線(xiàn)性代數(shù)第四章第一節(jié)PPT課件

1、 分量全為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為, 分量為復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為. 在這里我們只討論實(shí)向量.第1頁(yè)/共35頁(yè),21naaa.21Tna,a,an 維列向 量n 維行向 量n 維向量可寫(xiě)成一行, 也可寫(xiě)成一列, 為和, 也就是行矩陣和列矩陣, 并規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算.因此, n 維列向量 與 n 維行向量 T 是兩個(gè)不同的向量.分別稱(chēng)第2頁(yè)/共35頁(yè)在解析幾何中, 我們把“既有大小又有方向的量”叫做向量, 并把可隨意平行移動(dòng)的有向線(xiàn)段作為向量的幾何形象.在引進(jìn)坐標(biāo)系以后, 這種向量就有了坐標(biāo)表示式 三個(gè)有次序的實(shí)數(shù), 就因此, 當(dāng) n 3 時(shí), n 維向量可以把有是 3 維向量.向線(xiàn)段作

2、為幾何形象, 但當(dāng) n 3 時(shí), n 維向量就不再有這種幾何形象, 只是沿用一些術(shù)語(yǔ)罷了.幾何中, “空間”通常是作為點(diǎn)的集合, 即“空間”的元素是點(diǎn), 這樣的空間叫做.第3頁(yè)/共35頁(yè)我們把 3 維向量的全體所組成的集合R3 = r = (x , y , z)T | x , y , z R 叫做.在點(diǎn)空間取定坐標(biāo)以后, 空間中的點(diǎn) P(x , y , z) 與 3 維向量 r = (x , y , z)T 之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 因此, 向量空間可以類(lèi)比為取向量的集合定了坐標(biāo)的點(diǎn)空間. = r = (x , y , z)T | ax + by + cz = d 也叫做.第4頁(yè)/共35頁(yè)類(lèi)似地

3、, n 維向量的全體所組成的集合Rn = x = (x1, x2, , xn)T | x1, x2, , xn R 叫做 . n 維向量的集合 = x = (x1, x2, , xn)T | a1x1+a2x2+ +anxn= b 叫做 .第5頁(yè)/共35頁(yè). 164,512,743,1214321就是一個(gè)由四個(gè) 3 維列向量 1, 2, 3, 4 構(gòu)成的 向量組.例如第6頁(yè)/共35頁(yè) 對(duì)于一個(gè) mn 矩陣 A = (aij) :,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA若令,)21(21,n,jaaamjjjj第7頁(yè)/共35頁(yè)則矩陣 A 有 n 個(gè) m 維列向量 . A = (

4、1, 2, , n ).n 構(gòu)成一個(gè) mn 矩陣 n 個(gè) m 維列向量所組成的向量組 1, 2, , 成一個(gè)矩陣. 例如 反之, 由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)1T, 2T, , mT 稱(chēng)為矩陣 A 的.則矩陣 A 有 m 個(gè) n 維行向量, 它們組成的向量組 iT = ( ai1 , ai2 , , ain ) (i = 1, 2, , m),n 稱(chēng)為矩陣 A 的. 若令向量組 1, 2, , 第8頁(yè)/共35頁(yè) 同理, m 個(gè) n 維行向量所組成的向量組 1T, .TT2T1mB 綜上所述, 2T , , mT 構(gòu)成一個(gè) mn 矩陣第9頁(yè)/共35頁(yè)前兩章中常把 m 個(gè)方程 n 個(gè)未知量的線(xiàn)

5、性方 x1a1 + x2a2 + + xnan = b,陣 B 的行向量組對(duì)應(yīng). 若把方程組寫(xiě)成向量形式一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量, 則方程組即與增廣矩其增廣矩陣 B = ( A , b ) 一一對(duì)應(yīng). 這種對(duì)應(yīng)看成程組寫(xiě)成矩陣形式 Ax = b, 從而方程組可以與第10頁(yè)/共35頁(yè)則 可 見(jiàn) 方 程 組 與 B 的 列 向 量 組 a1, a2, , an , b 之間也有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 綜上所述, 第11頁(yè)/共35頁(yè) 第12頁(yè)/共35頁(yè)給定向量組 A: a1 , a2 , , am 和向量 b, 如果存有解. x1a1 + x2a2 + + xmam = b向量 b 能由向量組 A 線(xiàn)性表示

6、, 也就是方程組.則稱(chēng)向量 b 是向量組 A 的線(xiàn)性組合,這時(shí)稱(chēng) b = 1a1 + 2a2 + + mam ,在一組數(shù) 1 , 2 , , m , 使由上章定理定理定理定理 5 5線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組 AxAx = = b b 有解的有解的有解的有解的充要條件充要條件充要條件充要條件是是是是 R R( (A A) = ) = R R( (A A , , b b) .) .可得第13頁(yè)/共35頁(yè) 第14頁(yè)/共35頁(yè) 第15頁(yè)/共35頁(yè)把向量組 A 和 B 所構(gòu)成的矩陣分別記作存在數(shù) k1j , k2j , , kmj , 使能由A 組線(xiàn)性表示, 即對(duì)每個(gè)向量 bj (j =

7、 1,2, , s),A = (a1 , a2 , , am ) 和 B = (b1 , b2 , , bs ). ,)(21212211mjjjmmmjjjjkkk,a,a,aakakakbB 組第16頁(yè)/共35頁(yè)從而,)()(2122221112112121msmmssmskkkkkkkkk,a,aa,b,bb這里, 矩陣 Kms = (kij) 稱(chēng)為這一線(xiàn)性表示的.第17頁(yè)/共35頁(yè).)()(2122221112112121snssnnsnbbbbbbbbb,a,aa,c,cc為這一表示的系數(shù)矩陣:的列向量組能由矩陣 A 的列向量組線(xiàn)性表示, B 由此可知, 若 Cmn = Ams Bs

8、n , 則矩陣 C 第18頁(yè)/共35頁(yè)同時(shí), C 的行向量組能由 B 的行向量組線(xiàn)性表示, .TT2T1212222111211TT2T1smsmmssmaaaaaaaaaA 為這一表示的系數(shù)矩陣:第19頁(yè)/共35頁(yè)設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等行變換變成矩陣 B, 則 B 的則 A 的列向量組與 B 的列向量組等價(jià).類(lèi)似地, 若矩陣 A 經(jīng)初等列變換變成矩陣 B, 于是 A 的行向量組與 B 的行向量組等價(jià).而 A 的行向量組也能由 B 的行向量組線(xiàn)性表示.等變換可逆,知矩陣 B 亦可經(jīng)初等變換變?yōu)?A, 從的行向量組能由 A 的行向量組線(xiàn)性表示. 由于初每個(gè)行向量都是 A 的行向量組的線(xiàn)性組合, 即

9、B第20頁(yè)/共35頁(yè)向量組的線(xiàn)性組合、線(xiàn)性表示及等價(jià)等概兩個(gè)方程組等價(jià), 等價(jià)的線(xiàn)性方程組一定同解.若方程組 I 與方程組 II 能相互線(xiàn)性表示, 就稱(chēng)這性表示, 這時(shí)方程組 I 的解一定是方程組 II 的解;組 I 的線(xiàn)性組合, 就稱(chēng)方程組 II 能由方程組 I 線(xiàn)一個(gè)線(xiàn)性組合; 程作線(xiàn)性運(yùn)算所得的一個(gè)方程就稱(chēng)為方程組 I 的念,也可移用于線(xiàn)性方程組:對(duì)方程組 I 的各個(gè)方若方程組 II 的每個(gè)方程都是方程第21頁(yè)/共35頁(yè)按定義定義定義定義 3 3設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組 A A: : a a1 1, , a a2 2, , 販販, , a am m及及及及

10、則稱(chēng)這兩個(gè)向量組則稱(chēng)這兩個(gè)向量組則稱(chēng)這兩個(gè)向量組則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)等價(jià)等價(jià)等價(jià). .性表示性表示性表示性表示. . 若向量組若向量組若向量組若向量組 A A 與向量組與向量組與向量組與向量組 B B 能相互線(xiàn)性表示能相互線(xiàn)性表示能相互線(xiàn)性表示能相互線(xiàn)性表示, ,組組組組 A A 線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示, , 則稱(chēng)則稱(chēng)則稱(chēng)則稱(chēng)向量組向量組向量組向量組 B B 能由向量組能由向量組能由向量組能由向量組 A A 線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)B B: : b b1 1, , b b2 2, , 販販, , b bs s, , 若若若若 B B 組中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能

11、由向量組中的每個(gè)向量都能由向量向量組 B：b1 , b2 , , bl 能由向量組 A：a1 , a2 , , am 線(xiàn)性表示，其涵義是存在矩陣 Km l ，使 (b1 , , bl ) = (a1 , , am )K，也就是矩陣方程(a1 , a2 , , am )X = (b1 , b2 , , bl )有解.由上章定理定理定理定理 6 6矩陣方程矩陣方程矩陣方程矩陣方程 AXAX = = B B 有解的有解的有解的有解的充要條件是充要條件是充要條件是充要條件是R R( (A A) = ) = R R( (A A , , B B) .) .可得第22頁(yè)/共35頁(yè) 第23頁(yè)/共35頁(yè) 設(shè),1

12、301,0411,3121,2211321b證明向量 b 能由向量組 1 , 2 , 3 線(xiàn)性表示，并求出表示式.第24頁(yè)/共35頁(yè) 設(shè),0213,2011,1102,3113,111132121bbbaa證明向量組 a1 , a2 與向量組 b1 , b2 , b3 等價(jià).第25頁(yè)/共35頁(yè) 第26頁(yè)/共35頁(yè) 第27頁(yè)/共35頁(yè) 第28頁(yè)/共35頁(yè) 第29頁(yè)/共35頁(yè)上述各定理之間的對(duì)應(yīng)，其基礎(chǔ)是向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)，從而有下述對(duì)應(yīng)：第30頁(yè)/共35頁(yè)上述對(duì)應(yīng)的三種敘述都可對(duì)應(yīng)到充要條件：R(A) = R(A , B)，并都有必要條件：R(A) R(B) . 這里，第一種可稱(chēng)為幾何語(yǔ)言，后兩

13、種以及充要條件和必要條件則都是矩陣語(yǔ)言.握用矩陣語(yǔ)言表述幾何問(wèn)題，還要掌握用幾何語(yǔ)言來(lái)解釋矩陣表述的結(jié)論.我們要掌第31頁(yè)/共35頁(yè)上一章中把線(xiàn)性方程組寫(xiě)成矩陣形式，通過(guò)矩陣的運(yùn)算求得它的解，還用矩陣語(yǔ)言給出了線(xiàn)性方程組有解、有唯一解的充要條件；本章中將向量組的問(wèn)題表述成矩陣形式，通過(guò)矩陣的運(yùn)算得出結(jié)果，然后把矩陣形式的結(jié)果 “翻譯”成幾何問(wèn)題的結(jié)論.這種用矩陣來(lái)表述問(wèn)題，并通過(guò)矩陣的運(yùn)算解決問(wèn)題的方法，通常叫做矩陣方法，這正是線(xiàn)性代數(shù)的基本方法.第32頁(yè)/共35頁(yè) 設(shè) n 維向量組 A：a1 , a2 , , am 構(gòu)成n m 矩陣 A = (a1 , a2 , , am )， n 階單位矩陣E = (e1 , e2 , , en ) 的列向量叫做 . 證明： n 維單位坐標(biāo)向量組 e1 , e2 , , en 能由向量組 A 線(xiàn)性表示的充要條件是 R(A) = n