參數(shù)方程知識講解及典型例題

1、參數(shù)方程、定義：在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個參數(shù)x f（t）t的函數(shù)，即 y f，其中，t為參數(shù)，并且對于t每一個允許值，由方程 組所確定的點M （x, y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).注意：參數(shù)方程沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫縱坐標之間的關系，而是分別體現(xiàn) 了點的橫縱坐標與參數(shù)間的關系。二、二次曲線的參數(shù)方程1、圓的參數(shù)方程：特殊：圓心是（0,0）,半徑為r的圓:r cosr sin般：圓心在（x°, y°）,半徑等于r的圓:x x0 r cos y y。 rsinEg1：已知

2、點P （x（為參數(shù)，的幾何意義為圓心角）y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0 上的動點，求：(1) x2+y2的最值;(2) x+y的最值;（3）點P到直線x+y-1=0的距離d的最值。Eg2:將下列參數(shù)方程化為普通方程(1) |x=2+3cos(2) 1rx=sin1(3) - x = t+ -y=3siny=cosy=t總結：參數(shù)方程化為普通方程步驟:（1）消參（2）求定義域2、橢圓的參數(shù)方程:中心在原點，焦點在x軸上的橢圓:x a cos（為參數(shù)， 的幾何意義是離心角，如圖角 AONfe離心角）y bsin注意：離心率和離心角沒關系，如圖，分別以橢圓的長軸和短軸為半徑畫兩個同心圓，M

3、點的軌跡是橢圓，中心在（x。，y。） 橢圓的參數(shù)方程:x x0 a cosy y0 bsin2-x2 Eg：求橢圓 36y=1上的點到 M （2,0 ）的最小值。203、雙曲線的參數(shù)方程:中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線：x asec （為參數(shù)，代表離心角）, 一 y btan中心在（X0, y。），焦點在x軸上的雙曲線：J x x0 asec y y° btan4、拋物線的參數(shù)方程：頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：x 2pt2y 2pt （t為參數(shù)，p>0, t的幾何意義為過圓點的直線的斜率的倒數(shù)）直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得到。三、一次曲線（直線）的參數(shù)方程過定點

4、P）（x°, y°）,傾角為 的直線，P是直線上任意一點，設 P°P=t, P0P叫點P到定點 R的有向距離，在 P0兩側t的符號相反，直線的參數(shù)方程"x x0 t cosy y° tsin 。為參數(shù)，t的幾何意義為有向距離）說明：t的符號相對于點P0,正負在R點兩側 I P0P I = I t I直線參數(shù)方程的變式：x x0滉，但此時t的幾何意義不是有向距離，只有 L y v。 bt當 t 前面系數(shù)的平方和是1 時，幾何意義才是有向距離，所以，將上式進行整理，得X Xoa.a2 bb2 ( -a2 b2t),讓«a2 b2t作為t

5、,則此時t的幾何意義是有y yo222.a b(a2b2t)向距離。Eg：求直線x=-1+3ty=2-4,求其傾斜角.極坐標與參數(shù)方程練習題基礎訓練A組、選擇題1.若直線的參數(shù)方程為2t （t為參數(shù)），則直線的斜率為（A. 23x sin22 .下列在曲線（為參數(shù)）上的點是（）y cos sinA(1，后)B . ( 4,2) C , (2,73) D . (1,73) x 2 sin23 .將參數(shù)方程2(為參數(shù))化為普通方程為()y sinA. y x 2 B.y x 2 C.yx2(2x 3) D . y x 2(0 y 1)4 .化極坐標方程2 cos0為直角坐標方程為（A. x2y20

6、或 y 1 B . x 1 C . x2y20或 x 1 D . y 15 .點M的直角坐標是(1,73),則點M的極坐標為()2A (2,-) B . (2, -) C . (2,-) D (2,2k-),(k Z)33336 .極坐標方程cos 2sin 2 表示的曲線為（）A. 一條射線和一個圓B .兩條直線 C . 一條直線和一個圓D . 一個圓二、填空題x34t.1 .直線（t為參數(shù)）的斜率為 。y45tt t xee 2 .參數(shù)方程（t為參數(shù)）的普通方程為。y 2（et et）. x 1 3t3 .已知直線1i： 丫 2 4t。為參數(shù)）與直線12：2x 4y 5相交于點B,又點A（

7、1,2）,則AB x4.直線y三、解答題1t2 (t為參數(shù))被圓x21t2y2 4截得的弦長為221 .已知點P(x,y)ze圓x y 2y上的動點,(1)求2x y的取值范圍;(2)若x y a 0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。x 1 t.2.求直線11：L (t為參數(shù))和直線l2： x y 2百y 5 . 3t0的交點P的坐標，及點P與Q(1, 5)的距離。223.在橢圓-y 1上找一點，使這一點到直線16 12x 2y 12 0的距離的最小值。綜合訓練B組、選擇題1 .直線l的參數(shù)方程為之間的距離是（A.ti2.參數(shù)方程為3.4.5.6.A. 一條直線x直線卜為參數(shù)），l上的點P對應的參數(shù)

8、是3,則點P1與P（a,b）2ti1t（t為參數(shù)）表示的曲線是、22 t12t3.3.兩條直線c . 一條射線（t為參數(shù)）和圓16交于A, B兩點,則AB的中點坐標為（A.A.(3, 3).3,3) C .(-3, 3)D . (3, ,3)5cos5、. 3 sin的圓心坐標是與參數(shù)方程為A.C.直線A.x25w)c - (5,s)D(吟)1(0（t為參數(shù)）等價的普通方程為（y 2) Dt（t為參數(shù)）被圓（x_140-4二、填空題1.曲線的參數(shù)方程是x21(0x 1)1(0x 1,0 y 2)3)2(y1)225所截得的弦長為（,93 4.31t (t為參數(shù),tt20）,則它的普通方程為2.

9、直線xy3 at3(t為參數(shù))過定點14t3.點 P(x,y)是橢圓2x2 3y2 12上的一個動點，則 x 2y的最大值為4.曲線的極坐標方程為tan1，則曲線的直角坐標方程為cos5.設y tx(t為參數(shù))則圓4y 0的參數(shù)方程為三、解答題21 .點P在橢圓16求點P到直線3x 4y 24的最大距離和最小距離。2.已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角(1)寫出直線l的參數(shù)方程。(2)設l與圓x2 y2 4相交與兩點 a, B ,求點P到A, B兩點的距離之積。極坐標與參數(shù)方程練習題答案基礎訓練A組一、選擇題1 .D 2.B 3.C 4.C 5. C 6.C二、填空題2 2廣1 - 2 . 1,(x 2) 3 . - 4 . .1444162三、解答題1.解：(1)押 1 2x y & 1 ； a、.2 12. 4,33,生5綜合訓練B組一、選擇題1. C 2 . D 3 . D 4 . A 5 . D 6 . C二、填空題1. y X(X 2) (x 1) 2. (3, 1) 3 . .22 4.x2 y(x 1)2x5.4t1 t24t222x (tx)4tx0時,0；當x 0時,4tx 2 ;1 tt2而 y