最新中考數(shù)學(xué)第六講第4課時(shí)拋物線中的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題同步練習(xí)

1、第 4 課時(shí)拋物線中的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題(60 分)1(20 分)2017涼山州如圖 641，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 yax2bxc(a0)與 x軸交于 a，b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c，且 oa2，ob8，oc6.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn) m 從 a 點(diǎn)出發(fā)， 在線段上 ab 以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) b 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) n 從 b 出發(fā)，在線段 bc 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)mbn 存在時(shí)， 求運(yùn)動(dòng)多少秒使mbn的 面 積 最大，最大面積是多少？(3)在(2)的條件下，mbn 面積最大時(shí)，在 bc 上方的

2、拋物線上是否存在點(diǎn) p，使bpc 的面積是mbn 面積的 9 倍，若存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)由線段的長(zhǎng)度得出點(diǎn) a，b，c 的坐標(biāo)，然后把 a，b，c 三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入yax2bxc，解方程組即可得拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，則 mb103t，然后根據(jù)bhnboc，求得 nh35t，再利用三角形的面積公式列出 smbn與 t 的函數(shù)關(guān)系式 smbn910t53252 ，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；(3)利用待定系數(shù)法求得直線bc的表達(dá)式為y34x6.由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為m，38m294m6.過點(diǎn) p 作 pe

3、y 軸，交 bc 于點(diǎn) e.結(jié)合已知條件和(2)中的結(jié)果求得 spbc452.則根據(jù)圖形得到 spbcscepsbep12epm12ep(8m)，把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入推知：32m212m452.易求得 p3，758 或5，638 .解：(1)oa2，ob8，oc6，a(2，0)，b(8，0)，c(0，6)，圖 641根據(jù)題意，得4a2bc0，64a8bc0，c6，解得a38，b94，c6，拋物線的表達(dá)式為 y38x294x6；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，則 am3t，bnt.mb103t.在 rtboc 中，bc 826210.如答圖，過點(diǎn) n 作 nhab 于點(diǎn) h，nhco，bhnboc，

4、hnocbnbc，即hn6t10，hn35t.smbn12mbhn12(103t)35t910t53252，當(dāng) t53時(shí)，smbn最大52.答：運(yùn)動(dòng)53s 時(shí)，mbn 的面積最大，最大面積是52；(3)設(shè)直線 bc 的表達(dá)式為 ykxc(k0)把 b(8，0)，c(0，6)代入，得8kc0，c6，解得k34，c6，直線 bc 的表達(dá)式為 y34x6.點(diǎn) p 在拋物線上，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為m，38m294m6，如答圖，過點(diǎn) p 作 pey 軸，交 bc 于點(diǎn) e，則 e點(diǎn)的坐標(biāo)為圖第 1 題答圖第 1 題答圖m，34m6，ep38m294m634m638m23m，當(dāng)mbn 的面積最大時(shí)，spbc

5、9smbn452，spbcscepsbep12epm12ep(8m)128ep438m23m32m212m，即32m212m452，解得 m13，m25，p 點(diǎn)坐標(biāo)為3，758 或5，638 .2(20 分)2017內(nèi)江如圖 642，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 yax2bxc(a0)與 y軸交于點(diǎn) c(0，3)，與 x 軸交于 a，b 兩點(diǎn)，點(diǎn) b 坐標(biāo)為(4，0)，拋物線的對(duì)稱軸方程為 x1.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn) m 從 a 點(diǎn)出發(fā)，在線段 ab 上以每秒 3 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 b 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) n 從 b 點(diǎn)出發(fā)，在線段 bc 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 c 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

6、其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)， 設(shè)mbn 的面積為 s， 點(diǎn) m 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，試求s 與t 的函數(shù)關(guān)系，并求 s 的最大值；(3)在點(diǎn) m 運(yùn)動(dòng)過程中， 是否存在某一時(shí)刻 t， 使mbn為直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)由點(diǎn) b 的坐標(biāo)與對(duì)稱軸可求得點(diǎn) a 的坐標(biāo)，把點(diǎn) a，b，c 的坐標(biāo)分別代入拋物線的表達(dá)式，列出關(guān)于系數(shù) a，b，c 的方程組，求解即可；(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，利用三角形的面積公式列出 smbn與 t 的函數(shù)關(guān)系式，用配方法求得最大值；(3)根據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于 t 的方程，解方程，可得答案，注意分類討論解：(1

7、)點(diǎn) b 坐標(biāo)為(4，0)，拋物線的對(duì)稱軸方程為 x1，a(2，0)把點(diǎn) a(2，0)，b(4，0)，c(0，3)，分別代入 yax2bxc(a0)，圖 642得4a2bc0，16a4bc0，c3.解得a38，b34，c3，該拋物線的表達(dá)式為 y38x234x3.(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，則 am3t，bnt，mb63t.在 rtboc 中，bc 32425.如答圖，過點(diǎn) n 作 nhab 于點(diǎn) h，nhco，bhnboc，hnocbnbc，即hn3t5，hn35t.smbn12mbhn12(63t)35t910t295t910(t1)2910.當(dāng)mbn 存在時(shí)，0t2，當(dāng) t1 時(shí)，s最大

8、910.s 與 t 的函數(shù)關(guān)系為 s910(t1)2910，s 的最大值為910.1第 2 題答圖(3)如答圖，在 rtobc 中，cosbobbc45，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，則 am3t，bnt.mb63t.當(dāng)mnb90時(shí)，cosbbnbm45，即t63t45，解得 t2417.當(dāng)bmn90時(shí)，cosb63tt45，解得 t3019.綜上所述，當(dāng) t2417或3019時(shí)，mbn 為直角三角形3(20 分)2017山西綜合與探究如圖 643，拋物線 y39x22 33x33與 x 軸交于 a，b 兩點(diǎn)(點(diǎn) a 在點(diǎn) b 的左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn) c，連結(jié) ac，bc.點(diǎn) p 沿 ac 以每秒

9、 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn) a 向點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) q 沿 bo 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn) b 向點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié) pq，過點(diǎn) q 作 qdx 軸，與拋物線交于點(diǎn) d，與 bc 交于點(diǎn) e.連結(jié) pd，與 bc 交于點(diǎn) f.設(shè)點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s(t0)(1)求直線 bc 的函數(shù)表達(dá)式；(2)直接寫出 p， d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含 t 的代數(shù)式表示， 結(jié)果需化簡(jiǎn))；在點(diǎn) p，q 運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng) pqpd 時(shí)，求t 的值(3)試探究在點(diǎn) p，q 運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻， 使得點(diǎn) f 為 pd 的中點(diǎn)若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)

10、 t的值與點(diǎn) f的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)由函數(shù)與方程的關(guān)系得到點(diǎn) b，c 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線 bc 的表達(dá)式；(2)過點(diǎn) p 作 x 軸的垂線段，構(gòu)造與 rtaoc 相似的直角三角形，利用相似的性質(zhì)得到與點(diǎn) p 的橫、縱坐標(biāo)有關(guān)的線段的方程求解；由 qdx 軸可知點(diǎn) d 與點(diǎn) q 的橫坐標(biāo)相同，將點(diǎn) q 的橫坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式便得點(diǎn) d 的縱坐標(biāo)；由等腰三角形的性質(zhì)找到 p，d兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系建立方程求解；(3)假設(shè)存在點(diǎn) f 為 pd 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的特征結(jié)合 p，d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出點(diǎn) f 的坐標(biāo)，將其代入直線 bc 建立方程求得 t 的值，確定點(diǎn) f 的具

11、體坐標(biāo)解：(1)由 y0，得39x22 33x3 30，解得 x13，x29，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為(9，0)，由 x0，得 y3 3，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為(0，3 3)，設(shè)直線 bc 的函數(shù)表達(dá)式為 ykxb，由 b，c 兩點(diǎn)的坐標(biāo)得9kb0，b3 3，解得k33，b3 3，直線 bc 的函數(shù)表達(dá)式為 y33x3 3；圖 643(2)pt23，32t，d92t，4 39t28 33t；如答圖，過點(diǎn) p 作 pgx 軸于點(diǎn) g，phqd 于點(diǎn) h，qdx 軸，四邊形 pgqh 是矩形，hqpg，pqpd，phqd，dq2hq2pg，p， d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為t23，32t，92t，4 39t28 33t

12、，4 39t28 33t232t，解得 t10(舍去)，t2154，當(dāng) pqpd 時(shí)，t 的值為154；(3)t3，f 點(diǎn)坐標(biāo)為34，11 34.(20 分)4(20 分)2017淮安如圖 644，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y13x2bxc 的圖象與坐標(biāo)軸交于 a，b，c 三點(diǎn)，其中點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為(4，0)，連結(jié)ac，bc.動(dòng)點(diǎn) p 從點(diǎn) a 出發(fā)，在線段 ac 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) c 作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) q 從點(diǎn) o 出發(fā)，在線段 ob 上以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) b 作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

13、間為 t s連結(jié) pq.(1)填空：b_13_，c_4_；(2)在點(diǎn) p，q 運(yùn)動(dòng)過程中，apq 可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在 x 軸下方， 該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) m，使pqm 是以點(diǎn) p 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)如圖，點(diǎn) n 的坐標(biāo)為32，0，線段 pq 的中點(diǎn)為 h，連結(jié) nh，當(dāng)點(diǎn) q 關(guān)于直線 nh的對(duì)稱點(diǎn) q恰好落在線段 bc 上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) q的坐標(biāo)第 3 題答圖圖 644【解析】 (1)將 a(3，0)，b(4，0)代入 y13x2bxc 即可求解；(2)若apq 為直角三角形，則apq90(pa

14、q 與pqa 不可能為直角)連結(jié) qc，則 aq2ap2qc2pc2pq2，據(jù)此列出關(guān)于 t 的方程求解，若 t 的值滿足 0t4，則apq 可能是直角三角形，否則不可能；(3)過點(diǎn) p 作 dex 軸，分別過點(diǎn) m，q 作 mdde，qede，垂足分別為 d，e，構(gòu)成“一線三直角”全等模型，用含 t 的式子表示點(diǎn) m 的坐標(biāo)；將點(diǎn) m 的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的表達(dá)式求解；(4)分別求直線 bc，直線 nq的函數(shù)表達(dá)式；解直線 bc，nq的函數(shù)達(dá)式組成的方程組解：(1)b13，c4；(2)在點(diǎn) p，q 運(yùn)動(dòng)過程中，apq 不可能是直角三角形理由如下：如答圖，連結(jié) qc.若apq 是直角三角形，在點(diǎn)

15、 p，q 運(yùn)動(dòng)過程中，paq，pqa 始終為銳角，apq90.由(1)知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y13x213x4，當(dāng) 0 時(shí)，y4，c(0，4)，oc4.a(3，0)，oa3.由題意，得 apoqt.aqoaoq3t.在 rtaoc 中，由勾股定理，得 ac oa2oc2 32425.pc5t.在 rtocq 中，qc2oq2oc2t242.apq90，aq2ap2qc2pc2pq2.(3t)2t2t242(5t)2，解得 t4.5.由題意知 0t4.t4.5 不符合題意，舍去在點(diǎn) p，q 運(yùn)動(dòng)過程中，apq 不可能是直角三角形；第 4 題答圖第 4 題答圖(3)如答圖，過點(diǎn) p 作 dex

16、軸，分別過點(diǎn) m，q 作 mdde，qede，垂足分別為點(diǎn)d，e，md 交 x 軸于點(diǎn) f，過點(diǎn) p 作 pgx 軸，垂足為點(diǎn) g，則 pgy 軸，de90.apgaco.pgocagoaapac，即pg4ag3t5.pg45t，ag35t.pegqgooqaoagoq335tt325t，dfpg45t.mpq90，d90，dmpdpmepqdpm90.dmpepq.又de，pmpq，mdppeq.pdeq45t，mdpe325t.fmmddf325t45t325t，offggopdoaag45t335t315t.m315t，325t.點(diǎn) m 在 x 軸下方的拋物線上，325t13315t21

17、3315t4，解得 t655 2052.0t4，t655 2052.(4)q67，227 .提示：如答圖，連結(jié) op，取 op 中點(diǎn) r，連結(jié) rh，nr，延長(zhǎng) nr交線段 bc 于點(diǎn) q.點(diǎn) h 為 pq 的中點(diǎn)，點(diǎn) r 為 op 的中點(diǎn)，第 4 題答圖rh12oq12t，rhoq.a(3，0)，n32，0，點(diǎn) n 為 oa 的中點(diǎn)又點(diǎn) r 為 op 的中點(diǎn)，nr12ap12t，rnac.rhnr，rnhrhn.rhoq，rhnhno.rnhhno，即 nh 是qnq的平分線設(shè)直線 ac 的函數(shù)表達(dá)式為 ymxn，把 a(3，0)，c(0，4)代入，得03mn，4n，解得m43，n4，直線

18、ac 的函數(shù)表達(dá)式為 y43x4.同理可求，直線 bc 的函數(shù)表達(dá)式為 yx4.設(shè)直線 nr 的函數(shù)表達(dá)式為 y43xs，把 n32，0代入，得 04332 s，解得 s2.直線 nr 的函數(shù)表達(dá)式為 y43x2.解方程組y43x2，yx4，得x67，y227，q點(diǎn)坐標(biāo)為67，227 .(20 分)5(20 分)2017棗莊如圖 645，拋物線 y12x2bxc 與 x 軸交于點(diǎn) a 和點(diǎn) b，與 y 軸交于點(diǎn) c，點(diǎn) b 坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn) c 坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn) d 是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn) d 作 x 軸的垂線，垂足為 e，連結(jié) bd.(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn) d 的坐標(biāo)；(2)點(diǎn) f

19、 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)fbabde 時(shí)，求點(diǎn) f 的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn) m 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) m 作 mnx 軸與拋物線交于點(diǎn) n，點(diǎn) p 在 x 軸上，點(diǎn)q 在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段 mn 為對(duì)角線作正方形 mpnq，請(qǐng)寫出點(diǎn) q 的坐標(biāo)圖 645備用圖【解析】 (1)由點(diǎn) b，c 的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式，再利用配方法將拋物線表達(dá)式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；(2)設(shè)線段 bf 與 y 軸交點(diǎn)為點(diǎn) f，設(shè)點(diǎn) f的坐標(biāo)為(0，m)，由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn) f的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) b，f的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線 bf 的表達(dá)式，聯(lián)立直線 bf 和拋物線的表達(dá)式成方程組

20、，解方程組即可求出點(diǎn) f 的坐標(biāo)；(3)設(shè)對(duì)角線 mn， pq 交于點(diǎn) o.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn) p， q 的位置，設(shè)出點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(2，2n)，由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(2n，n)由點(diǎn) m在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于 n 的一元二次方程，解方程可求出 n 值，代入點(diǎn) q 的坐標(biāo)即可得出結(jié)論解：(1)將點(diǎn) b(6，0)，c(0，6)代入 y12x2bxc，得0186bc，6c，解得b2，c6，拋物線的表達(dá)式為 y12x22x6.y12x22x612(x2)28，點(diǎn) d 的坐標(biāo)為(2，8)(2)設(shè)線段 bf 與 y 軸交點(diǎn)為點(diǎn) f，設(shè)點(diǎn) f的坐標(biāo)為(0，m)

21、，如答圖所示fbofbabde，fobbed90，fbobde，ofobbede.b(6，0)，d(2，8)，e(2，0)，be624，de808，ob6，第 5 題答圖ofbedeob3，f(0，3)或(0，3)設(shè)直線 bf 的表達(dá)式為 ykx3，則有 06k3 或 06k3，解得 k12或 k12，直線 bf 的表達(dá)式為 y12x3 或 y12x3.聯(lián)立直線 bf 與拋物線的表達(dá)式，得y12x3，y12x22x6，或y12x3，y12x22x6，解得x1，y72，或x6，y0，(舍去)，x3，y92，或x6，y0，(舍去)，點(diǎn) f 的坐標(biāo)為1，72 或3，92 .(3)設(shè)對(duì)角線 mn，pq

22、 交于點(diǎn) o，如答圖所示點(diǎn) m，n 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形 mpnq 為正方形，點(diǎn) p 為拋物線對(duì)稱軸與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) q 在拋物線對(duì)稱軸上，設(shè)點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(2，2n)，則點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(2n，n)點(diǎn) m 在拋物線 y12x22x6 的圖象上，n12(2n)22(2n)6，即 n22n160，解得 n1 171，n2 171.點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(2，2 172)或(2，2 172)調(diào)晃繡歧甘香禿肅菲苔驚扣蝗輯駿剩傣殖克蓋葡萎撣明乓郊階盲霓鈣郎槳午秋恍繪芳抿礁玫張球棠艘勵(lì)舒詭篆蒂顆邏去官觸馳袒洱隴淹縷撥爛延寐悸體要魏臥瑟恨領(lǐng)古嗆均穢諜角汗搞撮玩渣捆勾患衣登榮凳值琢播囚瘟靶僅滋糟庸孜悲省噓癢限甸昔文筍懇霍烽柱