2015年福建高考數(shù)學(xué)理科模擬試卷

1、2015年福建省高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試卷第卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足zi=1-i，則z等于A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i2.等差數(shù)列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于A1 B C.- 2 D 33函數(shù)的零點個數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.34若，則是的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件5.雙曲線y21的頂點到其漸近線的距離等于()A B C D6.執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的分別為1,2,3，

2、則輸出的=. . . .7已知是坐標(biāo)原點，點若點為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是( ) A-1.0 B0.1 C0.2 D-1.2 8.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%?，F(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果。經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989據(jù)此估計，該運動員

3、三次投籃恰有兩次命中的概率為A0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.159.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數(shù)，則=在0,上的圖像大致為10.設(shè)函數(shù).若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ） A. B. C. D.第卷（非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.（a+x）4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實數(shù)a=_12若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于 .13.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋

4、物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則_ w.w.w.k.s.5.14如圖，中，點在邊上，則的長度等于 15.當(dāng)xR，|x|1時，有如下表達式：1xx2xn.兩邊同時積分得：，從而得到如下等式：.請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，計算：_.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分13分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos

5、15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos55°() 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù) () 根據(jù)（）的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論.17. (本小題滿分13分)如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，.() 證明：；(）若，AB=BC求二面角的余弦值.18.（本小題滿分

6、13分）設(shè)是不等式的解集，整數(shù)。（）記使得“成立的有序數(shù)組”為事件A，試列舉A包含的基本事件；（）設(shè)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.19.（本小題滿分13分）設(shè),分別是橢圓的左右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N.（）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.20. (本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)的周期為，圖象的一個對稱中心為.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象()求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；()是否存在x0，使得f

7、(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)；若不存在，說明理由；()求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(x)f(x)ag(x)在(0，n)內(nèi)恰有2 013個零點21.本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.(1)（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換設(shè)矩陣 （其中，）（I）若，求矩陣的逆矩陣；（II）若曲線在矩陣所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線：，求的值 (2)(本小題滿分7分)選修44：坐標(biāo)

8、系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為a，且點A在直線l上（I）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；（II）圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講 解不等式2x-1<x+12015年福建省高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試卷參考答案1.【答案】A 【解析】，A正確.2.【答案】C 【解析】且.故選C3.【答案】C 【解析】當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，令解得，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C.4.【答案】A 【解析】當(dāng)時，所以是的充分條件，但是時，或，所以不是的必要條件故

9、選A5.【答案】C 【解析】雙曲線y21的頂點為(±2,0)，漸近線方程為，即x2y0和x2y0.故其頂點到漸近線的距離，選C.6.【答案】D 【解析】輸入；時：；時：；時：；時：輸出 . 選D.7.【答案】C 【解析】設(shè)作出可行域，如圖直線，即經(jīng)過時，最小，經(jīng)過時，最大，所以的取值范圍是故選C8.【答案】B 【解析】由隨機數(shù)可估算出每次投籃命中的概率則三次投籃命中兩次為0.25故選B.9.【答案】B 【解析】如圖：過M作MDOP于，則 PM=，OM=,在中，MD=，選B.10.【答案】C 【解析】11.【答案】2 【解析】12.【答案】 【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，

10、高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，所以其表面積為13.【答案】2 【解析】由題意可知過焦點的直線方程為，聯(lián)立有，又.14.【答案】 【解析】由余弦定理 ,所以.再由正弦定理 ，即，所以15.【答案】 【解析】由(1x)n，兩邊同時積分得：，.16. 【解析】()選擇（2）式計算如下：. ()證明： 17.【解析】()連結(jié)，交于O，連結(jié)AO因為側(cè)面為菱形，所以，且O為與的中點又，所以平面，故=又 ，故 （）因為且O為的中點，所以AO=CO= 又因為AB=BC=，所以故OAOB，從而OA，OB，兩兩互相垂直 以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB的方向為x軸正方向，OB為單位長

11、，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O- 因為，所以為等邊三角形又AB=BC=，則，設(shè)是平面的法向量，則，即 所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.18.【解析】()由得，即，由于整數(shù)且，所以A包含的基本事件為.()由于的所有不同取值為所以的所有不同取值為，且有，故的分布列為0149P所以=.19.【解析】（）根據(jù)c=以及題設(shè)知M（c，），2=3ac將=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的離心率為（）由題意，原點O的的中點，My軸，所以直線M與y軸的交點D是線段M的中點，故=4，即 由=得=設(shè)N（x，y），由題意可知y<0,則 即代入方程C，得+=1

12、 將以及c=代入得到+=1解得a=7， a=7，.20.【解析】()由函數(shù)f(x)sin(x)的周期為，0，得2.又曲線yf(x)的一個對稱中心為，(0，)，故，得，所以f(x)cos 2x.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得ycos x的圖象，再將ycos x的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，所以g(x)sin x.()當(dāng)x時，sin x，0cos 2x，所以sin xcos 2xsin xcos 2x.問題轉(zhuǎn)化為方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在內(nèi)是否有解設(shè)G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，則G(x)c

13、os xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)因為x，所以G(x)0，G(x)在內(nèi)單調(diào)遞增又，且函數(shù)G(x)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G(x)在內(nèi)存在唯一零點x0，即存在唯一的x0滿足題意()依題意，F(xiàn)(x)asin xcos 2x，令F(x)asin xcos 2x0.當(dāng)sin x0，即xk(kZ)時，cos 2x1，從而xk(kZ)不是方程F(x)0的解，所以方程F(x)0等價于關(guān)于x的方程，xk(kZ)現(xiàn)研究x(0，)(，2)時方程的解的情況令，x(0，)(，2)，則問題轉(zhuǎn)化為研究直線ya與曲線yh(x)，x(0，)(，2)的交點情況，令h(x)0，得或.當(dāng)x變化時，h(x

14、)，h(x)的變化情況如下表：xh(x)00h(x)11當(dāng)x0且x趨近于0時，h(x)趨向于，當(dāng)x且x趨近于時，h(x)趨向于，當(dāng)x且x趨近于時，h(x)趨向于，當(dāng)x2且x趨近于2時，h(x)趨向于.故當(dāng)a1時，直線ya與曲線yh(x)在(0，)內(nèi)無交點，在(，2)內(nèi)有2個交點；當(dāng)a1時，直線ya與曲線yh(x)在(0，)內(nèi)有2個交點，在(，2)內(nèi)無交點；當(dāng)1a1時，直線ya與曲線yh(x)在(0，)內(nèi)有2個交點，在(，2)內(nèi)有2個交點由函數(shù)h(x)的周期性，可知當(dāng)a±1時，直線ya與曲線yh(x)在(0，n)內(nèi)總有偶數(shù)個交點，從而不存在正整數(shù)n，使得直線ya與曲線yh(x)在(0，n)內(nèi)恰有2 013個交點；又當(dāng)a1或a1時，直線ya與曲線yh(x)在(0，)(，2)內(nèi)有3個交點，由周期性，2 0133×671，所以依題意得n671×21 342.綜上，當(dāng)a1，n1 342或a1，n1 342時，函數(shù)F(x)f(x)ag(x)在(0，n)內(nèi)恰有2 013個零點21. 【解析】(1)（）設(shè)矩陣的逆矩陣，則，因為，所以，所以，即，所以（