第二講預(yù)備知識(shí)

1、材料力學(xué)與彈性力學(xué)材料力學(xué)與彈性力學(xué) 本課程中所指的是有限單元法在彈本課程中所指的是有限單元法在彈性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力性力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。因此要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)學(xué)的某些基本概念和基本方程。本章將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。限單元法的預(yù)備知識(shí)。第二講第二講 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 1、研究的內(nèi)容：研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別?；旧蠜]有什么區(qū)別。 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)

2、動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。有相同也有區(qū)別。 材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無(wú)法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 3、研究的方法：

3、研究的方法：有較大的區(qū)別。有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來(lái)建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無(wú)限小單似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)

4、構(gòu)件的無(wú)限小單元體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析元體來(lái)建立這些條件的，因而無(wú)須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，可以用彈性力學(xué)的解答來(lái)估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。并確定它們的適用范圍。材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-1ax xq qy yx0 0圖 1-1b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)x xq qy yx圖 1-2ayx xq qy yy圖 1-2bq

5、yxxq圖 1-2c圖 1-3a圖 1-3b材料力學(xué)材料力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué)材料力學(xué) 總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別?？傊?，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的

6、方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問(wèn)題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定：料性質(zhì)的假定：彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 (1) 物體是連續(xù)的，物體是連續(xù)的，亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體亦即物體整個(gè)體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。應(yīng)

7、力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。(2) 物體是完全彈性的，物體是完全彈性的，亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬當(dāng)溫度不變時(shí)，物體在任一瞬時(shí)的形狀完全決定于它在這一瞬時(shí)所受的外力，與它過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。時(shí)所受的外力，與它過(guò)去的受力情況無(wú)關(guān)。(3) 物體是均勻的，物體是均勻的，也就是說(shuō)整個(gè)物體是由同一種材料組成也就是說(shuō)整個(gè)物體是由同一種材料組成的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性

8、質(zhì)，因的。這樣，整個(gè)物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù)彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變才不隨位置座標(biāo)而變。彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定(4) 物體是各向同性的，物體是各向同性的，也就是說(shuō)物體內(nèi)每一點(diǎn)各也就是說(shuō)物體內(nèi)每一點(diǎn)各個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。個(gè)不同方向的物理性質(zhì)和機(jī)械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，物體的變形是微小的，亦即當(dāng)物體受力以后，亦即當(dāng)物體受力以后，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，整個(gè)物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小

9、于因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1，這樣，在考慮物體變形，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形以后的平衡狀態(tài)時(shí)，可以用變形前的尺寸來(lái)代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去的變形時(shí)，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項(xiàng)或乘積項(xiàng)都可以略去不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方不計(jì)，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。程。2-1 外力、應(yīng)力、應(yīng)變與位移在有限元法中的表示方法外力、應(yīng)力、應(yīng)變與位移在有限元法中的表示方法一、外力一、外力 外力可以分為體積力、面積力和節(jié)點(diǎn)之集中力

10、*，分別用以下符號(hào)表示：1）體積力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFbzbybxb 2）表面力 ),(),(),(zyxFzyxFzyxFFszsysxs3）節(jié)點(diǎn)集中力 nPPPP21節(jié)點(diǎn)集中力是廣義力，可以是力，也可以是力矩。二、應(yīng)力二、應(yīng)力 空間三維問(wèn)題 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面問(wèn)題 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx三、應(yīng)變?nèi)?、?yīng)變空間三維問(wèn)題 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzxyzxyzzyyxx,平面問(wèn)題 ),(),(),(yxyxyxxyyyxx四、位移四、位移 ),(),(),(zyxwzyxvzyxuu空間三維

11、問(wèn)題 平面問(wèn)題 ),(),(yxvyxuu xxx一維問(wèn)題 一維問(wèn)題 一維問(wèn)題 xxx xuuxx2-2 彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程一、平衡方程一、平衡方程 在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，它的直于坐標(biāo)軸，而棱邊的長(zhǎng)度分別為，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上圖2-1所示。oyxzABCPyyyzyzdzzzzzzdzzzxzxdzzzyzydxxxzxzdxxxxxxdxxxyxydyyyyyydyyyxyxdyyyzyzzzzxzyxxxyxz以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程，0 xF得：0Xdxdydzdxdydxdydzzdzdxdzdxdyydydz

12、dydzdxxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxoyxzABCPyyyzyzdzzzzzzdzzzxzxdzzzyzydxxxzxzdxxxxxxdxxxyxydyyyyyydyyyxyxdyyyzyzzzzxzyxxxyxz0Xdxdydzdxdydzdxdyzdxdydzdxdydzdxydzdxdydzdxdydzxdydzzxzxzxyxyxyxxxxxxxx0dxdydzFdxdydzzdxdydzydxdydzxbxzxxyxx整理后得到：0bxzxxyxxFzyx在上式中消掉dxdydz得到利用0yF和0zF還可以得到另外兩個(gè)方程，即：000bzzzyzzxbyyzyyxyb

13、xzxxyxxFzyxFzyxFzyx彈性體平衡微分方程 該方程給出地是微元體的平衡條件，即平衡的微分條件。也就是說(shuō)如果整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意點(diǎn)（微元體）都必須滿足的條件。對(duì)于平面問(wèn)題，平衡微分方程將退化為以下形式：00byyyxybxxyxxFyxFyx二、幾何方程二、幾何方程給出彈性體內(nèi)部任意點(diǎn)處的應(yīng)變與位移之間的微分關(guān)系。 1 1、應(yīng)變與位移的關(guān)系、應(yīng)變與位移的關(guān)系以xx為例，彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變與位移的關(guān)系如圖示： yxA ,),(ydxxB 在結(jié)構(gòu)取一微小線段dx，兩個(gè)端點(diǎn)變形前的坐標(biāo)分別為：、兩個(gè)端點(diǎn)變形后的坐標(biāo)分別為：),(),(yxvyyxuxA),(),(ydxx

14、vyydxxudxxB、在小變形情況下，變形后微小線段的長(zhǎng)度可以近似表示為為：dxxudxyxuydxxudxyxuxydxxudxx),(),(),(),(xudxdxdxxudxdxdxxx根據(jù)應(yīng)變的定義可得：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyxxyyxx 同理可推導(dǎo)出其它5個(gè)應(yīng)變分量。則彈性體內(nèi)任意點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)變分量可以表示為：yvxuyvxuxyyyxx對(duì)于平面問(wèn)題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：xuxx對(duì)于一維問(wèn)題，應(yīng)變-位移關(guān)系可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：2 2、應(yīng)變、應(yīng)變- -位移關(guān)系的矩陣表示位移關(guān)系的矩陣表示 wvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyz

15、xyzzyyxx000000000三維情況xzyzxyzyx000000000令：其中 zyx,稱微分算子，稱算子矩陣。 uvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二維問(wèn)題的應(yīng)變-位移關(guān)系可簡(jiǎn)化為：一維問(wèn)題的應(yīng)變-位移關(guān)系可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： uuxxuxx則應(yīng)變-位移關(guān)系可以簡(jiǎn)記為統(tǒng)一的矩陣形式： u三、物理方程（本構(gòu)關(guān)系）三、物理方程（本構(gòu)關(guān)系） eD1、有限元本構(gòu)關(guān)系的矩陣形式為：221000000221000000221000000100010001)21)(1 (EDe對(duì)于三維情況有： 2 2、對(duì)于二維平面應(yīng)力問(wèn)題的定義平面應(yīng)力)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz2100010

16、112EDe 此時(shí)有 )(1yyxxzzvv3 3、對(duì)于二維平面應(yīng)變問(wèn)題的定義平面應(yīng)變)0(zzyzxz由此可以得出 0zxyz221000101)21)(1 (EDe 此時(shí)有 )(yyxxzzv四、相容方程（協(xié)調(diào)方程）四、相容方程（協(xié)調(diào)方程） 相容方程給出彈性體的變形協(xié)調(diào)性條件，彈性體在變形之前是連續(xù)的，變形后仍然要保持連續(xù)。即彈性體內(nèi)部各點(diǎn)的位移必須是單值連續(xù)的，不能出現(xiàn)重疊或開裂現(xiàn)象。 由于有限元采用的多項(xiàng)式位移插值函數(shù)全部滿足相容條件，只要求了解這一概念，具體形式不作要求。2.3 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)點(diǎn)寫力矩平衡方程：

17、寫力矩平衡方程：圖圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：的剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。表明：圖表明：圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的的位移上作功時(shí)，功的總和必須位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做等于零。這就叫做虛功原理虛功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 1-8abPPBA abABABBAabPP15)-(1 0BBAAPP虛功原理虛功原理 進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)， 和和 這兩個(gè)位移這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某

18、種原因，例如人為地振一下讓它傾是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足斜，一定滿足(1-15)式的關(guān)系。式的關(guān)系。 將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。 對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，由于是假想，故稱為虛位移故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。功必

19、定等于零。這就叫做這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。虛位移原理，也稱虛功原理。在圖在圖1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位移的位移上，上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位移因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來(lái)說(shuō)就是虛位移，來(lái)說(shuō)就是虛位移，亦即是狀態(tài)亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。假象的位移。ABAPBP虛功原理虛功原理 必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，的兩

20、個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來(lái)講，對(duì)于力來(lái)講，它必須它必須是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛是在位移過(guò)程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來(lái)講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。合的微小的剛體位移。 還要注意，還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力被動(dòng)力。(如圖如

21、圖1-8中的反力中的反力 ，由于支點(diǎn)，由于支點(diǎn)C沒有位移，故沒有位移，故 所作的虛功對(duì)于零所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖。反之，如圖1-8中的中的 和和 是在位移過(guò)程中作功的力，稱為是在位移過(guò)程中作功的力，稱為主動(dòng)力主動(dòng)力。因此，在平。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。cRcRAPBPcR虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理虛功原理表述如下：表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約在力的作用

22、下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代各力所作的功的代數(shù)和數(shù)和)恒對(duì)于零。恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：虛功原理用公式表示為：這就是這就是虛功方程虛功方程，其中其中P和和 相應(yīng)的代表力和虛位移相應(yīng)的代表力和虛位移。16)-(1 0PW虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 虛功方程虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程桿是絕對(duì)剛性，

23、沒有任何的變形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。 將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要要包括外力功包括外力功(T)和內(nèi)和內(nèi)力功力功(U)兩部分，即：兩部分，即： W = T - - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(- -U)前面有一負(fù)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，號(hào)，是由于彈性體在變形過(guò)程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于

24、零得： T - - U = 0 外力虛功外力虛功 T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功移上的虛功(外力功外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功內(nèi)力功)。虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況i點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量j點(diǎn)外力分量點(diǎn)外力分量外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的應(yīng)力分量用引起的應(yīng)力分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9iiiWVU、jjjWVU、 F zxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況假設(shè)發(fā)生了虛位移假設(shè)發(fā)生了虛位移虛