線性代數(shù)行列式習題課PPT課件

1、第1頁/共56頁 1212111212122212n121nnntnpppp ppnnnnaaaaaaDa aaaaa 3. n階行列式的定義., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù)為這為這的一個排列的一個排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn 第2頁/共56頁.,)1(21212121的逆序數(shù)的逆序數(shù)為行標排列為行標排列其中其中亦可定義為亦可定義為階行列式階行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn 第3頁/共56頁4. n階行列式的性質(zhì)(1);(2);(3);(4):;(5);(6)Tijiijijiji

2、jijDDrrrkrrkabcrkr第4頁/共56頁）關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)11,;0,.,;0,.1,;0,.nkjkiijknjkikijkijD ijDijD ijDijijija Aa A 或或其其中中1 ) 余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式第5頁/共56頁6. 克拉默法則(注意前提與結論）., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項換成常數(shù)項列列中第中第）是把系數(shù)行列式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性

3、方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 第6頁/共56頁由此可得由此可得（對方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同的對方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相同的方程組來說）方程組來說）（1）若非齊次線性方程組無解或多解，則其系數(shù)行列式必為零。（2）若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。第7頁/共56頁一、填空題1、當i= ，j= 時，19的排列1i25j4897為奇排列；2、四階行列式中，含有a11a23的項為 ；3、如果行列式D中的零元素的個數(shù)大于n2-n個，則D= ；4、若行列式每行元素之和為零，則D= ；5.已知四階行列式D的第二列元素為-1

4、,2,0,1，它們對應的余子式分別為5,3,-7,4,則D= 。 第8頁/共56頁1112131111121321222321212223313233313132334236.1,423423aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 若若則則1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaaaaaaa 7、n為奇數(shù)時= ；= ；第9頁/共56頁8、已知四階行列式1224222214351427D Mij是元素aij的余子式，則M41-M42+M43+M44= .第10頁/共56頁9. 已知 1211123111211xxxxxf 則x3 的系數(shù)為 。 第11頁/共56頁二

5、、計算行列式（除掌握概念與性質(zhì)外還有技巧） 方法一：三角形法12111111(0)111ninaaDaa 例1第12頁/共56頁112111100naaaaa 11211221110000niiinacciianaaaaa 解：原式=111(1)nniiaaa 第13頁/共56頁另解：原式=1112221111111111111nnnnaaaaaaaaaaa 第14頁/共56頁方法二：拆項法?？蠢?解：原式=112211011111011111111naaaaa 1211nnna aaa D12112212()nnnnna aaa a aaaD第15頁/共56頁方法三：升級法?？蠢?解：原式=

6、11110 11011naa11111010naa 11211111110000niiincciianaaaa 第16頁/共56頁222244441111abcdDabcdabcd 例2 計算22222333334444411111( )abcdxabcdxf xabcdxabcdx 解：構造（這是一個范德蒙行列式）第17頁/共56頁=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)另外f(x)按最后一列展開，可得2341525354555( )f xAA xA xA xA x 上兩式是恒等式，故同次冪系數(shù)相等。而D=-A45，故D=(a+b

7、+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)第18頁/共56頁方法四：降級法。（行列式中某一行（列）只有一、二個非零元素或者某行（列）的余子式都是易求的行列式）1221111100001000001nnnnnnnnxxDxaaaaxaxa xaxa 例3 證明第19頁/共56頁證法一：按最后一行展開1211211 0000001000100( 1)( 1)001001100100000000( 1)( 1) ()0001000nnnnnn nn nxxDaaxxxxxxax ax =右邊第20頁/共56頁證法二：按第一列展開，得Dn=xDn-1+an再根據(jù)上面的遞推公

8、式或數(shù)學歸納法可得結果。第21頁/共56頁1121112210100001000001nncxcxcnnnnnnDxxxa xaaaax a 證證法法三三：按第一列展開即可得結果。第22頁/共56頁證法四：從第一列開始，前一列乘1/x加到后一列上去，化成下三角行列式方法五遞推法方法五遞推法如例1的第二種解法；例3的第二種解法第23頁/共56頁方法六用數(shù)學歸納法方法六用數(shù)學歸納法例例4證明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nnD 第24頁/共56頁證證對階數(shù)n用數(shù)學歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結論成立

9、結論成立時時當當所以所以因為因為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對對的的行行列列式式結結論論成成立立假假設設對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn第25頁/共56頁1cos100012cos100012cos00( 1)0002cos000011cos100012cos100012cos002cos0002cos100012cosn nnD 第26頁/共56頁,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設由歸納假設;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結

10、論成立結論成立所以對一切自然數(shù)所以對一切自然數(shù)n.cos221DDDnnn 第27頁/共56頁練習練習1、計算.333222111222nnnDnnnn 第28頁/共56頁解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第29頁/共56頁上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第30頁/共56頁2、計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第31頁/共56頁解解列都加到第一列，得列都加到第

11、一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 第32頁/共56頁提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 第33頁/共56頁. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(第34頁/共56頁22222222111111

12、3.111111aaaabbbbDccccdddd 1 abcd已知已知第35頁/共56頁解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第36頁/共56頁dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第37頁/共56頁212322 21 22 234.33 32 45 35443 57 43xxxxxxxxDxxxxxxxx 第38頁/共56頁1121100011005.000100011nnnaaaDaaa 第39頁/共56頁證證.0,

13、 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點點設所給三條直線交于一設所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM 0,0,00.ax by cbx cy acx ay ba b c 證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的直直線線相相交交于于一一點點的的充充分分必必要要條條件件是是例例4 4 第40頁/共56頁. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因為

14、三條直線互不相同因為三條直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba第41頁/共56頁. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個個方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果第42頁/共56頁.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點點有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，

15、方方程程故故，與與題題設設矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設設 cbbaccbabacba第43頁/共56頁例例6有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化肥各需多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設甲、乙、丙三種化肥設甲、乙、丙三種化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx第44頁/共56頁,527 D此此方方程程組組的的

16、系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥第45頁/共56頁第一章 測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，共分，共3636分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個根的三個根是方程是方程設設行列式行列式 . 3第46頁/共56頁 1000000001998000199700020001000

17、D 4433221100000000 . 4ababbaba四階行列式四階行列式第47頁/共56頁 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設四階行列式設四階行列式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數(shù)是的系數(shù)是中中在函數(shù)在函數(shù)321112 . 7xxxxxxxf 第48頁/共56頁8. ,a bab若為實數(shù)則當且時010100 abba1 2112 19. .nnn niii ii ii i排列可經(jīng)次對換后變?yōu)榕帕械?9頁/共56頁二、計算下列行列式二、計算下列行列式( (每小題每小題1010分，共分，共2020分分) )0112210321011322211313211 . 15 D第50頁/共56頁xzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齊次方程組齊次方程組取何值取何值問問, 0200321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答題三、解答題(10(10分分)第51頁/共56頁四、證明四、證明( (每小題每小題1212分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa第52頁/共56頁 cos211cos21111cos211cos2 . 2 nD ;si