九年級數(shù)學上冊 第一章 特殊平行四邊形 1 菱形的性質(zhì)與判定菱形知識講解及例題演練含解析新版北師大版

1、菱形【學習目標】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理【要點梳理】要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件. 要點二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部

2、分. （2）菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題. 要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、如圖所示，菱形a

3、bcd中，e、f分別是bc、cd上的點，beaf60°，bae18°求cef的度數(shù)【思路點撥】由已知b60°，bae18°，則aec78°欲求cef的度數(shù)，只要求出aef的度數(shù)即可，由eaf60°，結(jié)合已知條件易證aef為等邊三角形，從而aef60°【答案與解析】 解：連接ac 四邊形abcd是菱形， abbc，acbacf 又 b60°， abc是等邊三角形 bacacb60°，abac acfb60° 又 eafbac60° baecaf abeacf aeaf aef為等邊三角形

4、 aef60° 又 aefcefbbae，bae18°， cef18°【總結(jié)升華】當菱形有一個內(nèi)角為60°時，連接菱形較短的對角線得到兩個等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù)在求角的度數(shù)時，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系2、如圖，在周長為12的菱形abcd中，ae=1，af=2，若p為對角線bd上一動點，則ep+fp的最小值為（）a1b2c3d4【思路點撥】作f點關(guān)于bd的對稱點f，則pf=pf，由兩點之間線段最短可知當e、p、f在一條直線上時，ep+fp有最小值，然后求得ef的長度即可【答案】c【解析】解：作f點關(guān)于bd的對稱點f，則pf=pf，連接e

5、f交bd于點pep+fp=ep+fp由兩點之間線段最短可知：當e、p、f在一條直線上時，ep+fp的值最小，此時ep+fp=ep+fp=ef四邊形abcd為菱形，周長為12，ab=bc=cd=da=3，abcd，af=2，ae=1，df=ae=1，四邊形aefd是平行四邊形，ef=ad=3ep+fp的最小值為3故選：c【總結(jié)升華】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對稱路徑最短問題，明確當e、p、f在一條直線上時ep+fp有最小值是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015春濰坊期中）如圖，在菱形abcd中，對角線ac、bd相交于點o，e是ab的中點，如果eo=2，求四邊形abcd的周長【答案】解：四邊

6、形abcd為菱形，bo=do，即o為bd的中點，又e是ab的中點，eo是abd的中位線，ad=2eo=2×2=4，菱形abcd的周長=4ad=4×4=16 類型二、菱形的判定3、如圖，在等邊三角形abc中，bc=6cm，射線agbc，點e從點a出發(fā)沿射線ag以lcm/s的速度運動，同時點f從點b出發(fā)沿線射bc以2cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為t（s）（1）連接ef，當ef經(jīng)過ac邊的中點d時，求證：adecdf；（2）當t為多少時，四邊形acfe是菱形【思路點撥】（1）由題意得到ad=cd，再由ag與bc平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，利用aas即可得證；（

7、2）若四邊形acfe是菱形，則有cf=ac=ae=6，由e的速度求出e運動的時間即可【答案與解析】（1）證明：agbc，ead=dcf，aed=dfc，d為ac的中點，ad=cd，在ade和cdf中，adecdf（aas）；（2）解：若四邊形acfe是菱形，則有cf=ac=ae=6，則此時的時間t=6÷1=6（s）故答案為：6s【總結(jié)升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在abc中，abaca，m為底邊bc上任意一點，過點m分別作ab、ac的平行線交ac于p，交ab于q.求四邊形aqmp的周長；m位于bc的什么位置時

8、，四邊形aqmp為菱形？說明你的理由.【答案】解：（1）mqap，mpaq，四邊形aqmp是平行四邊形 qmap又abac，mpaq，2c，pmc是等腰三角形，pmpcqmpmappcaca 四邊形aqmp的周長為2a（2）m位于bc的中點時，四邊形aqmp為菱形.m位于bc的中點時,易證qbm與pcm全等,qmpm, 四邊形aqmp為菱形類型三、菱形的綜合應(yīng)用4、如圖所示，菱形abcd中，ab4，abc60°，eaf60°，eaf的兩邊分別交bc、cd于e、f (1)當點e、f分別在邊bc、cd上時，求cecf的值(2)當點e、f分別在cb、dc的延長線時，ce、cf又存

9、在怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論【思路點撥】(1)由菱形的性質(zhì)可知abbc，而abc60°，即聯(lián)想到abc為等邊三角形，bac60°，又eaf60°，所以baecaf，可證baecaf，得到becf，所以ce+cfbc(2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化【答案與解析】 解：(1)連接ac 在菱形abcd中，bcab4，abcd abc60°， abacbc，bacacb60° acf60°，即acfb eaf60°，bac60°， baecaf abeacf(asa)， becf cecfcebebc4(2)cecf4連接ac如圖所示 baceaf60°， eabfac abcacd60°， abeacf120° abac， abeacf(asa)， becf cecfcebebc4【總結(jié)升華】(1)菱形的性質(zhì)的主要應(yīng)用是證明角相等、線段相等、兩直線平行、兩線段互相垂直、互相平分等(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它讓菱形這個特殊的平行四邊形變得更加特殊，常與等邊三角形發(fā)生聯(lián)系6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3