存在性與恒成立(共4頁)

1、專題訓(xùn)練 恒成立存在性問題知識點梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價于在D上的最大值.4、 設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則5、 設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則。6、 設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則在上的值域M是在上的值域N的子集。即：MN。7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；10、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象

2、在函數(shù)圖象下方；題型一、常見方法1、已知函數(shù)，其中，1）對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；2）對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【分析：】1）思路、等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決2）思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)和分別求最值，即只需滿足即可簡解：（1）由成立，只需滿足的最小值大于即可對求導(dǎo)，故在是增函數(shù)，所以的取值范圍是 2、設(shè)函數(shù)，對任意，都有在恒成立，求實數(shù)的取值范圍分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個參數(shù)，再處理另一個參數(shù)以本題為例，實質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法1：化歸最值，；方法2：變量分離，或；方法3：變更主元，簡解：方法1:對求導(dǎo)，由此可

3、知，在上的最大值為與中的較大者，對于任意，得的取值范圍是3、已知兩函數(shù)，對任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為 解析：對任意，存在，使得等價于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，4. 已知在與處都取得極值. 函數(shù)，若對任意的，總存在，使得、，求實數(shù)的取值范圍。解析： 在與處都取得極值， 解得：當(dāng)時，所以函數(shù)在與處都取得極值. 又 函數(shù)在上遞減， 又 函數(shù)圖象的對稱軸是（1）當(dāng)時：，依題意有 成立， （2）當(dāng)時：， ，即， 解得： 又 ，（3）當(dāng)時：， ， ， 又 ，綜上： 所以，實數(shù)的取值范圍為 題型二、主參換位法(已知某個參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù))1、對于滿足的所有實數(shù)p,求

4、使不等式恒成立的x的取值范圍。解：不等式即,設(shè)，則在-2,2上恒大于0，故有：或2、已知函數(shù)是實數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，()求的值；()若上恒成立，求的取值范圍；O ()分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0恒成立的問題。()略解：由()知：，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述結(jié)論：可令,則，而恒成立，。題型三、分離參數(shù)法（欲求某個參數(shù)的范圍，就把這個參數(shù)分離出來）1、當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時，由得.題型四、數(shù)形結(jié)合（

5、恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點、根的分布法）1、若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_解析：對,不等式恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。2、已知函數(shù)，在恒有，求實數(shù)的取值范圍。分析：為了使在恒成立，構(gòu)造一個新函數(shù)，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時恒大于等于的問題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分類討論，使問題得到圓滿解決。解：令，則對恒成立，而是開口向上的拋物線。當(dāng)圖象與x軸無交點滿足，即，解得。當(dāng)圖象與x軸有交點，且在時，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識及圖象可得：解得，故由知。小結(jié)：若二次函數(shù)大于0恒成立，則有，同理，若二次函數(shù)小于0恒成立，則有。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問

6、題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間D上的.1、存在實數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為_。解：設(shè)，由有解，又，解得。2、已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍解： 因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.即能成立, 設(shè).由得, .于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式對時恒成立，。即的上界小于或等于；不等式

7、對時有解，。 或的下界小于或等于；不等式對時恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對時有解，.。 或的上界大于或等于；題型六、等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法1 已知函數(shù)且有極值（I）求實數(shù)a的取值范圍；（）若l<m<n<e，證明；（）函數(shù)證明：使得成立課后作業(yè)：1、設(shè)，若對于任意的，都有滿足方程，這時的取值集合為（ ）（A） （B） （C） （D）2、若任意滿足的實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是_。 3、不等式有解，則的取值范圍是 4、不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。5、已知兩函數(shù)，。（1）對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍；（4）存在，都有，求實數(shù)的取值范圍；6、設(shè)函數(shù). （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式成立，求a的取值范圍。7、已知A、B、C是直線上的三點，向量，滿足：.（1）求函數(shù)yf(x)的表達式；（2）若x0，證明：f(x)；（3）若不等式時，