高中數(shù)學(xué)“反正弦函數(shù)” PCK分析研究

1、高中數(shù)學(xué)“反正弦函數(shù)” PCK分析研究上海市松江二中 奚志鴻 摘要：調(diào)查研究顯示反正弦函數(shù)是教師和學(xué)生公認(rèn)的難點(diǎn)概念。本文運(yùn)用PCK理論，對(duì)反正弦函數(shù)的作用與學(xué)習(xí)價(jià)值、知識(shí)本質(zhì)及知識(shí)間的聯(lián)系、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和困難分析、教學(xué)方法和策略分析進(jìn)行了逐一闡述，并給出了可供參考的一個(gè)教學(xué)案例。關(guān)鍵詞：PCK；難點(diǎn)概念；反正弦函數(shù)1986年,時(shí)任美國(guó)教育研究會(huì)主席的斯坦福大學(xué)教授舒爾曼的研究提出，教師除了應(yīng)具備學(xué)科知識(shí)與一般教學(xué)法知識(shí)外,必須在教學(xué)過(guò)程中發(fā)展另一種新的知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge）,即PCK,其定義為“教師個(gè)人教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、教師學(xué)科內(nèi)容知識(shí)和教育學(xué)的特殊整合”，他

2、還把PCK描述為“教師最有用的知識(shí)代表形式”。 Shulman, L. S. Those who understand： knowledge growth in teachingJ.Educational Researcher, 1986, 15(2): 4-14.在此基礎(chǔ)上,2005年格林斯曼提出了PCK包含的框架： （1）一門學(xué)科的統(tǒng)領(lǐng)性觀念, 即關(guān)于學(xué)科本質(zhì)的知識(shí)和最有學(xué)習(xí)價(jià)值的知識(shí) ，（2）知識(shí)間的聯(lián)系 ,（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)某一知識(shí)過(guò)程中容易誤解和混淆的問(wèn)題，（4）如何將特定的知識(shí)呈現(xiàn)給不同學(xué)生的策略。舒爾曼認(rèn)為PCK最能區(qū)分學(xué)科專家與教學(xué)專家、高成效教師與低成效教師間的差別?！癙CK

3、的實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的智能，是教師將學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生有效獲得的一種學(xué)科教學(xué)智能，即教師根據(jù)課程理念、目標(biāo)，進(jìn)行系統(tǒng)思考， 把學(xué)科知識(shí)有效地轉(zhuǎn)化成教學(xué)任務(wù)，又由教學(xué)任務(wù)有效地轉(zhuǎn)化為學(xué)生實(shí)際的獲得。第一次轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)在教師的教學(xué)設(shè)計(jì)中，表現(xiàn)為對(duì)課程目標(biāo)、內(nèi)容，學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、風(fēng)格、個(gè)性的把握，教學(xué)方法、策略的選擇；第二次轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)于課堂教學(xué)中，表現(xiàn)為知識(shí)的呈現(xiàn)，課堂的決策、監(jiān)控、補(bǔ)救， 媒體的使用，教學(xué)的指導(dǎo)、評(píng)價(jià)，生成問(wèn)題的應(yīng)對(duì)，師生關(guān)系?！鄙虾Ｊ星嗥謱?shí)驗(yàn)研究所.小學(xué)數(shù)學(xué)新手和專家教師PCK比較的個(gè)案研究 青浦實(shí)驗(yàn)的新世紀(jì)行動(dòng)之四J上海教育科研，2007（10）:50在高中的概念中有很多概念學(xué)生始

4、終不能掌握好，還有的概念連教師都覺(jué)得難以傳授好，可以稱它們?yōu)殡y點(diǎn)概念，所以運(yùn)用PCK理論分析難點(diǎn)概念是一種有效途徑。在數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2012年10月第21卷第5期“高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究”一文中對(duì)上海市松江區(qū)全體在職85位高中數(shù)學(xué)教師的問(wèn)卷調(diào)查表明，在教師認(rèn)為的“高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念”的排序中，“反正弦函數(shù)”列最難教的數(shù)學(xué)概念中的第八位，巧的是，對(duì)松江區(qū)抽樣的410名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查中發(fā)現(xiàn)“反正弦函數(shù)”也列最難教的數(shù)學(xué)概念中的第八位。 阮曉明，王琴. 高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念的調(diào)查研究J.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012,21(5):29雖然這是不完全統(tǒng)計(jì)，但是這樣的巧合在一定程度上說(shuō)明“反正弦函數(shù)”

5、已成為教師和學(xué)生公認(rèn)的難點(diǎn)概念，而PCK能有效地轉(zhuǎn)化突破知識(shí)的難點(diǎn)，所以對(duì)反正弦函數(shù)進(jìn)行PCK分析很有必要。我們嘗試著用PCK分析的方法突破反正弦函數(shù)這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，對(duì)反正弦函數(shù)教學(xué)時(shí)所涉及的知識(shí)地位與學(xué)習(xí)價(jià)值、知識(shí)本質(zhì)及知識(shí)間的聯(lián)系、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和困難、教學(xué)的方法和策略等進(jìn)行整體分析。1 反正弦函數(shù)的作用與學(xué)習(xí)價(jià)值上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“反三角函數(shù)”這個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求及活動(dòng)建議有“理解反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念，知道它們的基本性質(zhì)和圖像。會(huì)用計(jì)算器求反三角函數(shù)的值和用反三角函數(shù)的值表示角的大小?！焙汀敖榻B三角學(xué)發(fā)展的概況”上海市教育委員會(huì)編.上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)

6、準(zhǔn)（試行稿）.上海：上海世紀(jì)出版集團(tuán)上海教育出版社，2004（10）第2版：77。反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)之一，反三角函數(shù)與其它重要知識(shí)間的聯(lián)系也要求對(duì)反正弦函數(shù)要進(jìn)行透徹分析。首先，反三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,它建立在函數(shù)的理論基礎(chǔ)上,涉及到集合、映射、函數(shù)及其性質(zhì)等眾多理論,故反三角函數(shù)的研究應(yīng)在函數(shù)理論的指導(dǎo)下進(jìn)行。其次反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù), 故反三角函數(shù)必遵循反函數(shù)的理論。為此先要對(duì)反函數(shù)的概念必須有清晰的認(rèn)識(shí)和理解,基本要素包括定義域、值域,對(duì)應(yīng)法則等互相對(duì)應(yīng),從而課題的引入、概念的產(chǎn)生應(yīng)互相對(duì)照,互相印證。 反正弦函數(shù)本身的重要性也要求我們對(duì)其有必要進(jìn)行透徹分析。首先，反正

7、弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系，通過(guò)對(duì)這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對(duì)反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其它反三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，起到承上啟下的重要作用，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求中提及“類比反正弦函數(shù)的研究過(guò)程能對(duì)反余弦函數(shù)與反正切函數(shù)作研究”。其次，反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用！如最簡(jiǎn)三角方程通解的表達(dá), 立體幾何中角的確定, 直線傾斜角的確定等。特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用，這一節(jié)內(nèi)容的順利解決對(duì)后一節(jié)的反余弦和反正切函數(shù)奠定了扎實(shí)的學(xué)習(xí)方法。2 反正弦函數(shù)的知

8、識(shí)本質(zhì)及知識(shí)間的聯(lián)系2.1 反正弦函數(shù)定義的剖析2.1.1 定義的文本解讀上海教育出版社2008版教材在高一年級(jí)第二學(xué)期第108頁(yè)中給反正弦函數(shù)所下的定義為：函數(shù)的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作。 習(xí)慣上用表示自變量，用表示函數(shù)，所以反正弦函數(shù)寫成的形式，其中定義域?yàn)?，值域?yàn)椤Ｈ嗣窠逃霭嫔?000版教材中沒(méi)有反正弦函數(shù)定義，但在高中數(shù)學(xué)必修2第73頁(yè)中在第4.11 節(jié)“已知三角函數(shù)值求角”中有這樣一段話：“在閉區(qū)間上，符合條件的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記做，即，其中，且?！?.1.2 幾個(gè)相關(guān)概念溯源 正弦函數(shù)上海2008版教材在高一年級(jí)第二學(xué)期第81頁(yè)中的描述為：對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)都

9、對(duì)應(yīng)著唯一的角（在弧度制中其弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)），而這個(gè)角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦值，這樣，對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所建立的函數(shù)，表示為，叫做正弦函數(shù)。 反函數(shù)上海2008版版教材在高一年級(jí)第二學(xué)期第13頁(yè)中的描述為：對(duì)于函數(shù)，設(shè)它的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳，若對(duì)于A中任意一個(gè)值，在D中總有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，且滿足，這樣得到的關(guān)于的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作。在習(xí)慣上，自變量常用表示，而函數(shù)用表示，所以把它改寫為。2.1.3 定義的邏輯分析上海版采用了定義方法中最常見(jiàn)的屬加種差的定義法, 作為種概念的反正弦函數(shù)的鄰近的屬概念是反函數(shù)概念，種差有兩個(gè)：正弦函

10、數(shù)；正弦函數(shù)中自變量的范圍是。從人教版中可以看出人教版已經(jīng)淡化了反正弦函數(shù)，把函數(shù)的品種減少了，把反正弦函數(shù)的工具作用保留了下來(lái)。2.2 反正弦函數(shù)概念的表征分析現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，要更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)首先應(yīng)該了解數(shù)學(xué)概念是如何在學(xué)生頭腦中記載和呈現(xiàn)的，這就是常說(shuō)的數(shù)學(xué)概念的表征。鄭毓信、梁貫成(1998年)曾指出:“概念的正確理解無(wú)非就是指建立了恰當(dāng)?shù)男睦肀碚鳌?。?shù)學(xué)概念表征的建立是一種個(gè)性化的復(fù)雜的心理過(guò)程，反正弦函數(shù)概念在學(xué)生頭腦中的記載和呈現(xiàn)方式主要有三種。 一是符號(hào)表征：反正弦函數(shù)的符號(hào)表征為。這是一個(gè)與初中所學(xué)的幾類函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）形式上有很大不同的函數(shù)解

11、析式，類似于對(duì)數(shù)函數(shù)。二是圖形表征：反正弦函數(shù)的圖形表征分為兩種，一種利用它與的互為反函數(shù)關(guān)系得到反正弦函數(shù)的圖像是函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的圖像，是一段曲線；另一種是在上一種的基礎(chǔ)上直接記憶圖像（右圖）。三是函數(shù)機(jī)器表征：將反正弦函數(shù)看成是一臺(tái)機(jī)器，它將內(nèi)的實(shí)數(shù)變換為內(nèi)的角。3 反正弦函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和困難分析3.1 反正弦函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分析3.1.1概念的發(fā)展簡(jiǎn)史 因?yàn)榉凑液瘮?shù)的重要作用是對(duì)角的表示，所以追根溯源離不開三角學(xué)，三角學(xué)起源于天文、測(cè)量、航海等實(shí)際需要。三角學(xué)的發(fā)展階段：（1）遠(yuǎn)古10世紀(jì)用于測(cè)量三角學(xué)范圍內(nèi)的一些問(wèn)題：如在公元前3000年的古埃及建造金字塔、丈量耕地；公元前600年

12、左右希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯利用相似三角形原理測(cè)量金字塔的高；公元前100多年的我國(guó)周髀算經(jīng)中記錄人們用矩測(cè)高望遠(yuǎn) 。這些測(cè)量角的事實(shí)就是反三角函數(shù)的雛形。（2）11世紀(jì)18世紀(jì)三角學(xué)脫離天文學(xué)，獨(dú)立成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，開始出現(xiàn)“三角函數(shù)”的定義，為出現(xiàn)“反三角函數(shù)”提供了可能。（3）18世紀(jì)以后三角學(xué)研究范圍擴(kuò)大，研究三角函數(shù)的主要對(duì)象，反三角函數(shù)也正式產(chǎn)生。三角學(xué)曾屬于分析學(xué)，現(xiàn)在屬于幾何學(xué)，源于角是幾何圖形。其中，正弦函數(shù)是最重要也是最古老的一種三角函數(shù)。而反三角函數(shù)符號(hào)的創(chuàng)用說(shuō)法很多，如有書說(shuō)1729年丹尼爾（B.Daniel,17001782）采用“As”表示反正弦；1776年瑞士的蘭伯特（

13、J . H.Lambert,1728-1777）用“arc·sin”表示反正弦，后來(lái)去掉中間的“· ”便成了“arcsin”沿用下來(lái)。又有書說(shuō)“arcsin”是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1772年引進(jìn)的。還有書說(shuō)，1813年英國(guó)的赫謝爾（W.Herschel,17921891）創(chuàng)用“”，后被英美派采用，我國(guó)采用“arcsin”。3.1.2 學(xué)生已有的相關(guān)經(jīng)驗(yàn) 在反正弦函數(shù)概念教學(xué)之前，教師有必要了解學(xué)生在學(xué)反正弦函數(shù)概念之前已有的知識(shí)和經(jīng)歷。認(rèn)知理論認(rèn)為這是影響反正弦函數(shù)概念學(xué)習(xí)最重要的因素。（1）函數(shù)概念：反正弦函數(shù)本身是一種函數(shù)，所以函數(shù)概念的掌握與否關(guān)系重大。（2）正弦函數(shù)

14、：因?yàn)榉凑液瘮?shù)是正弦函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)正弦函數(shù)的概念和性質(zhì)應(yīng)該掌握。（3）反函數(shù)概念和性質(zhì)：反正弦函數(shù)的研究特別是性質(zhì)基本依賴于先前已學(xué)的反函數(shù)知識(shí)。（4）計(jì)算器的使用：學(xué)生在學(xué)習(xí)銳角三角比時(shí)對(duì)特殊角的三角比值的記憶已經(jīng)轉(zhuǎn)為利用計(jì)算器驗(yàn)證。3.2 反正弦函數(shù)學(xué)習(xí)障礙分析數(shù)學(xué)概念理解障礙，是指學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)概念時(shí)不能順利進(jìn)行描述、說(shuō)明、表達(dá)、推測(cè)、想象、比較、判別和初步應(yīng)用等活動(dòng)的一種狀態(tài)。學(xué)生在反正弦函數(shù)概念學(xué)習(xí)中易發(fā)生的主要障礙有：（1）引入反正弦函數(shù)概念時(shí)的障礙事實(shí)上，反正弦函數(shù)這個(gè)名稱就會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，當(dāng)教師一開始問(wèn)正弦函數(shù)有沒(méi)有反函數(shù)時(shí)，有學(xué)生會(huì)毫不猶豫地回答：“有”，因?yàn)樗虢裉?/p>

15、要學(xué)的不就是“反”正弦函數(shù)嗎。另外一個(gè)讓學(xué)生如此輕率回答的重要原因是學(xué)生對(duì)反函數(shù)的概念原本就理解得不透徹。（2）理解反正弦函數(shù)符號(hào)時(shí)的障礙在學(xué)生的心目中，反函數(shù)是用反解的方法求得的，但正弦函數(shù)無(wú)法用反解的方法求其反函數(shù)，只能是規(guī)定，而且表示符號(hào)又是全新的。（3）反正弦函數(shù)與三角函數(shù)概念混淆時(shí)產(chǎn)生障礙學(xué)生易犯的通病，是受定勢(shì)思維的負(fù)面影響, 正弦函數(shù)的圖像已深深地映在學(xué)生腦海中，所以把反正弦函數(shù)與正弦函數(shù)混淆，分不清反三角函數(shù)的定義域、 值域以及自變量的取值與反三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。忽視、遺忘主值區(qū)間的情況十分常見(jiàn)。（4）作反正弦函數(shù)圖像時(shí)的障礙大部分學(xué)生知道利用反函數(shù)的性質(zhì)：互為反函數(shù)的兩函數(shù)

16、圖像關(guān)于直線對(duì)稱來(lái)作出反正弦函數(shù)圖像，但在作的時(shí)候會(huì)不注意兩函數(shù)圖像與直線的相對(duì)位置，畫成有三個(gè)交點(diǎn)的情況。 4 反正弦函數(shù)的教學(xué)方法和策略分析4.1“反正弦函數(shù)”的知識(shí)呈現(xiàn)與教材分析4.1.1課本內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系函數(shù)反函數(shù)三角函數(shù)余弦函數(shù)、正切函數(shù)正弦函數(shù)反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)的運(yùn)用反余弦函數(shù)、反正切函數(shù) 4.1.2課本內(nèi)容具體編排“反正弦函數(shù)”上海版教材是安排在高一數(shù)學(xué)第六章三角函數(shù)中，教材(P105-P108)編排是：（1） 復(fù)習(xí)一個(gè)函數(shù)有反函數(shù)的條件（2） 分析正弦函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)（3） 說(shuō)明正弦函數(shù)在有反函數(shù)（4） 給出反正弦函數(shù)的定義和圖像、性質(zhì)、恒等式（5） 例1：求反正弦函數(shù)的值（3個(gè)

17、小題）（6） 例2：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的(3個(gè)小題)（7） 例3：化簡(jiǎn)下列各式(3個(gè)小題) (形如)（8） 練習(xí)共4題求值（反三角函數(shù)值）已知正弦值，求角判斷命題真假求值(形如)（9） 習(xí)題A組6題求值（反三角函數(shù)值）用計(jì)算器求值（反三角函數(shù)值）用反正弦函數(shù)值的形式表示各式中的求值（形如)求值(形如)應(yīng)用題B組3題求函數(shù)定義域（形如）求值（與反余弦函數(shù)的綜合題）證明題（與反余弦函數(shù)的綜合題）4.1.3對(duì)課本編排的理解 課本在一開始復(fù)習(xí)反函數(shù)的概念，意圖是為說(shuō)明定義在上的正弦函數(shù)不存在反函數(shù)作準(zhǔn)備；接著說(shuō)明正弦函數(shù)在有反函數(shù)，但未說(shuō)明為何??；之后給出反正弦函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)以

18、及三種例題，課本的知識(shí)都是靜態(tài)的，其中的隱性知識(shí)、隱性問(wèn)題都沒(méi)有呈現(xiàn)。4.2反正弦函數(shù)的教學(xué)方法與策略知識(shí)是靜態(tài)的，認(rèn)識(shí)是動(dòng)態(tài)的，學(xué)科教學(xué)認(rèn)識(shí)是教師對(duì)教學(xué)法、學(xué)科內(nèi)容、學(xué)習(xí)特征和學(xué)習(xí)情境等四個(gè)構(gòu)成因素的綜合理解，總是處于連續(xù)的發(fā)展過(guò)程中，隨著學(xué)科教學(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)展，教師能夠依據(jù)他們的理解為學(xué)科中的特定內(nèi)容創(chuàng)造教學(xué)策略，幫助學(xué)生在既定的情境中構(gòu)建最有效的理解。（1）針對(duì)反正弦函數(shù)概念名稱本身的誤導(dǎo)的教學(xué)策略上位概念的回憶與強(qiáng)調(diào)。盡管課本一開始這里復(fù)習(xí)了反函數(shù)的概念，有的學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解是機(jī)械的，這就要教師幫助學(xué)生再回憶、教師再?gòu)?qiáng)調(diào)反函數(shù)概念，特別是“一一對(duì)應(yīng)”。另外，反函數(shù)是實(shí)數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而反正

19、弦函數(shù)初步理解是實(shí)數(shù)與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生可能有點(diǎn)轉(zhuǎn)不過(guò)彎，這就需要教師強(qiáng)調(diào)“反正弦函數(shù)是實(shí)數(shù)與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系”,以后再深化為反正弦函數(shù)其實(shí)還是實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)。（2）針對(duì)理解反正弦函數(shù)符號(hào)時(shí)的障礙的教學(xué)策略類比已學(xué)記號(hào)和介紹歷史淵源?！啊边@個(gè)記號(hào)與“”一樣都是數(shù)學(xué)家為了表達(dá)方便創(chuàng)造出來(lái)的，很多學(xué)生一開始會(huì)對(duì)此莫名其妙，他們會(huì)覺(jué)得還不如用“”好理解，其實(shí)歐美國(guó)家采用的就是“”，我們的計(jì)算器上也是用了這個(gè)記號(hào)，事實(shí)上這只是代號(hào)，用哪一個(gè)并不重要，但是因?yàn)槲覈?guó)教材采用的是“”，所以我們就以教材為本，尊重教材為先，而且“”其實(shí)也是有它的道理的，中是正弦，是什么意思呢？并不是“反”的意思，它是英文單詞，解

20、釋為“圓弧”，圓弧即圓周上的一段，那么圓弧與圓心角有什么關(guān)系呢？，在單位圓中，即，所以此時(shí)弧即角，角即弧。我們可以將理解作角，所以從字面上理解就是正弦值為所對(duì)應(yīng)的角，因此用記反正弦函數(shù)是有道理的，用這樣的數(shù)學(xué)歷史來(lái)解釋，學(xué)生也易于理解，易于接受。另一個(gè)解決辦法可以聯(lián)系舊知識(shí)，見(jiàn)4.3教學(xué)參考案例。（3）針對(duì)反正弦函數(shù)與三角函數(shù)概念混淆的教學(xué)策略設(shè)計(jì)例題對(duì)照。通過(guò)設(shè)計(jì)兩種函數(shù)的求值問(wèn)題，讓學(xué)生自己分辨模型。課本的例1中僅求反正弦三角函數(shù)值，教師可以在其中插入求正弦值的題，及時(shí)讓學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換正弦函數(shù)值和反正弦函數(shù)值。（4）針對(duì)作反正弦函數(shù)圖像出現(xiàn)的問(wèn)題的教學(xué)策略多媒體輔助和前期教學(xué)準(zhǔn)備?？梢宰寣W(xué)生

21、描多點(diǎn)來(lái)作出較為正確的圖像，但是動(dòng)手描點(diǎn)也有局限性，教師可以采用多媒體輔助示范。這里值得一提的是，的圖像必在直線的下方是在課本的配套練習(xí)冊(cè)數(shù)學(xué)練習(xí)部分高中一年級(jí)第二學(xué)期（試用本）的第五章三角比內(nèi)P32的復(fù)習(xí)題B組第一題中具體填表已經(jīng)研究過(guò)，在此練習(xí)冊(cè)的第六章三角函數(shù)的P40頁(yè)習(xí)題6.2的B組第二題也用三角函數(shù)證明了。4.3教學(xué)參考案例 （1）教學(xué)目標(biāo)：1. 經(jīng)歷在正弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間上建立反三角函數(shù)的過(guò)程；2. 理解反正弦函數(shù)的概念，知道它的圖像與性質(zhì)；3. 會(huì)用反正弦函數(shù)的值表示角的大??；4. 在問(wèn)題解決的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合等思想。（2）教學(xué)重點(diǎn)：反正弦函數(shù)的概念與性質(zhì)。（3）教學(xué)難點(diǎn)：反

22、正弦函數(shù)的概念、反正弦的符號(hào)、用反正弦函數(shù)的值表示角的大小。（4）教學(xué)過(guò)程：教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖一、 引入提問(wèn)1、 引例：若，求.2、 變式：若上題中“”改為“”，那么的值是什么？3、 正弦函數(shù)有沒(méi)有反函數(shù)？為什么？ 4、 如何限制正弦函數(shù)的定義域，使其存在反函數(shù)？5、 為什么選擇這個(gè)區(qū)間？可以選別的區(qū)間嗎？ 此處引例就是一個(gè)舊知，學(xué)生很容易解答，而變式題對(duì)于用慣計(jì)算器的學(xué)生來(lái)說(shuō)，自然而然使用計(jì)算器來(lái)解決，當(dāng)老師提醒：如果要求不能是近似值，而是要精確值呢？學(xué)生們都不知怎么辦了，這里就是利用舊知識(shí)來(lái)引入，目的引起知識(shí)需要，激發(fā)學(xué)生的求知欲。二、 反正弦函數(shù)的概念函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作，它

23、的值域?yàn)?。（說(shuō)明1、一個(gè)整體的符號(hào)， 2、的意義。）師：當(dāng)我們學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的時(shí)候,對(duì)于，想用的表達(dá)式來(lái)表示時(shí)，當(dāng)初是怎么寫的？生：師：對(duì)，那時(shí)我們就是創(chuàng)用了一個(gè)記號(hào)，它與互為逆運(yùn)算；現(xiàn)在這個(gè)與也是一樣。是一個(gè)整體，表示一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值是，而且.師：那么？生：，而且?guī)煟哼@個(gè)記號(hào)與其逆運(yùn)算結(jié)合在一起感覺(jué)是“無(wú)效”了，那我們還有沒(méi)有學(xué)過(guò)類似的結(jié)論。生：師：上述恒等式都是的特例生：老師，那還有：師：很好，但是有些恒等式要注意恒等范圍，怎樣的角經(jīng)過(guò)正弦運(yùn)算、再經(jīng)過(guò)反正弦運(yùn)算最終是本身？生：（經(jīng)過(guò)思考和討論后認(rèn)定），其中。 例1、（口答）求值：（1） （2） （3）（4） （5） （6） 此處引入時(shí)，把對(duì)數(shù)函數(shù)記號(hào)插入進(jìn)來(lái)讓學(xué)生感覺(jué)新記號(hào)不可怕，原來(lái)它的意義與已經(jīng)學(xué)過(guò)的記號(hào)是一樣的，這樣從心理上認(rèn)可了新記號(hào)：既然能學(xué)好對(duì)數(shù)記號(hào)，這個(gè)記號(hào)也不難。此處在老師的提示下讓學(xué)生聯(lián)想有關(guān)對(duì)數(shù)的兩個(gè)恒等式，在老師的進(jìn)一步點(diǎn)撥與小結(jié)下，學(xué)生還能創(chuàng)造出新的恒等式，學(xué)生很有成就感；當(dāng)然在一番滿足之后老師提出恒等范圍問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造還需數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)精神，從而對(duì)這一恒等式的注意點(diǎn)印象