理論力學(xué)-碰撞理論.PPT

1、塑料塑料 碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。榔頭重一點(diǎn)好還是榔頭重一點(diǎn)好還是輕一點(diǎn)好輕一點(diǎn)好？榔頭把長(zhǎng)一點(diǎn)好還榔頭把長(zhǎng)一點(diǎn)好還是短一點(diǎn)好是短一點(diǎn)好？工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例 碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例不成功的降落不成功的降落阻攔裝置阻攔裝置飛機(jī)起落架有類(lèi)似裝置。 碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極

2、短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生碰撞是一種常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象。當(dāng)物體在極短的時(shí)間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。急劇的改變時(shí)就發(fā)生碰撞。工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例飛行員座椅彈射裝置飛行員座椅彈射裝置工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例汽車(chē)碰撞實(shí)物試驗(yàn)汽車(chē)碰撞實(shí)物試驗(yàn)汽車(chē)碰撞虛擬試驗(yàn)汽車(chē)碰撞虛擬試驗(yàn)研究的問(wèn)題：研究的問(wèn)題： 車(chē)體間的碰撞、人體與車(chē)體的碰撞、人體內(nèi)臟的碰撞車(chē)體間的碰撞、人體與車(chē)體的碰撞、人體內(nèi)臟的碰撞工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例：工程中碰撞實(shí)例：這些都是碰這些都是碰撞現(xiàn)象嗎撞現(xiàn)象嗎例如，兩直徑例如，兩直徑25mm的黃銅球，以的黃銅球，以72mm/s的相對(duì)

3、法向的相對(duì)法向速度碰撞，速度碰撞，碰撞過(guò)程的持續(xù)時(shí)間極短，通常用千分子一秒或萬(wàn)分碰撞過(guò)程的持續(xù)時(shí)間極短，通常用千分子一秒或萬(wàn)分之一秒來(lái)度量。之一秒來(lái)度量。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。例如，用鐵錘打擊鋼板表面。例如，用鐵錘打擊鋼板表面。塑料塑料力傳感器力傳感器接示波器接示波器碰撞時(shí)間只有碰撞時(shí)間只有0.0002秒。秒。錘重錘重4.45N;碰撞前錘的速度碰撞前錘的速度 457.2 mm/s;碰撞的時(shí)間間隔碰撞的時(shí)間間隔 0.00044s;撞擊力峰值撞擊力峰值 1491 N，碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。例如，用鐵錘打擊鋼板表面。例如，用

4、鐵錘打擊鋼板表面。塑料塑料力傳感器力傳感器接示波器接示波器碰撞的時(shí)間間隔碰撞的時(shí)間間隔 0.01s;撞擊力峰值撞擊力峰值 244.8 N，靜載作用的靜載作用的335倍。倍。靜載作用的靜載作用的55倍。倍。 由于碰撞過(guò)程是一個(gè)十分復(fù)雜的物理過(guò)程，要研究碰撞過(guò)程的動(dòng)由于碰撞過(guò)程是一個(gè)十分復(fù)雜的物理過(guò)程，要研究碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，力學(xué)問(wèn)題，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，以獲得較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型。以獲得較簡(jiǎn)單的力學(xué)模型。 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力等）的幾百倍甚至幾

5、千倍，等）的幾百倍甚至幾千倍， 故故平常力在碰撞過(guò)程中可以忽平常力在碰撞過(guò)程中可以忽略不計(jì)。略不計(jì)。CyxA FmaxtFOt1t2 2. 由于碰撞力隨時(shí)間而變化，瞬時(shí)值很難測(cè)定。由于碰撞力隨時(shí)間而變化，瞬時(shí)值很難測(cè)定。21dtttFI21dtttFI 不考慮碰撞力在極小碰撞時(shí)間間隔不考慮碰撞力在極小碰撞時(shí)間間隔t內(nèi)的急劇變化，內(nèi)的急劇變化，平均碰撞力的近似估計(jì)值可表示為平均碰撞力的近似估計(jì)值可表示為tIFa 因此，通常是用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量來(lái)表示碰撞因此，通常是用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量來(lái)表示碰撞的強(qiáng)弱。這個(gè)沖量稱為的強(qiáng)弱。這個(gè)沖量稱為碰撞沖量碰撞沖量。 3. 碰撞時(shí)間非常短促，而速度

6、是有限量，兩者的乘積非碰撞時(shí)間非常短促，而速度是有限量，兩者的乘積非常小，因此在碰撞過(guò)程中，碰撞物體的位移可以忽略不計(jì)。常小，因此在碰撞過(guò)程中，碰撞物體的位移可以忽略不計(jì)。 4. 采用采用準(zhǔn)剛體模型（局部變形的剛體）準(zhǔn)剛體模型（局部變形的剛體）。物體的整個(gè)碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段。物體的整個(gè)碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段。即可以認(rèn)為即可以認(rèn)為碰撞前后物體的位置不變碰撞前后物體的位置不變。 參與碰撞的物體仍考慮為剛體，但在碰撞點(diǎn)的局部范圍參與碰撞的物體仍考慮為剛體，但在碰撞點(diǎn)的局部范圍內(nèi)可以允許變形，這樣就忽略了彈性波在物體內(nèi)部的傳播。內(nèi)可以允許變形，這樣就忽略了彈性波在物體內(nèi)部的傳播。變形階段變形階段 由兩

7、物體開(kāi)始接觸到兩者沿接觸面公法線方向相對(duì)湊近的速由兩物體開(kāi)始接觸到兩者沿接觸面公法線方向相對(duì)湊近的速度降到零為為止。度降到零為為止。 恢復(fù)階段恢復(fù)階段 物體由于彈性而部分或完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，兩物體重新在物體由于彈性而部分或完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，兩物體重新在公法線方向獲得分離速度，直到脫離接觸為止。公法線方向獲得分離速度，直到脫離接觸為止。碰撞過(guò)程的兩個(gè)階段碰撞過(guò)程的兩個(gè)階段變形階段變形階段恢復(fù)階段恢復(fù)階段nn上式表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。即上式表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。即質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程中的動(dòng)量變化，質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程中的動(dòng)量變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受的外碰撞沖量的矢量和等于該質(zhì)點(diǎn)系所受的外

8、碰撞沖量的矢量和。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可以用質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可以用質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量M與質(zhì)心速度的乘積來(lái)計(jì)算，與質(zhì)心速度的乘積來(lái)計(jì)算，所以可以改寫(xiě)為所以可以改寫(xiě)為其中其中vC 和和vC分別是碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心分別是碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心C的速度。上式稱為的速度。上式稱為碰撞時(shí)的質(zhì)碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理心運(yùn)動(dòng)定理。 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有)e(immIvvii)e(iMMIvvCCxzyriMiO 根據(jù)研究碰撞問(wèn)題的基本假設(shè)，在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位根據(jù)研究碰撞問(wèn)題的基本假設(shè)，在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位移均可忽略，因此，可用同一矢移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn)

9、 Mi 在碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的位在碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的位置。置。或者寫(xiě)成或者寫(xiě)成)()()(iOiOiOIMvMvMiimm全部?jī)?nèi)碰撞沖量之矩的總和恒等于零，所以只剩下外碰撞沖量的矩。iiiOvrvMiimm)(Iimivimivi)()()()e(iIMvMvMOiOiOmm質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為碰前：碰前：iiiiiiIrvrvrmmiiiiOvrvMiimm)(碰后：碰后：所以所以對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有上面兩式分別表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)（或?qū)S）的沖量矩定理，即上面兩式分別表示了碰撞時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)（或?qū)S）的沖量矩定理，即在在碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)（或任一軸

10、）的動(dòng)量矩的變化，等于該質(zhì)碰撞過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)（或任一軸）的動(dòng)量矩的變化，等于該質(zhì)點(diǎn)系所受到外碰撞沖量時(shí)對(duì)同一點(diǎn)（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)點(diǎn)系所受到外碰撞沖量時(shí)對(duì)同一點(diǎn)（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）和）。 由于碰撞過(guò)程中伴隨有機(jī)械能損失，因此研究碰撞問(wèn)題一般不用由于碰撞過(guò)程中伴隨有機(jī)械能損失，因此研究碰撞問(wèn)題一般不用動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。)()()()e(ixixixMmMmMIvv)()()()e(iiimmIMvMvMOOO把上式投影到任一軸上，例如把上式投影到任一軸上，例如Ox上，則得上，則得xzyriMiOIimivimivi 若碰撞開(kāi)始時(shí)，兩物體的質(zhì)心均在接觸點(diǎn)的公法

11、線上，這種碰撞稱若碰撞開(kāi)始時(shí)，兩物體的質(zhì)心均在接觸點(diǎn)的公法線上，這種碰撞稱為對(duì)心碰撞，如圖為對(duì)心碰撞，如圖a。兩物體的質(zhì)心不在接觸點(diǎn)的公法線上的碰撞，如圖兩物體的質(zhì)心不在接觸點(diǎn)的公法線上的碰撞，如圖b。對(duì)心碰撞對(duì)心碰撞偏心碰撞偏心碰撞C1C2nn(a)C1C2nn(b)在對(duì)心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖在對(duì)心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖c。在對(duì)心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖在對(duì)心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖d。對(duì)心正碰撞對(duì)心正碰撞對(duì)心斜碰撞對(duì)心斜碰撞C1C2nn(c)C1C2nn(d) 設(shè)質(zhì)量分別為

12、設(shè)質(zhì)量分別為m1和和m2的兩個(gè)光滑球作平動(dòng)，兩球質(zhì)心的速度分別為的兩個(gè)光滑球作平動(dòng)，兩球質(zhì)心的速度分別為v1和和v2，且，且v1v2，在某瞬時(shí)發(fā)生正碰撞。，在某瞬時(shí)發(fā)生正碰撞。 先以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象。考察先以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象。考察整個(gè)碰撞過(guò)程整個(gè)碰撞過(guò)程，因外，因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有22112211vvvvmmmm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得22112211vmvmvmvm碰撞結(jié)束時(shí)，兩球仍作平動(dòng)，其速度分別為碰撞結(jié)束時(shí)，兩球仍作平動(dòng)，其速度分別為v1和和v2。nv1v2nv1v20)()(221121vvummmm沿水平方向投影，得沿水平方向

13、投影，得0)()(221121vmvmumm從而求出從而求出212211mmvmvmu 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。用用u表示表示變形結(jié)束時(shí)變形結(jié)束時(shí)兩球的公共速度。兩球的公共速度。以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象以兩球?yàn)檠芯繉?duì)象nv1v2n因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有, 1111Ivumm1222Ivumm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得, 1111Ivmum1222Ivmum分別取兩球?yàn)檠芯繉?duì)象分別取兩球?yàn)檠芯繉?duì)象 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。v1I1I1v2由沖量定理，有由沖量定理，有x, 2111Iuv

14、mm222Iuv2mm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得,2111Iumvm2222Iumvm 恢復(fù)階段恢復(fù)階段與與變形階段變形階段碰撞沖量碰撞沖量I2和和I1的大小的比值，可以用來(lái)度量的大小的比值，可以用來(lái)度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)，用，用e表示。表示。 現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段恢復(fù)階段恢復(fù)階段。I2I2v1v2利用沖量定理，有利用沖量定理，有x消去消去u，得，得1112vuuvIIe利用式利用式碰撞開(kāi)始時(shí)相對(duì)速度時(shí)相對(duì)速度碰撞結(jié)束 211212vvvvIIe 恢復(fù)階段恢復(fù)階段與與變形階段變形階段碰撞沖量碰撞沖量I2和和I1

15、的大小的比值，可以用來(lái)度量的大小的比值，可以用來(lái)度量碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為碰撞后變形恢復(fù)的程度，稱為恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)，用，用e表示。表示。, 1111Ivmum1222Ivmum,2111Iumvm2222Iumvm即即,22112211vmvmvmvm212211mmvmvmu22vuuv可以證明，對(duì)于一般碰撞，恢復(fù)系數(shù)可以證明，對(duì)于一般碰撞，恢復(fù)系數(shù)向相對(duì)速度碰撞開(kāi)始時(shí)接觸點(diǎn)的法度時(shí)接觸點(diǎn)的法向相對(duì)速碰撞結(jié)束 e碰撞開(kāi)始時(shí)相對(duì)速度時(shí)相對(duì)速度碰撞結(jié)束 211212vvvvIIe兩球正碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為兩球正碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)為nnnnvvvvIIe211212 大量的實(shí)驗(yàn)表明，大量的實(shí)驗(yàn)表

16、明，恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)主要與碰撞物體的材料主要與碰撞物體的材料性質(zhì)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。性質(zhì)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。 恢復(fù)系數(shù)一般都小于恢復(fù)系數(shù)一般都小于1而大于零而大于零（0e1），這時(shí)的碰撞稱為，這時(shí)的碰撞稱為彈彈性碰撞性碰撞。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。 理想情況理想情況e =1時(shí)，碰撞結(jié)束后，物體能完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，這時(shí)，碰撞結(jié)束后，物體能完全恢復(fù)原來(lái)的形狀，這種碰撞稱為種碰撞稱為完全彈性碰撞完全彈性碰撞。 在另一極端情況在另一極端情況 e =0 時(shí)，說(shuō)明碰撞沒(méi)有恢復(fù)階段，即物體的變時(shí)，說(shuō)明碰撞沒(méi)有恢復(fù)階段，即物體的

17、變形不能恢復(fù)，碰撞結(jié)束于變形階段，這種碰撞稱為形不能恢復(fù)，碰撞結(jié)束于變形階段，這種碰撞稱為非彈性碰撞非彈性碰撞或或塑塑性碰撞性碰撞?；謴?fù)系數(shù)測(cè)定恢復(fù)系數(shù)測(cè)定一種最簡(jiǎn)單的測(cè)定恢復(fù)系數(shù)的方法如圖所示。一種最簡(jiǎn)單的測(cè)定恢復(fù)系數(shù)的方法如圖所示。h1h2v1v1nACB,211ghv 212ghv 211212vvvvIIe1112vvIIe12hhe 例題例題8-1 8-1 兩小球的質(zhì)量分別為兩小球的質(zhì)量分別為m1和和m2 ，碰撞開(kāi)始時(shí)兩，碰撞開(kāi)始時(shí)兩質(zhì)心的速度分別為質(zhì)心的速度分別為v1和和v2 ，且沿同一直線，如圖所示。如恢，且沿同一直線，如圖所示。如恢復(fù)系數(shù)為復(fù)系數(shù)為e，試求碰撞后兩球的速度和碰撞

18、過(guò)程中損失的動(dòng)，試求碰撞后兩球的速度和碰撞過(guò)程中損失的動(dòng)能。能。 C1C2 圖示兩球能碰撞的條件是圖示兩球能碰撞的條件是 。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，二者的速度分。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)，二者的速度分別為別為 和和 ，方向如圖所示。，方向如圖所示。21vv1v2v22112211vmvmvmvm由恢復(fù)系數(shù)定義有由恢復(fù)系數(shù)定義有2112vvvve聯(lián)立聯(lián)立（a）和和（b）二式，解得二式，解得)()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevv解：解：（a）（b）C1C21v2v（c）v1v2根據(jù)動(dòng)量守恒，有根據(jù)動(dòng)量守恒，有1.碰撞后兩球的速度碰撞后兩球的速度11vv 可見(jiàn)，當(dāng)可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)

19、，時(shí)， ， 。21vv 22vv ,21212222111vmvmT22221122121vmvmT在碰撞過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為在碰撞過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為)(21)(21222222121121vvmvvmTTT 以以T1和和T2分別表示此兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰分別表示此兩球組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過(guò)程開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有撞過(guò)程開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的動(dòng)能，則有),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevvC1C21v2vv1v2（d）2. 碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失（d）),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvm

20、mmevv考慮到考慮到2112vvvve于是有于是有2212212121)()1 ()(2vvemmmmTTT)(21)(21222222121121vvmvvmTTT 在理想情況下，在理想情況下，e = 1 , T = T2 T1 =0。可見(jiàn)，在完全彈性碰撞時(shí)，。可見(jiàn)，在完全彈性碰撞時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能沒(méi)有損失，即碰撞開(kāi)始時(shí)的動(dòng)能等于碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)能。系統(tǒng)動(dòng)能沒(méi)有損失，即碰撞開(kāi)始時(shí)的動(dòng)能等于碰撞結(jié)束時(shí)的動(dòng)能。221212121)()(2vvmmmmTTT如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開(kāi)始時(shí)處于靜止，即如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開(kāi)始時(shí)處于靜止，即 v2=0， 則動(dòng)能損失則動(dòng)能損失為為21212121)(2vm

21、mmmTTT在塑性碰撞時(shí)，在塑性碰撞時(shí)，e = 0 ，動(dòng)能損失為，動(dòng)能損失為2212212121)()1 ()(2vvemmmmTTT可見(jiàn)，可見(jiàn)，在塑性碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失與兩物體的質(zhì)量比有關(guān)在塑性碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失與兩物體的質(zhì)量比有關(guān)。 注意到注意到 上式可改寫(xiě)為上式可改寫(xiě)為 , 212111vmT 12112122111TmmTmmmTTT2112122121)(vmmmmTTT21212121)(2vmmmmTTT上式可改寫(xiě)為上式可改寫(xiě)為 第二個(gè)物體在塑性碰撞開(kāi)始時(shí)處于靜止，即第二個(gè)物體在塑性碰撞開(kāi)始時(shí)處于靜止，即 v2=0， 則動(dòng)能損失為則動(dòng)能損失為AA 思考題(a)(b) 圖圖(a

22、)、(b)中各球完全相等，摩擦不計(jì)。球中各球完全相等，摩擦不計(jì)。球A以水平速度以水平速度v0向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)發(fā)生完全彈性正碰撞。其他各球速度如何？。向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)發(fā)生完全彈性正碰撞。其他各球速度如何？。BFEDC工程中碰撞實(shí)例工程中碰撞實(shí)例 錘打樁的過(guò)程可以看成兩物體的對(duì)心正碰撞。把樁打入要錘打樁的過(guò)程可以看成兩物體的對(duì)心正碰撞。把樁打入要依靠錘和樁相撞后一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，打樁的效率定義為依靠錘和樁相撞后一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，打樁的效率定義為 例例8-2 打樁機(jī)錘頭的質(zhì)量是打樁機(jī)錘頭的質(zhì)量是 m1 ,被打入的樁的質(zhì)量是被打入的樁的質(zhì)量是 m2 。假。假定恢復(fù)系數(shù)定恢復(fù)系數(shù) e = 0 , 求打樁的效率。求打

23、樁的效率。解：解：010TTT碰撞開(kāi)始時(shí)的動(dòng)能碰撞結(jié)束時(shí)剩余的動(dòng)能設(shè)錘頭在和樁開(kāi)始接觸時(shí)具有的速度是設(shè)錘頭在和樁開(kāi)始接觸時(shí)具有的速度是 v1 ,則初動(dòng)能則初動(dòng)能22110vmT 22121211)(21vvmmmmT本例中本例中 v2 = 0 ，所以，所以2)0(212112122121211vmmmmvmmmmT故打樁的效率等于故打樁的效率等于1201011mmTTT可見(jiàn)，比值可見(jiàn)，比值 m2 / m1 越小，則打樁效率越高。越小，則打樁效率越高。打樁機(jī)錘頭的質(zhì)量是 m1 被打入的樁的質(zhì)量是 m2榔頭敲釘子碰撞時(shí)的動(dòng)能損失碰撞時(shí)的動(dòng)能損失T1可由下式求得可由下式求得 這也是兩物體的對(duì)心正碰撞

24、問(wèn)題。這里，使鍛件變形的有效功這也是兩物體的對(duì)心正碰撞問(wèn)題。這里，使鍛件變形的有效功是碰撞時(shí)損失的動(dòng)能是碰撞時(shí)損失的動(dòng)能 T 。錘鍛的效率定義為錘鍛的效率定義為 例例8-38-3 鍛機(jī)的錘頭質(zhì)量是鍛機(jī)的錘頭質(zhì)量是 m1 ,鍛件連同砧塊的質(zhì)量是鍛件連同砧塊的質(zhì)量是 m2 , 恢復(fù)系恢復(fù)系數(shù)是數(shù)是 e , 求錘鍛的效率。求錘鍛的效率。解：解：0TT碰撞開(kāi)始時(shí)的動(dòng)能碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失設(shè)錘頭在和鍛件開(kāi)始接觸時(shí)具有的速度是設(shè)錘頭在和鍛件開(kāi)始接觸時(shí)具有的速度是 v1 ,則初動(dòng)能則初動(dòng)能22110vmT 22121212)(21vvmmmmeT本例中本例中 v2 = 0 ，所以，所以2)1 ()0(212

25、1121222121212vmmmmevmmmmeT故錘鍛的效率等于故錘鍛的效率等于212212211)1 (mmemmme可見(jiàn)，錘頭相對(duì)于砧塊和錘件來(lái)說(shuō)質(zhì)量越小，則效率越高。可見(jiàn)，錘頭相對(duì)于砧塊和錘件來(lái)說(shuō)質(zhì)量越小，則效率越高。碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失碰撞過(guò)程中的動(dòng)能損失T 可由下式求得可由下式求得例題例題8-4 8-4 如圖所示物塊如圖所示物塊A自高度自高度 h= 4.9 m處自由落處自由落下，與安裝在彈簧上物塊下，與安裝在彈簧上物塊B相碰。已知相碰。已知A的質(zhì)量的質(zhì)量m1=1 kg，B的質(zhì)量的質(zhì)量m2=0.5 kg ，彈簧剛，彈簧剛度度k=10 Nmm1。設(shè)碰撞結(jié)。設(shè)碰撞結(jié)束后，兩物塊一起運(yùn)動(dòng)

26、。求束后，兩物塊一起運(yùn)動(dòng)。求碰撞結(jié)束時(shí)的速度碰撞結(jié)束時(shí)的速度v和彈簧和彈簧的最大壓縮量。的最大壓縮量。 hsmaxsstB 物塊物塊A自高處落下與自高處落下與B塊接觸的時(shí)刻，碰撞開(kāi)始。此后塊接觸的時(shí)刻，碰撞開(kāi)始。此后A的速度減少，的速度減少，B的速度增大。當(dāng)兩者速度相等時(shí)，碰撞結(jié)束。的速度增大。當(dāng)兩者速度相等時(shí)，碰撞結(jié)束。 sm 8 . 9211ghv解：解： 1. 碰撞前階段碰撞前階段ghmvm1211021m1g 然后然后A，B一起壓縮彈簧作減速運(yùn)動(dòng)，一起壓縮彈簧作減速運(yùn)動(dòng)，直到速度等于零時(shí)，彈簧的壓縮量達(dá)最大直到速度等于零時(shí)，彈簧的壓縮量達(dá)最大值。此后物塊將向上運(yùn)動(dòng)，并將持續(xù)地往值。此后

27、物塊將向上運(yùn)動(dòng)，并將持續(xù)地往復(fù)運(yùn)動(dòng)。復(fù)運(yùn)動(dòng)。12111sm 533. 6mmvmv碰撞過(guò)程中，碰撞過(guò)程中，忽略重力和彈簧力忽略重力和彈簧力，沿，沿y方向系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。方向系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。2. 碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程0 sm 8 . 92211vghv，vmmvmvm)(212211已知已知解得解得AhsmaxsstB上式可整理成對(duì)上式可整理成對(duì)smax 的標(biāo)準(zhǔn)二次方程的標(biāo)準(zhǔn)二次方程0)2()(2st21221max212maxgkmmvkmmkgmm注意到注意到 ，解得最大壓縮量，解得最大壓縮量gmks2stmm 49.81maxs另一解為另一解為-78.55 mm ，彈簧為拉伸狀態(tài)，不合題意。，

28、彈簧為拉伸狀態(tài)，不合題意。3. 3. 碰撞后階段碰撞后階段碰撞結(jié)束后，設(shè)最大壓縮量為碰撞結(jié)束后，設(shè)最大壓縮量為smax ，由動(dòng)能定理得，由動(dòng)能定理得)(2)()()(2102max2ststmax21221sskssgmmvmmAhsmaxsstB1 +1) 例題例題8-5 一勻質(zhì)正方形貨物邊長(zhǎng)是一勻質(zhì)正方形貨物邊長(zhǎng)是 b ，質(zhì)量是質(zhì)量是 m，由由傳輸帶沿傾斜角傳輸帶沿傾斜角 =15 的軌道送下，速度是的軌道送下，速度是 v0 (圖圖 a)。當(dāng)當(dāng)?shù)竭_(dá)底端時(shí)棱到達(dá)底端時(shí)棱 D 碰上檔架。假定碰撞是完全塑性的，并碰上檔架。假定碰撞是完全塑性的，并且且 D 處的總碰撞沖量在垂直于棱并通過(guò)貨物質(zhì)心的平

29、面處的總碰撞沖量在垂直于棱并通過(guò)貨物質(zhì)心的平面內(nèi)。求使貨物能繞棱內(nèi)。求使貨物能繞棱 D 翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上所需的最小翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上所需的最小速度速度 v01 。5451 碰撞使貨物內(nèi)各點(diǎn)的速度進(jìn)行突然的重碰撞使貨物內(nèi)各點(diǎn)的速度進(jìn)行突然的重新分布：由碰撞前的平動(dòng)變成碰撞后的定軸轉(zhuǎn)新分布：由碰撞前的平動(dòng)變成碰撞后的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)(因?yàn)槔庖驗(yàn)槔?D 被突然固定被突然固定)。貨物只在棱。貨物只在棱D 處受處受到外碰撞，因而便于對(duì)棱到外碰撞，因而便于對(duì)棱 D 的沖量矩方程來(lái)求的沖量矩方程來(lái)求解。解。解解: 在碰撞開(kāi)始時(shí)，貨物對(duì)棱在碰撞開(kāi)始時(shí)，貨物對(duì)棱 D 的動(dòng)量矩等于的動(dòng)量矩等于 mv0b/2 (以逆鐘

30、向?yàn)檎阅骁娤驗(yàn)檎?。在碰撞結(jié)束時(shí)，貨物。在碰撞結(jié)束時(shí)，貨物繞棱繞棱 D 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于 22232)22(61mbbmmbJD故這時(shí)貨物對(duì)棱故這時(shí)貨物對(duì)棱 D 的動(dòng)量矩等于的動(dòng)量矩等于12132mbJD5451外碰撞沖量外碰撞沖量 ID 對(duì)棱對(duì)棱 D 無(wú)矩，故貨物在碰撞過(guò)程無(wú)矩，故貨物在碰撞過(guò)程中的動(dòng)量矩守恒，即中的動(dòng)量矩守恒，即) 1 (201bmvJD故求得碰撞結(jié)束時(shí)貨物繞棱故求得碰撞結(jié)束時(shí)貨物繞棱D 的角速度的角速度)2(432001hvJmbvD(b)12132mbJD貨物對(duì)棱貨物對(duì)棱 D 的動(dòng)量矩等于的動(dòng)量矩等于5451 要使貨物翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上的條件是：當(dāng)重心要使

31、貨物翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上的條件是：當(dāng)重心 G 上升到最高位置時(shí)上升到最高位置時(shí)(圖圖 c )，貨物還有一點(diǎn)剩余的動(dòng)，貨物還有一點(diǎn)剩余的動(dòng)能，即能，即 T20 或或 20 。)3()60sin1 (2221212122bmgJJDD在在20的臨界情形時(shí)的臨界情形時(shí), v0 趨近于最小速度趨近于最小速度v01 ,代入代入(3)得得)231 (22)43(322102012bmgbvmb由此求得所需的最小速度由此求得所需的最小速度gbv71. 001根據(jù)積分形式的動(dòng)能定理根據(jù)積分形式的動(dòng)能定理 T2T1 W ，有，有G(c) 當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到碰撞作用時(shí)，其角速度將發(fā)生當(dāng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到碰撞作用時(shí)，其

32、角速度將發(fā)生急劇變化，因而在軸承處會(huì)產(chǎn)生及其巨大的壓力，以致急劇變化，因而在軸承處會(huì)產(chǎn)生及其巨大的壓力，以致引起嚴(yán)重破壞。在工程實(shí)際中，有許多必須經(jīng)受碰撞的引起嚴(yán)重破壞。在工程實(shí)際中，有許多必須經(jīng)受碰撞的轉(zhuǎn)動(dòng)件，如離合器，沖擊擺等，為了防止碰撞對(duì)軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)件，如離合器，沖擊擺等，為了防止碰撞對(duì)軸承的危害，應(yīng)該設(shè)法減弱或消除軸承處的碰撞沖量。危害，應(yīng)該設(shè)法減弱或消除軸承處的碰撞沖量。)()()(IvuzzzMmMmM 設(shè)設(shè)1和和2分別是這兩個(gè)瞬時(shí)的角速度，分別是這兩個(gè)瞬時(shí)的角速度，JO是剛體對(duì)于是剛體對(duì)于O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則上式成為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則上式成為)(12IOOOMJJ故角速度的變化為故角

33、速度的變化為OOJM)(12I 設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到外碰撞沖量設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到外碰撞沖量I的作用，如圖所示。的作用，如圖所示。將沖量矩定理投影到通過(guò)點(diǎn)將沖量矩定理投影到通過(guò)點(diǎn)O且垂直于圖且垂直于圖面的的轉(zhuǎn)軸面的的轉(zhuǎn)軸Oz上，有上，有xyHCObhOxxCxCxIIvmumOyyCyCyIIvmum假設(shè)在圖所示位置發(fā)生碰撞，則有假設(shè)在圖所示位置發(fā)生碰撞，則有0CyCyuvxCxCxOxIvumI)(yOyII所以由上式可得軸承處的反作用碰撞沖量所以由上式可得軸承處的反作用碰撞沖量 設(shè)剛體具有對(duì)稱平面，且繞垂直于對(duì)稱面的軸設(shè)剛體具有對(duì)稱平面，且繞垂直于對(duì)稱面的軸Oz轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)受到作用在轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)受到作

34、用在對(duì)稱面內(nèi)的外碰撞沖量對(duì)稱面內(nèi)的外碰撞沖量 I 的作用時(shí)，軸承上一般將出現(xiàn)反作用碰撞沖量的作用時(shí)，軸承上一般將出現(xiàn)反作用碰撞沖量IO。取取oy軸通過(guò)剛體的質(zhì)心軸通過(guò)剛體的質(zhì)心C，應(yīng)用碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理式，有，應(yīng)用碰撞時(shí)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理式，有xyHCObhoyoxxOxIJhImbmbJhO即即滿足上式的點(diǎn)滿足上式的點(diǎn)H稱為剛體對(duì)于軸稱為剛體對(duì)于軸O的撞擊中心。的撞擊中心。 分析上式知，為使分析上式知，為使 IOy=0 ,必須必須 Iy=0 , 即要即要求作用于剛體的碰撞沖量求作用于剛體的碰撞沖量S必須垂直于轉(zhuǎn)軸必須垂直于轉(zhuǎn)軸O與質(zhì)與質(zhì)心心C的連線。的連線。xCxCxOxIvumI)(yOyI

35、IxyHCObhoyox 為使為使 IOx=0 , 則必須則必須 m(uCx-vCx)-Ix=0。在圖。在圖所示情況下，即為所示情況下，即為 mb(2-1)-Ix = 0 。將將 代入可得代入可得OOJM)(12I 于是有結(jié)論：于是有結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承O處不會(huì)受處不會(huì)受到反作用碰撞沖量。到反作用碰撞沖量。這一結(jié)論在實(shí)際中很重要，這一結(jié)論在實(shí)際中很重要，例如在設(shè)計(jì)材料沖擊試驗(yàn)機(jī)例如在設(shè)計(jì)材料沖擊試驗(yàn)機(jī)的擺錘時(shí)，若將撞擊試件的的擺錘時(shí)，若將撞擊試件的刃口設(shè)在擺的撞擊中心上，刃口設(shè)在擺的撞擊中

36、心上，則可避免軸承受到反作用碰則可避免軸承受到反作用碰撞沖量作用。撞沖量作用。 試件試件l 于是有結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，于是有結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于撞擊中心，且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承且垂直于軸承與質(zhì)心的連線時(shí)，軸承O處不會(huì)受處不會(huì)受到反作用碰撞沖量。這一結(jié)論在實(shí)際中很重要。到反作用碰撞沖量。這一結(jié)論在實(shí)際中很重要。高爾夫球桿例題例題 8-6 均質(zhì)桿質(zhì)量為均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為長(zhǎng)為2b，其上端由圓柱鉸鏈，其上端由圓柱鉸鏈固定，如圖所示。桿由水平固定，如圖所示。桿由水平位置無(wú)初速落下，撞上一固位置無(wú)初速落下，撞上一固定物塊。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為定物塊。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為e，求求(1)軸承的碰

37、撞沖量；軸承的碰撞沖量；(2)撞擊中心的位置。撞擊中心的位置。 b2blOCA 桿在鉛直位置與物塊碰撞，設(shè)碰撞開(kāi)始和桿在鉛直位置與物塊碰撞，設(shè)碰撞開(kāi)始和結(jié)束時(shí)，桿的角速度分別為結(jié)束時(shí)，桿的角速度分別為1和和2 。 bmgJO 02121bgJbmgO232112120)(0llvve撞擊點(diǎn)碰撞前后的速度為撞擊點(diǎn)碰撞前后的速度為v和和v，由恢復(fù)系數(shù)，由恢復(fù)系數(shù)求得求得 在碰撞前，桿自水平位置自由落下，應(yīng)用動(dòng)在碰撞前，桿自水平位置自由落下，應(yīng)用動(dòng)能定理：能定理： 解：解：b2blCnnnnvvuue2112A12elIJJOO)(121212)1 (34)(elbmlJIOgbelbmI6)1 (

38、32得得對(duì)對(duì)O點(diǎn)的沖量矩定理為點(diǎn)的沖量矩定理為于是碰撞沖量于是碰撞沖量代入代入1的數(shù)值，得的數(shù)值，得)(12IOOOMJJb2blCAIIbbmOx)(120OyI121)1 ()(mbeIIbmIOxgblbme6)2132()1 (根據(jù)沖量定理，有根據(jù)沖量定理，有則則34bl 由上式可見(jiàn)，當(dāng)由上式可見(jiàn)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，IOx=0 ，此，此時(shí)碰撞于撞擊中心，由上式得時(shí)碰撞于撞擊中心，由上式得02132lbb2blCA 設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面，且平行于此平面作平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)受到設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱面，且平行于此平面作平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)受到外碰撞沖量外碰撞沖量 I 作用時(shí)，該剛體的質(zhì)心速度和角速度都要發(fā)生改變。

39、作用時(shí)，該剛體的質(zhì)心速度和角速度都要發(fā)生改變。xCxCxIvmumyCyCyIvmum)(12ICCCMJJ 設(shè)碰撞開(kāi)始和結(jié)束瞬時(shí)剛體的質(zhì)心速度和角速度分別設(shè)碰撞開(kāi)始和結(jié)束瞬時(shí)剛體的質(zhì)心速度和角速度分別vC、1為為uC、2和，取固定坐標(biāo)面和，取固定坐標(biāo)面Oxy與剛體的質(zhì)量對(duì)稱面重合，根據(jù)沖量定與剛體的質(zhì)量對(duì)稱面重合，根據(jù)沖量定理和相對(duì)于質(zhì)心軸的沖量矩定理，有理和相對(duì)于質(zhì)心軸的沖量矩定理，有 例題例題8-7 勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是m ,半徑是半徑是 r ,以質(zhì)心速度以質(zhì)心速度vC 斜向撞在水斜向撞在水平面上平面上, vC 對(duì)鉛直線成偏角對(duì)鉛直線成偏角。同時(shí)。同時(shí),球殼具有繞水平質(zhì)心

40、軸球殼具有繞水平質(zhì)心軸(垂直于垂直于 vC )的角的角速度速度0 。假定碰撞接觸點(diǎn)的速度能按反向全部恢復(fù)。假定碰撞接觸點(diǎn)的速度能按反向全部恢復(fù)(e = e = 1)，求碰撞后球，求碰撞后球殼的運(yùn)動(dòng)。殼的運(yùn)動(dòng)。CyxA 球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它的外碰撞球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它的外碰撞沖量有瞬時(shí)法向反力的沖量沖量有瞬時(shí)法向反力的沖量 IN 和瞬時(shí)摩擦和瞬時(shí)摩擦力的沖量力的沖量 IF。解解:設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)質(zhì)心速度是設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)質(zhì)心速度是 uC ,繞質(zhì)心軸的繞質(zhì)心軸的角速度是角速度是(規(guī)定以逆鐘向?yàn)檎?guī)定以逆鐘向?yàn)檎?。寫(xiě)出質(zhì)心沖量方程和對(duì)質(zhì)心的沖量矩方程寫(xiě)出質(zhì)心沖量方程和對(duì)質(zhì)心的沖量矩方程,并并注意球

41、殼對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量注意球殼對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JC = 2mr2/3 。rIrmrmIvmumIvmumCCyCCxF022NF3232cossin（1）（2）（3）CyxA 由恢復(fù)系數(shù)的定義可知由恢復(fù)系數(shù)的定義可知,在完全彈性碰撞結(jié)束后在完全彈性碰撞結(jié)束后,接觸點(diǎn)的切向和法接觸點(diǎn)的切向和法向相對(duì)速度都按相反方向全部恢復(fù)向相對(duì)速度都按相反方向全部恢復(fù);以以 vA和和 uA 分別表示碰撞始末接觸點(diǎn)分別表示碰撞始末接觸點(diǎn) A 的速度的速度,則有則有(*),AyAyAxAxvuvu但由運(yùn)動(dòng)學(xué)知但由運(yùn)動(dòng)學(xué)知ACCAACCAvvvuuu,（1）（2）（3）rIrmrmIvmumIvmumCCyCCxF022NF3232cossinCyxAcos,si