變分原理與變分法

1、第一章變分原理與變分法1.1關(guān)于變分原理與變分法（物質(zhì)世界存在的基本守恒法則）一、大自然總是以可能最好的方式安排一切，似乎存在著各種安排原理：晝/夜，日/月，陰/陽(yáng)，靜止/運(yùn)動(dòng) 等矛盾/統(tǒng)一的協(xié)調(diào)體；對(duì)靜止事物：平衡體的最小能量原理，對(duì)稱 /相似原理；對(duì)運(yùn)動(dòng)事物：能量守恒，動(dòng)量（矩）守恒，熵增原理等。變分原理是自然界靜止（相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)）事物中的一個(gè)普遍適應(yīng)的數(shù)學(xué)定律, 獲稱最小作用原理。Examples: 光線最短路徑傳播； 光線入射角等于反射角，光線在反射中也是光傳播最短路徑（Heron）； 光線折射遵循時(shí)間最短的途徑（Fermat）；,C|Summary實(shí)際上光的傳播遵循最小能量原理；i在

2、靜力學(xué)中的穩(wěn)定平衡本質(zhì)上是勢(shì)能最小的原理。、變分法是自然界變分原理的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法 （求解約束方程系統(tǒng)極值的數(shù)學(xué)方 法），是計(jì)算泛函駐值的數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)上的泛函定義定義：數(shù)學(xué)空間（集合）上的元素（定義域）與一個(gè)實(shí)數(shù)域間（值域）間 的（映射）關(guān)系特征描述法： J: X D > R | J（RExamples: 矩陣范數(shù)：線性算子（矩陣）空間 => 數(shù)域nnn n 2II AH 1 = max送 aij ； IIA=max送 a ; |制2=（遲遲 |a產(chǎn)J i =1i j =1j W iW 函數(shù)的積分：函數(shù)空間數(shù)域Note:泛函的自變量是集合中的元素（定義域）；值域是實(shí)數(shù)域。Discus

3、si on： 判定下列那些是泛函：(x-x°)f (x)dx= f(x。)f| =max f(x) ；Cf(x,y) ；3x+5y=2；哎ex 試舉另一泛函例子。物理問(wèn)題中的泛函舉例 彈性地基梁的系統(tǒng)勢(shì)能i. 梁的彎曲應(yīng)變能：ii. 彈性地基貯存的能量:iii. 外力位能：iv.系統(tǒng)總的勢(shì)能：泛函的提法：有一種梁的撓度函數(shù)(與載荷無(wú)關(guān))，就會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的系 統(tǒng)勢(shì)能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數(shù)中，找一個(gè) w(x),使 系統(tǒng)勢(shì)能泛函取最小值。最速降線問(wèn)題問(wèn)題：已知空間兩點(diǎn)A和B, A高于B，要求在兩點(diǎn)間連接一條曲線，使 得有重物從A沿此曲線自由下滑時(shí)，從 A到B所需時(shí)

4、間最短(忽略摩擦 力)。作法：B點(diǎn)坐標(biāo)(a, b),i. 通過(guò)A和B作一垂直于水平面的平面，取坐標(biāo)系如圖。 設(shè)曲線為 y = y(x),并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = bii. 建立泛函：設(shè)P(x , y)是曲線上的點(diǎn)，P點(diǎn)的速度由能量守恒定律求得:命ds為曲線弧長(zhǎng)的微分，有:dsv dt-2gy= dt=dSJ2gyi y'2dx、2gy重物從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的總時(shí)間:Xa o= Tyip泛函駐值提法：在Owxwa的區(qū)間內(nèi)找一個(gè)函數(shù)y(x)使其滿足端點(diǎn)幾何條件并使T取最小值 圓周冋題問(wèn)題：在長(zhǎng)度一定的閉曲線中，什么曲線所圍成的面積最大。作法：i.假設(shè)所考慮的曲

5、線用參數(shù)形式表示：x = x(s), y = y(s)s為參數(shù)。取si為曲線上的某一定點(diǎn)，則坐標(biāo)表示xi=x(si), yi=y(si),因曲 線是圭寸閉的，必存在一個(gè) S2點(diǎn)使X2 = x(s2), y2 = y(s2)與點(diǎn)si(xi,yi)重合。ii.該圭寸閉曲線的周長(zhǎng)：L = £ (孑)？+(¥)2的該曲線所圍成的面積：R = I i,dxdyiii.轉(zhuǎn)換R的表達(dá)式由Green公式：s(xy'(s) - yx'(s)dss取P二*, Q =今,則:s24xdy - ydx = 1 | Si2泛函駐值的提法：等周問(wèn)題即是在滿足端點(diǎn)條件 x(si) = x

6、(S2), y(si) = y(S2) 及周長(zhǎng)一定52. (dx)2 -(dy)2二L條件下，尋找一個(gè)曲線函數(shù)x(s)使泛函s,J(s)R取駐值。 Discussion懸索線問(wèn)題：已知空間中 A，B兩點(diǎn)及一條長(zhǎng)度L>AB的懸索，單位長(zhǎng)的 質(zhì)量為m。假設(shè)繩索的長(zhǎng)度是不變的，并忽略繩索的彎曲剛度，把此繩索 的兩端掛在A，B兩點(diǎn)，求在平衡狀態(tài)下繩索的形狀。要求：列出懸索線應(yīng)滿足的泛函式及泛函駐值提法。提示：繩索在平衡狀態(tài)下，其勢(shì)能應(yīng)為最小值。1.2變分法(泛函駐值的計(jì)算方法)關(guān)于計(jì)算固體力學(xué)中的泛函、泛函極值的提法 這里所研究的泛函一般用積分顯式表達(dá)，并不等于所有泛函都能用顯 式積分表達(dá)。 所

7、要研究的泛函都可表示成在一定區(qū)間或一定區(qū)域內(nèi)的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) (或偏導(dǎo)數(shù))的積分形式，即：_ ba. - 1 F(f (x), f'(x), f"(x); x)dx ab二 2 二.F(f (x,y), fx(x,y), fy(x, y); x, y)dxdyc.泛函中的可變化函數(shù)稱為自變函數(shù)，或稱宗量(argumen) , x或y僅 是積分變量，是被積函數(shù)的定義域。(被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)概念的推 廣) 要說(shuō)清楚一個(gè)泛函的極值問(wèn)題，應(yīng)注意：a. 應(yīng)把泛函本身講清楚(即寫出它的形式)；b. 還必須講明白自變函數(shù)的性質(zhì)，如：- 獨(dú)立的自變函數(shù)的個(gè)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)并不獨(dú)立)；- 每個(gè)自變函數(shù)

8、定義的區(qū)間/區(qū)域；- 這些自變函數(shù)應(yīng)滿足的條件(如：邊界條件及其受約束的條件等)。c. 除了個(gè)別特殊情況外，一般情況下增加一個(gè)條件會(huì)使泛函極值及相應(yīng) 的自變函數(shù)變化性質(zhì)發(fā)生變化。如：極小值可能變大；極大值可能變 小;非極值的駐值可能成為極值。若干背景知識(shí) 泛函的駐值問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的微分方程問(wèn)題，變分法的理論計(jì)算就是完成這類工作。本章內(nèi)容沿襲此方法，是要把問(wèn)題的理論基礎(chǔ)講明確。 從近似解的角度出發(fā)，直接求解泛函的駐值，比解微分方程更加方便，也更為實(shí)用。特別計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，帶來(lái)了大規(guī)模數(shù)值計(jì)算的可能性 (有限元的思想基礎(chǔ))。 經(jīng) Euler, Lagrange, Dirichlet, Hil

9、bert, Bernoulli 等數(shù)學(xué)先驅(qū)的卓越工作， 完成了的系統(tǒng)方法。 但把微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為泛函問(wèn)題還很不成熟。在物理、力學(xué)中，即先 猜想一個(gè)泛函的駐值問(wèn)題，再校對(duì)是否與原微分方程問(wèn)題等價(jià)。 泛函駐值的計(jì)算(數(shù)值)先驅(qū)工作中以Ritz, Galerkin,Treft著名。關(guān)于變分法的一個(gè)預(yù)備定理若f(x)在a, b上連續(xù)，若對(duì)任意滿足(a)= (b)=0的連續(xù)函數(shù)X都有：則f(x)在a, b上處處為零。反證法：設(shè)xo為a, b中的點(diǎn)，在xo點(diǎn)f(xo)工0，可取f(x0)>O,v f(x)在區(qū)間上連續(xù)，必存在x0的一個(gè)充分小鄰域上f(x)>0, x 0- ；VX<X0+

10、； 又/ x為任意連續(xù)函數(shù)(滿足邊界條件)，可取x也在該鄰域內(nèi)大于零， 而在該鄰域外恒等于零。所以有矛盾！即f(x)必須為零；同理可證小于零情況。該定理可推廣多元變量的函數(shù)問(wèn)題b定積分 F (x, y, y )dx的駐值(變分)問(wèn)題a目的：通過(guò)簡(jiǎn)單泛函的極值分析，獲得建立變分法的基本概念、計(jì)算步驟(把變分解轉(zhuǎn)化成微分方程)問(wèn)題：在自變量x的區(qū)間a，b 內(nèi)決定一個(gè)函數(shù)y(x)，使它滿足邊界條件：y = : Ix ， y - - lx并使泛函：bV = F(x, y, y)dx 取極值。a計(jì)算V方法1：先用變分觀點(diǎn)解釋GH曲線的增量在GACH附近另取一條曲線GBDH，令該曲線無(wú)限接近GACH，其方

11、程為: y(x)是一個(gè)無(wú)窮小量，稱為自變函數(shù)的變分(若 x不變，即為曲線縱坐標(biāo) 的增量)(注意與函數(shù)微分的區(qū)別，這里函數(shù)的變分仍然是一個(gè)函數(shù)) 相應(yīng)兩條曲線，獲得兩個(gè)泛函值：基本引理：Cy)八y證： -y(x)二 y/x) - y(x)二 C y) = y*x) - y (x)二y推廣：(y另一條認(rèn)識(shí)(、y)二;y的思路：AC :y(xc)二 y(XA)ydxAB :%(Xb)二 y(XA)VaCd :%(Xd)二 y(xj %Br D :M (xd) =y1(XB) yxy, =y y = y 二 y dx ; y = y1dxdx二 y； _ y' ="y因?yàn)镕（x,y,

12、y）是x, y, y 的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（工程上一般如此），故胡及胡很小時(shí)，V也很小，即、壽，胡、0 V ）0取等式兩端的一階無(wú)窮小量，即：b ffFFV =一弓一、；ydx（可以從Tailor展開式去理解）、a訥 訥V稱為泛函V的一階變分，簡(jiǎn)稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的 一階小量部分（把自變函數(shù)的變分 弓作為一階小量）所以，變分的運(yùn)算服從 無(wú)窮小量的運(yùn)算規(guī)則。計(jì)算V方法2：（把求泛函的極值轉(zhuǎn)化成求普通函數(shù)的極值）記：yi（x） = y°（x） ；、y（x） 0 一 ； _； （y°及、y固定）當(dāng)V在yo上取極值，則相應(yīng)于；=0的泛函值.V（；）現(xiàn)在成為普通的函數(shù) 極

13、值條件：V （ ；） |屮=0 （先不管該條件，現(xiàn)僅研究其導(dǎo)數(shù)計(jì)算）上兩式中出現(xiàn)，:y和:y 并不能獨(dú)立變化，可設(shè)法把弓項(xiàng)轉(zhuǎn)換成只與:y有關(guān) 的項(xiàng)。取分步積分：?。?uv = yb <Fby dx u vdx uv |a : ya代入一階變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件，所以:、y=0|xw，、y=0|x=b計(jì)算V -0若方括號(hào)內(nèi)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不為 0,則可任選y使V大于零或小于零，即 使V不能獲得極值，故需方括號(hào)的項(xiàng)為零。即： 上3(F) =0( Euler 方程)-y dx :y此即與泛函駐值等價(jià)的微分方程。或：令V =0由變分基本定理：；V任意連續(xù)函數(shù)，方括號(hào)中函數(shù)連續(xù)。Example最速降線問(wèn)題:St；（注不顯含X）代入Euler方程，并乘以函數(shù)Q可得：由于蘭=0 （F中不顯含x），上式中只要令Q二y ，把上式配成全微分形式: dxd：F .dx（F-打小0這是因?yàn)?d:F:F dy : F dyF 二dx；x:y dx : y dx；:F（,：x =0）（代回原Euler方程，即得全微分）由全微分方程=匸飛八。代入F的具體表達(dá)式:令：y = ctant