高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試概念集錦

1、1、平面幾何基本要求：掌握高中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補充要求：面積和面積方法。梅涅勞斯定理（Menelaus' theorem）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設(shè)X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。塞瓦定理在ABC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

2、托勒密定理:指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。西姆松定理:有三角形ABC，平面上有一點P。P在三角形三邊上的投影（即由P到邊上的垂足）共線（此線稱為西姆松線, Simson line）當(dāng)且僅當(dāng)P在三角形的外接圓上。幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點-費馬點。（1）對于任意三角形ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時E為費馬點。（2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點；如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點，是三角形的費馬點。到三角形

3、三頂點距離的平方和最小的點-重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點-重心。幾何不等式。簡單的等周問題。等周定理，又稱等周不等式，是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關(guān)系。其中的“等周”指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。解釋：不完全凸的封閉曲線的話，能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周長不變一個狹長的圖形可以通過“壓扁”來變得“更圓”，從而使得面積更大而周長不變。了解下述定理：在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長一

4、定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長最小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。幾何中的運動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。復(fù)數(shù)方法:由于復(fù)數(shù)與平面上的點存在著一一對應(yīng)關(guān)系,所以許多平面幾何問題,特別是涉及規(guī)則圖形(如正多邊形、等腰直角三角形、矩形、圓等)的幾何問題,都可以通過建立坐標(biāo)系,利用復(fù)數(shù)方法求解。向量方法平面凸集、凸包及應(yīng)用凸集 實數(shù) R （或復(fù)數(shù) C 上）在向量空間中，集合 S 稱為凸集，如果 S 中任兩點的連線內(nèi)的點都在集合 S 內(nèi)。 對歐氏空間，直觀上，凸集就是凸的。點集Q的凸包（convex hull）是指一個最小凸多邊形，滿足Q中的點

5、或者在多邊形邊上或者在其內(nèi)。右圖中由紅色線段表示的多邊形就是點集Q=p0,p1,.p12的凸包。2、代數(shù)在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。三倍角公式sin3=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。|a|-|b|a±b|a|+|b| (定理)，第二數(shù)學(xué)歸納法。第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如

6、果： （1）當(dāng)n1時，命題成立； （2）假設(shè)當(dāng)nk時命題成立，由此可推得當(dāng)nk+1時，命題也成立。 那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法一樣，也是數(shù)學(xué)歸納法的一種表達(dá)形式，而且可以證明第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法是等價的，之所以采用不同的表達(dá)形式，旨在更便于我們應(yīng)用。遞歸，遞歸，就是在運行的過程中調(diào)用自己。在數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)中，遞歸指由一種（或多種）簡單的基本情況定義的一類對象或方法，并規(guī)定其他所有情況都能被還原為其基本情況。例如，下列為某人祖先的遞歸定義：某人的雙親是他的祖先（基本情況）。某人祖先的雙親同樣是某人的祖先（遞歸步驟）。斐波納契數(shù)列（Fibona

7、cci Sequence），又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21. I 斐波納契數(shù)列是典型的遞歸案例一階、二階遞歸，特征方程法。特征方程，實際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)對象而引入的一些等式，它因數(shù)學(xué)對象不同而不同，包括數(shù)列特征方程，矩陣特征方程，微分方程特征方程，積分方程特征方程等等函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用【柯西不等式】二維形式(a2b2)(c2 + d2)(ac+bd)2 等號成立條件：ad=bc三角形式(a2b2)(c2d2)(a+c)2(b+d)2 等號成立條件：ad=bc 注：“”表示平方根

8、，向量形式|·|，=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)（nN，n2） 等號成立條件：為零向量，或=（R）。一般形式(ai2)(bi2) (ai·bi)2 等號成立條件：a1:b1=a2:b2=an:bn，或ai、bi均為零.排序不等式設(shè)有兩組數(shù) a 1 , a 2 , a n, b 1 , b 2 , b n 滿足 a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n 則有 a 1 b n + a 2 b n1 + a n a 1 b t + a 2 b t + a n b t a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，tn是1，2，n的

9、任意一個排列， 當(dāng)且僅當(dāng) a 1 = a 2 = a n 或 b 1 = b 2 = b n 時成立。 以上排序不等式也可簡記為： 反序和亂序和同序和.例1在ABC中，ha , hb ,hc 為邊長a,b,c上的高，求證：asinA+bsinB+csinC>= ha + hb +hc解：簡單畫下圖形可知:ha=csinB, hb=asinC, hc=bsinA原不等式即證: asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC, a,b,c和sinA,sinB,sinC大小順序相同排序不等式:順序和>=亂

10、序和>=反序和asinA+bsinB+csinC(順序和)>=csinB+asinC+bsinA(亂序和)asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式，即將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來。拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式。初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式。歐拉公式描述了簡單多面體頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律，它只適用于簡單多面體。常用的歐拉公式有復(fù)數(shù)函數(shù)eix=cosx+isinx，三角公式d2=R2-2Rr ， 物理學(xué)公式F=feka等。歐拉公式，特殊的：分式分式里的歐拉公式：

11、ar/(a-b)(a-c)+br/(b-c)(b-a)+cr/(c-a)(c-b) 當(dāng)r=0,1時式子的值為0 當(dāng)r=2時值為1 當(dāng)r=3時值為a+b+c三角公式三角形中的歐拉公式：設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則： d2=R2-2Rr 拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式：V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)棣莫佛定理，把復(fù)數(shù)用三角式（具體參見復(fù)數(shù)）表示：c=r(cosa+isina)或者表示為：r(cos+isina) 的n次方根n次根號下r×cos(a+2k)/n)+isin(a+2k)/n)其中k=0,1,2.n-1單位根，單位根的

12、應(yīng)用。單位根（unit root） 設(shè)n 是正整數(shù)，當(dāng)一個數(shù)的n 次乘方等于1 時，稱此數(shù)為n 次“單位根”。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n 次單位根有n 個。例如，1、1、i、i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的xn=1的n個根可以表示為: x=cos(2k/n)+sin(2k/n)i ，其中:k=0,1,2,.,n-1 ，i是虛數(shù)的單位。圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式。從n個不同元素中不重復(fù)地取出m（1mn）個元素在一個圓周上，叫做這n個不同元素的圓排列。如果一個m-圓排列旋轉(zhuǎn)可以得到另一個m-圓排列，則認(rèn)為這兩個圓排列相同。計算公式：n個不同元素的m-圓排列數(shù)為

13、60;       n!/(n-m)!*m特別地，當(dāng)m=n時，n個不同元素作成的圓排列總數(shù)為      （n-1）！。 一元n次方程（多項式）根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)方程虛根成對定理。簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點及其性質(zhì)。高斯函數(shù)的形式為：其中 a、b 與 c 為實數(shù)常數(shù) ，且a > 0.c2 = 2 的高斯函數(shù)是傅立葉變換的特征函數(shù)。這就意味著高斯函數(shù)的傅立葉變換不

14、僅僅是另一個高斯函數(shù)，而且是進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)的標(biāo)量倍。費馬小定理(Fermat Theory)是數(shù)論中的一個重要定理，其內(nèi)容為： 假如p是質(zhì)數(shù)，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) 1（mod p）。即：假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。歐拉函數(shù):在數(shù)論，對正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是少于或等于n的數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目。此函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，它又稱為Euler's totient function、函數(shù)、歐拉商數(shù)等。 例如(8)=4，因為1,3,5,7均和8互質(zhì)。孫子定理:若某數(shù)x分別被d1、dn除得

15、的余數(shù)為r1、r2、rn，則可表示為下式：x=R1*r1+R2*r2+Rn*rn+R*D其中R1是d2、d3、dn的公倍數(shù)，而且被d1除，余數(shù)為1；（稱為R1相對于d1的數(shù)論倒數(shù)）R1、R2、Rn是d1、d2、dn-1的公倍數(shù)，而且被dn除，余數(shù)為1；D是d1、d2、的最小公倍數(shù)；R是任意整數(shù)（代表倍數(shù)），可根據(jù)實際需要決定；且d1、d2、d3、dn必須互質(zhì)，以保證每個Ri(i=1,2，n)都能求得.（注：因為R1對d1求余為1，所以R1*r1對d1求余為r1，這就是為什么是R1對d1求余為1的目的，其次，R2*r2,R3*r3Rn*rn對d1求余都是0）無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其

16、步驟為： 假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。 從X推出一個更小的解Y。 從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解。同余是數(shù)論中的重要概念。給定一個正整數(shù)m，如果兩個整數(shù)a和b滿足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就稱整數(shù)a與b對模m同余，記作ab(modm)。對模m同余是整數(shù)的一個等價關(guān)系。用歐幾里德算法（輾轉(zhuǎn)相除法）求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)。 先將其中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，如果余數(shù)為0，則其中較小的數(shù)就是所求的最大公約數(shù)，如果余數(shù)不為0，就用較小的數(shù)再去去除以余數(shù)，再看余數(shù)是否為0，這樣一直做下去，直到余數(shù)為0為止，此時除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。例：48,64 64÷48=116

17、 48÷16=3 所以16即為48和64的最大公約數(shù)。3、立體幾何多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。正多面體，歐拉定理。3 體積證法。截面，會作截面、表面展開圖。4、平面解析幾何直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等式表示的區(qū)域。三角形的面積公式。圓錐曲線的切線和法線。圓的冪和根軸。· 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。· 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。· 割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有

18、PA·PB=PC·PD· 定義：圓冪 ·· （稱為P點對圓O的冪）· 符號：圓內(nèi)的點的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。1· 合），則有 ·· 考慮經(jīng)過P點與圓心O的直線，設(shè)PO交O于M、N，R為圓的半徑，則有 ·· 根軸：在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。· 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。·5、其它抽屜原理。桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現(xiàn)象就是我