxx第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 定理10 若方程(4.72)中的系數(shù) p(x), q(x)都能展成 x的冪級(jí)數(shù), 且收斂區(qū)間為|x| R, 則方程(4.72)有形如的特解, 且也以|x| R為收斂區(qū)間.0 (4.73)nnnya x第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 定理11 若方程(4.72)中的系數(shù) p(x), q(x)具有性質(zhì): x p(x)和x2q(x)均能展成 x的冪級(jí)數(shù), 且收斂區(qū)間為|x| R, 則方程(4.72)有形如即0,nnnyxa x000 (4.75)nnnya xa的特解, 是一個(gè)待定的常數(shù). 級(jí)數(shù)(4.75)也以|x| R為收斂區(qū)間.第四章高階微分方程4.3 降階與冪級(jí)數(shù)解法降階與冪級(jí)數(shù)解法 方程滿足定理11的條件, 因此具有(4.75)形式的特解.方程(4.74)稱為n階貝塞爾方程貝塞爾方程. 對(duì)于22222dd0 (4.74)ddyyxxxnyxx012(1)nan且 n時(shí)(4.74)的解Jn(x)稱為n階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù), 而 n且n不為非負(fù)整數(shù)時(shí)(4.74)的解Jn(x)稱為 n