函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式課件

1、返回第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？ 二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何條件？二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何條件？ 三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？返回一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？一、為何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想： 將復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，用簡(jiǎn)將復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，用簡(jiǎn) 單的函數(shù)表示復(fù)雜的函數(shù)。單的函數(shù)表示復(fù)雜的函數(shù)。復(fù)雜的復(fù)雜的函數(shù)函數(shù) 簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的函數(shù)函數(shù)數(shù)學(xué)的方法數(shù)學(xué)的方法在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要將一個(gè)函數(shù)表示在實(shí)際問(wèn)題中，我們需要將一個(gè)函數(shù)表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)形式。成一個(gè)冪級(jí)數(shù)形式

2、。問(wèn)題：計(jì)算機(jī)是如何計(jì)算問(wèn)題：計(jì)算機(jī)是如何計(jì)算sin(x)的函數(shù)值的？的函數(shù)值的？返回二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？nnnxxaxf)()(00 該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意給定的函數(shù)該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意給定的函數(shù) f(x)(2) 如果能展開(kāi)如果能展開(kāi), 是什么是什么?na(3) 展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一?(1)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?返回證明證明即即內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)具有任

3、意階導(dǎo)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開(kāi)成展開(kāi)成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開(kāi)式是唯一的且展開(kāi)式是唯一的. .（定理（定理1回答了問(wèn)題二）回答了問(wèn)題二）將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)需要何種條件？返回 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開(kāi)式是唯一的的展開(kāi)式是唯一的xf 10021)()(2

4、)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)返回nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義只要函數(shù)只要函數(shù)f(x)在已知點(diǎn)任意階可導(dǎo)，在已知點(diǎn)任意階可導(dǎo)，f(x)在該在該點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)總是可以寫(xiě)出的，那末這個(gè)泰點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)總是可以寫(xiě)出的，那末這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于f(x)呢呢?不一定不一定.即即問(wèn)題：?jiǎn)栴}：返回 0,00,)(21xxexfx例例如如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麥麥?zhǔn)鲜霞?jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級(jí)數(shù)在該級(jí)數(shù)在可見(jiàn)可

5、見(jiàn)).()(,0 xfxfs于于的的麥麥?zhǔn)鲜霞?jí)級(jí)數(shù)數(shù)處處處處不不收收斂斂外外除除 在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),0limx )0(f 0021xex0limx 211xex0limx212xex0 比如比如洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則返回定定理理 2 2 )(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)(

6、)(lim1xsxfnn ;0 返回充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于定定理理 2 2 )(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .返回三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？三、如何將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)？1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:).(xf斂斂于于則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收并并求求其其收收斂斂域域的的冪冪級(jí)級(jí)

7、數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)寫(xiě)寫(xiě)出出求求 0000)()()(,!)()1(nnnnnxxaxxfnxfa如條件滿(mǎn)足，如條件滿(mǎn)足，(2) (2) 判定判定 是否成立？是否成立？0)(lim xRnn返回例例1解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn),(!1! 2112 xxnxxenx R111)1()!1()!1()!1()()( nxnnnnxnexnexnfxR 01!)!1(,nnnxnxnxex的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)是是收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)而而有有界界確確定定后后當(dāng)當(dāng))( , 0 n的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成將將xex.!.! 21!02 nnnxnxxnxe 的的麥麥

8、克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為返回例例2.sin)(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )(xRn且且 1)!1(2)1(sin nxnn 0 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x)!1(1 nxn返回例例3.)()1()(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成將將xRxxf 解解: :)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在

9、x有如下牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式（展開(kāi)過(guò)程略）有如下牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式（展開(kāi)過(guò)程略）返回有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘返回2.間接法間接法此方法簡(jiǎn)單易行，效果好，是以后將函數(shù)展開(kāi)此方法簡(jiǎn)單易行，效果好，是以后將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的主要方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。成冪級(jí)數(shù)的主要方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。返回例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxn

10、n),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn返回例：將例：將y=xarctanx展成展成x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得討論余項(xiàng)討論余項(xiàng)Rn(x)。 。從而得從而得故故由于由于1,121)1(arctan 1,121)1( )1()1( 11)arctan(arctan, 1,)1(11 0220120200020200 xxnxxyxxndxxdxxdxxdxxxxxxnnnnnnnnxnxnnnxxnnn若用間接方法，就很簡(jiǎn)便。若用間接方法，就很簡(jiǎn)便。返回 xxdxx021arc

11、tan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x nnnxxxxx20111211x 02)(nnx)(112x 返回例例4處處展展開(kāi)開(kāi)成成泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(313322返回xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(3133223

12、1 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 返回返回Ex將函數(shù)將函數(shù) 21xxf在在0 x和和2x間接展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。間接展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。nnnxxxxx20111 21xxf)2(1121xnnx)2(210012) 1(nnnnx1 , 12 , 2 21xxf)42(1141xnnx)42(410014)2() 1(nnnnx6 , 2返回Ex將函數(shù)將函數(shù)xsin展開(kāi)成展開(kāi)成4x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。xsin)4(4sinx)4sin(4cos)4cos(4sinxx)4sin()4cos(21xx)!12() 1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn,x! 5)(! 3)()4()4sin(5434xxxx,x返回)!2() 1(! 4! 21cos242nxxxxnn,x! 4)(! 2)(1)4cos(4424xxx,xxsin)4sin()4cos(21xx! 3)(! 2)()4(1 213424xxx,x返回內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式xe1),(x)1 (lnxx