線性代數(shù)——矩陣運(yùn)算PPT課件

1、、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那么矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 第1頁/共36頁說明 只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第2頁/共36頁2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律 ;ABBA1 .ABCABC21、定義,AAA數(shù) 與矩陣 的乘積記作或規(guī)定為數(shù) 與矩陣 的乘積記作或規(guī)定為 矩矩陣陣與與的的差差規(guī)規(guī)定定為為記記為為第3頁/共36頁.11222

2、2111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)） ,nm BA、 ;1AA ;2AAA .3BABA 第4頁/共36頁矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.12123,t tx xx設(shè)變量到變量的線性變換為設(shè)變量到變量的線性變換為 111 112 2221 122 2331 132 2Ix = b t + b tx = b t + b tx = b t + b t ,x x xy y12312變變量量到到變變量量的的線線性性變變換換為為： 11111221332211222233ya xa xa xya xa xa x 第5頁/共36

3、頁,t ty y1212那那么么變變量量到到變變量量的的線線性性變變換換為為：11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()()yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t 111 1112211331111 12122213322221 1122212331121 12222223322()()()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt 即即 111211121321222122233132bbaa

4、aA= B = bbaaabb令 令 11 1112 2113 3111 1212 2213 3221 1122 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 第6頁/共36頁、定義設(shè) 是一個(gè) 矩陣， 是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè) 矩陣 ，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB skkjiksjisjijiijbabababac12211CAB矩陣 是由矩陣 與 按照某種運(yùn)算得到的，這就是下面要給出的矩陣乘法。11 1112 2113 3111 1212 2213 3221 112

5、2 2123 3121 1222 2223 32a ba ba ba ba ba bCa ba ba ba ba ba b 第7頁/共36頁并把此乘積記作.ABC 例222263422142 C22 16 32 816?設(shè) 415003112101A 121113121430B例2第8頁/共36頁故 121113121430415003112101ABC. 解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10第9頁/共36頁注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CAB

6、AACB BABAAB 3（其中 為數(shù)）; 注意矩陣乘積一般不滿足交換律例 設(shè) 1111A 1111B第10頁/共36頁則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故方陣的冪1211AnAAAA A設(shè)設(shè) 是是 階階方方陣陣，定定義義：，()klk lklkl+A A = AA= A注意：，()kkkAB= A B但不一定成立。kkAA Ak11，其其中中 為為正正整整數(shù)數(shù)。第11頁/共36頁例3nAA設(shè)矩陣，求11012A解：11110101120132AA A12110101130143AA A131101011401nnA =利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，101nn11111010101第1

7、2頁/共36頁例4 ,( + ).n=+=A BAABBA BABABBA設(shè)都是 階方陣，且滿足，及證明：222=AABB證明 由已知，有222()ABAABBAB( + ) =+A BAB而已知，所以2+=+AABBABABAABBAB22第13頁/共36頁AB+ BA= O即A用 分別左乘，右乘上式，得用 分別左乘，右乘上式，得A B+ ABA=2ABABA2AB =所以有所以有 AB = BA= O注： 事實(shí)上注： 事實(shí)上 AB+ ABA = OABABAOABABA第14頁/共36頁四、矩陣轉(zhuǎn)置定義112111222212()ijmmnnmnAamnaaaaaaaaa設(shè)是矩陣，稱矩陣設(shè)

8、是矩陣，稱矩陣T.AA為矩陣 的轉(zhuǎn)置，記為為矩陣 的轉(zhuǎn)置，記為第15頁/共36頁轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 第16頁/共36頁證明：由矩陣乘法定義有：()( )ijijA= am sB= bs n 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣，是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣，TT()()ijm nijn mABCcB ADd記，記， T()jiABijc由于的第 行，第 列的元素為由于的第 行，第 列的元素為1sjijkkikcab TTT11(,)(,)isijjsBibbAjaa而而的的第第 行行為為，的的第第 列列為為，1122.ijijijkijksijs

9、db ab ab ab a 11(1,2, ;1,2,)sskijkjkkijikkb aa bcin jm， 第17頁/共36頁設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即那么 稱為對稱陣.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A為對稱陣為對稱陣?yán)缋?6010861612說明對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相 等.稱為反對稱的稱為反對稱的則矩陣則矩陣如果如果AAAT TTTT,() D = CABB A即亦即 第18頁/共36頁例5 設(shè)列矩陣 滿足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明 TTTXXE

10、H2 TTTXXE2 ,2HXXET .是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 第19頁/共36頁五、方陣的行列式定義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 第20頁/共36頁證明：(1) 由行列式性質(zhì)即得（2）多次利用行列式性質(zhì)3，有nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212( )n設(shè)階行列式 32nAnnnnnnnaaaaaaaaa111212122

11、212第21頁/共36頁nnnnnnnnaaaaDbbbbO1111111111AOEB.D A B由第一章例9得nDbbnbn+分別將 中第1列的倍，第2列的倍，.第 列的倍加到列，112111,nDbbb使 中所在位置的元素為 ，112110ijb同法可使其它所在位置的元素化為0第22頁/共36頁最后得到nnnnnnnnn naaccaaccDO1111111111()ni jikk ji jn nkca bcCCAB這里，記，顯然1(, , )jnjDrrjnACEO對做運(yùn)算1 2()nD EOAC有，1()() ().nnnD E CCCAB111.ABA B所以 第23頁/共36頁定

12、義 行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì).EAAAAA 證明 ,ijaA 設(shè)設(shè) ,ijbAA 記記則jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 稱為矩陣 的伴隨矩陣.A第24頁/共36頁六、共軛矩陣定義當(dāng) 為復(fù)矩陣時(shí)，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為 的共軛矩陣. ijaA ijaija ijaA AA故 ijAAA ijA .EA 同理可得1nkikjkA AA a ijA ijA .EA 第25頁/共36頁 ;2AA .3BAAB 運(yùn)算性質(zhì) ;1BABA （設(shè) 為復(fù)矩陣， 為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的）:

13、BA, 第26頁/共36頁七七矩陣的應(yīng)用矩陣的應(yīng)用nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb對于線性方程組11112211211222221122引進(jìn)矩陣記號，令nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxbAxb，1112111212222212第27頁/共36頁方程組可以表示為矩陣形式方程組可以表示為矩陣形式Ax = bjjaA設(shè)表示矩陣 的第 個(gè)向量，即, ,jjjmjaajnaa121 2上述方程組又可以表示為向量形式nnxxxaaab1122第28頁/共36頁nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxa x11111221

14、221122221122yAx的矩陣形式是 ()ijm nnmxyxyaxyAxy其中， 1122,nmx xxy yy變量到變量的線性變換1212第29頁/共36頁,t tx x x變量到的線性變換為12123xb tb txb tb txb tb t111 112 2221 122 2331 132 2x = Bt用矩陣表示為：.bbxtbbxtbbxBxt這里，11121121222231323,x x xy y變量到的線性變換12312第30頁/共36頁ya xa xa xya xa xa x11111221332211222233y = Ax用矩陣表示：.xaaayxaaayxAyx這里，111121312212223231212,()t ty yy = AB t變量到得線性變換為：()().()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt111 1112 2113 31111 1212 2213 322221 1122 2123 31121 1222 2223 322第31頁/共36頁矩陣運(yùn)算 加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣 （對稱矩陣）方陣的行列式 （伴隨矩陣）共軛矩陣第32頁/共36頁（