32周期信號的傅里葉級數(shù)分析

1、3.2 3.2 周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 難點(diǎn)：難點(diǎn)：傅里葉級數(shù)的公式推導(dǎo)傅里葉級數(shù)的公式推導(dǎo)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1112 , , tttf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號周期信號在滿足在滿足狄利克雷條件狄利克雷條件時，可展成時，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 tttttfta00d)(1

2、0余弦分量的幅度余弦分量的幅度 tttnttntfta00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 tttnttntftb00dsin)(21 稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù)1.1.定義定義 tntn11sin,cos 是一個完備的正交函數(shù)集是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，在一個周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211 tttmtn nmnmttmtntt, 0,2coscos2211 nmnmttmtntt, 0,2sinsin2211 由積分可知由積分可知2.2.補(bǔ)充：三角函數(shù)集補(bǔ)充：三角函

3、數(shù)集3.3.其他形式其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖可畫出可畫出頻譜圖頻譜圖周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性，諧波性，收斂性離散性，諧波性，收斂性 nc n4.4.幅度頻率特性和相位頻率特性幅度頻率特性和相位頻率特性的線性組合的線性組合

4、基波角頻率的整數(shù)倍）基波角頻率的整數(shù)倍）（）和各次諧波）和各次諧波，基波（，基波（周期信號可分解為直流周期信號可分解為直流:11 n 頻譜圖頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnfc曲線曲線 n二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)二、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 1. 1.定義定義 由前知由前知 由歐拉公式由歐拉公式 這就是指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。這就是指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)。 )sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenftf1)()(1其中其中)(21)(1nnjbanf)(21)(1nnjbanf0)0(af引入了負(fù)頻率引入了負(fù)頻率 傅里葉級數(shù)的系

5、數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)nfnf)(11001)(11ttttjnndtetftfnnncbanf2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnabarctan 2.2.幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnfnbnann3.3.周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖 nnfnf1111n1n1n0000000adcf)(21nnjnnjbaeffn)(21nnjnnjbaeffn4.4.兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系兩種傅氏

6、級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcffnnncffnnnaffnnnbffj)(nnnnnnffbadc422225.5.周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖的特點(diǎn)周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖的特點(diǎn)l引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；數(shù)學(xué)推導(dǎo)；l cn cn 是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，fn fn 一般是復(fù)函數(shù)，一般是復(fù)函數(shù)，l 當(dāng)當(dāng) fn fn 是實(shí)函數(shù)時，可用是實(shí)函數(shù)時，可用fn fn 的正的正 負(fù)表示負(fù)表示0 0和和相位，相位， 幅度譜和相幅度譜和相 位譜合一；位譜合一；6 6周期信號的功率周期信號的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)

7、情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號平均功率周期信號平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說，也就是說，時域和頻域的能量是守恒時域和頻域的能量是守恒的的. . 繪成的線狀圖形，表示繪成的線狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)功率譜系數(shù)。 2nf nnnnnfbac212220 tttftp02d)(1三、函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系三、函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系三種對稱： 偶函數(shù) ：f (t )=f (-t) 奇函數(shù) ：f

8、 (t )= - f (-t) 奇諧函數(shù) ：半周期對稱 任意周期函數(shù)有： 偶函數(shù)項 奇函數(shù)項)2()(1nttftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn1.1.周期偶函數(shù)只含直流和周期偶函數(shù)只含直流和 其中其中a a是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) b bn n=0=0 f fn n是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411tttndttntfta2nnnafftjnnenftf1)()(1例如例如: :周期三角函數(shù)是偶函數(shù)周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112ttteetfef(t)t1/2-t1/2t2.2.周期奇

9、函數(shù)只含正弦項周期奇函數(shù)只含正弦項tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4tndttntftb000naaf fn n為虛數(shù)為虛數(shù) nnnnjbjbanff2121)(1 例如周期鋸齒波是奇函數(shù)例如周期鋸齒波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttetfe/2-e/2t1/2-t1/2f(t)t0 3. 3.奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) )2()(1ttftfl沿時間軸移半個周期；沿時間軸移半個周期；l 反轉(zhuǎn)；反轉(zhuǎn)；l 波形不變；波形不變；l半周期對稱半周期對稱)2()2(11nttfnttf奇諧函數(shù)的波形：奇諧函數(shù)的波形： f(t) f(t)t t1 1/2/2-t1/20 0t t 奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0 0dtttftat.cos)(4201111dtt