八年級(jí)整式的乘法與因式分解專題練習(xí)(解析版)

1、-X八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）1.因式分解是多項(xiàng)式理論的中心內(nèi)容之一，是代數(shù)中一種重要的恒等變形，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 和科學(xué)技術(shù)不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí).在初中階段，它是分式中研究約分、通分、分式的化簡(jiǎn) 和計(jì)算的基礎(chǔ)：利用因式分解的知識(shí)，有時(shí)可使某些數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)便因式分解的方法很 多，請(qǐng)根拯提示完成下而的因式分解并利用這個(gè)因式分解解決提出的問題.（1）填空:卜冋()64 + (6于+( ) +弓-（64÷÷（2）解決問題，計(jì)算：7£1 - 2+2X2 1jr+x + ,2)42.5,30.5:1457【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算可

2、得;（2）利用前面所得規(guī)律變形即可.【詳解】（1）4+ = 2）2+A-2 + i -X2.IY .f+-A"2丿宀胡(宀T6弓+ 6+ -62=42.5 × 30.5故答案為：x+1-x + -2丿6弓+ 6贋+”, 42.5,30.5:（62 ÷6÷（62 -6÷2 +8 + ¾82 8 + l）（于+5 + 加 +齊7 + /八7 +另_ 42.5×30.3×72.5×56.5_ 30.5 × 20.5 × 56.5 × 42.5145-IT【點(diǎn)睛本題考查了因式分解的應(yīng)

3、用；熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵.2數(shù)學(xué)活動(dòng)課上老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片邊長(zhǎng)為。的正方形.3中紙片是邊長(zhǎng)為&的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為“、寬為b的長(zhǎng)方形.并用A種紙片一 張，種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形1b（1）請(qǐng)問兩種不同的方法求圖2大正方形的而積.方法S=；方法2： S=（2）觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b.a2+bab之間的等量關(guān)系.（3根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題： 已知：a + b = 5,a2+b2=f 求db的值； 已知（2020-。+（。一2019）'=5,則（202O-G）（G-2019）的

4、值是_【答案】(i) (d + b)', a2+2ab+b2(2) (a + b)2 =a2+2ab+b2 ；(3)®ab = 7.-2【解析】【分析】(1) 依據(jù)正方形的而積訃算公式即可得到結(jié)論；(2) 依據(jù)(1)中的代數(shù)式，即可得出(a+b) 2, a2+b2, ab之間的等量關(guān)系：(3) 依據(jù)a+b=5,可得(a+b) 2=25,進(jìn)而得出a2+b2+2ab=25,再根據(jù)a2+b2=ll,即可得 到 ab=7：設(shè) 2020-a=x, a-2O19=y,即可得到 ×+y=l, x2+y2=5,依據(jù)(x+y) 2=x2+2xy+y2,即可得岀 Xy= (V+ y)

5、-(V+V) = _2 ,進(jìn)而得到(2020-6z)(-2019)=-2.2【詳解】解：(1)圖2大正方形的而積=("+b)2,圖2大正方形的面積=a2 + 2ab+b2故答案為:(a + b)2» a2 +2ab+b1: 由題可得(a + h)2t a2+b2 ”之間的等量關(guān)系為：=a1+2cb + b1故答 案為：( + b)'=+2""+b2;(3) .( + b)2-(+) = 2.2ab = 5 - 1 = 14. ab = l設(shè) 2020-a=× a-2O19=yt 則 ×+y=l>(2020-a)，+(d-

6、2019)'=5,x2+y2=5tT (×+y) 2=x2+2×y+y2,.4+y)=(f.2即(2020 _ ) (“ _ 2019) = -2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.3. 材料：數(shù)學(xué)興趣一小組的同學(xué)對(duì)完全平方公式進(jìn)行研究：因(a-b)20,將左邊展開 得到 U2 -2ab + /n,移項(xiàng)可得：a2 +b2 Iab數(shù)學(xué)興趣二小組受興趣一小組的啟示，繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)非負(fù)數(shù)加、"，都存 在m + n2応,并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)加、”的和一定存在著一個(gè)最小值.根拯材料，解答下列問題：夕/

7、1 A2(1) (2x)2+(5y)2 (x>0, y>0) ； X2 + - >J(x>0)：(2) 求6x + -(x>0)的最小值：9（3）已知x>3當(dāng)X為何值時(shí)，代數(shù)式2x + 2007有最小值，并求出這個(gè)最小2x 6值.L99【答案】（1） 20Xy , 2；（2） 215 ：（3）當(dāng) = 時(shí)，代數(shù)式2x + 2007 的22x-6最小值為2019.【解析】【分析】（1）根據(jù)閱讀材料即可得出結(jié)論：（2）根據(jù)閱讀材料介紹的方法即可得出結(jié)論：9（3）把已知代數(shù)式變?yōu)?x-6 + 2013,再利用閱讀材料介紹的方法，即可得到2x-6結(jié)論.【詳解】（1）.

8、*>0, y>o,.,.（2x）" +（5y）2 2×2x5y = 20>',V X > 0,2x- = 2X（2）當(dāng)x>0時(shí)，2x.二均為正數(shù)，Ix.6x + - 26x- = 215所以，6% + 的最小值為2152x9（3）當(dāng)x>3時(shí)，2廠，2*6均為正數(shù),2x-69 2, 4+ 20072x-6“9= 2-6 + 20132x-6嗎（27呂+2?！?辰2。13= 2019由（a-b 0可知，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，a2+b2取最小值,99當(dāng)2x-6 =,即x =時(shí)，有最小值.2x-62V×>399故當(dāng)x =時(shí)

9、，代數(shù)式2x + 27的最小值為2019.22- 6【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料所介紹的方法.4. 閱讀下列材料，然后解答問題：?jiǎn)栴}：分解因式：+4-5.解答：把X = I帶入多項(xiàng)式+4-5,發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0,由此確泄多項(xiàng)式+4x2-5 中有因式(X-1),于是可設(shè)X3 ÷4x2-5 =(x-l)(x2 +zwx+m),分別求出 m , H的值.再代入-V3 +42 -5 = (x-1)( +nx + ),就容易分解多項(xiàng)式X3 +4x2-5，這種分解因式的方法叫做"試根法"(1) 求上述式子中山，H的值：(2) 請(qǐng)你用

10、"試根法"分解因式: + -9-9【答案】(1)加=5, ” = 5： (2) (x+l)(x+3)(x-3)【解析】【分析】(1) 先找出一個(gè)X的值，進(jìn)而找岀一個(gè)因式，再將多項(xiàng)式設(shè)成分解因式的形式，即可得出 結(jié)論：(2) 先找出X=I時(shí)，得出多項(xiàng)式的值，進(jìn)而找出一個(gè)因式，再將多項(xiàng)式設(shè)成分解因式的 形式，即可得出結(jié)論.【詳解】解：(I)把X = I帶入多項(xiàng)式+4-5.發(fā)現(xiàn)此多項(xiàng)式的值為0,多項(xiàng)式疋+4x2-5中有因式(X-I),于是可設(shè)jv'+4x' 5= -I 2 + mx + H ,得出：X ÷4.V2 -5 = AJ + 77J-1 X2 +

11、 H 一？ X ,: n-1=4 , n-m = 0 , ItI = 5 , /2= 5 >(2) 把 = -l代入扌+工_9尤_9,多項(xiàng)式的值為0,多項(xiàng)式3÷2-9x-9中有因式(X + 1)，于是可設(shè)x'+ ' 9x 9 = x 1 x2 + Inx + n = Xi 4- m +1 X2 + n + m x + ,： ? + I = It n-m = -9 9 W =9 IiI = Of n = 9,. X3 4-x2 9x 9 = *+l x2 9 = X-I-I 3 a 3【點(diǎn)睛此題是分解因式，主要考査了試根法分解因式的理解和掌握，解本題的關(guān)鍵是理解試

12、根法 分解因式.5. 把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得 到一個(gè)等式，也可以求岀一些不規(guī)則圖形的面積.例如，由圖 1,可得等式：(a+2b) (a+b) =a2+3ab+2b2a bCOCbG(1) 如圖2,將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試 用不同的形式表示這個(gè)大正方形的而積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái).圖1圖2圖3(2) 利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c=H, ab+bc+ac二38,求a：+b：+CU 的值.(3) 如圖3,將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B, C, G三

13、點(diǎn)在同一直線上， 連接BD和BF.若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10, ab=20,請(qǐng)求出陰影部分的面積.【答案】(1) (a+b+c) +b3+c=÷2ab+2bc÷2ac:(2) 45；(3) 20.【解析】【分析】(1) 此題根據(jù)而積的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種可以是3個(gè)正方形的而 積和6個(gè)矩形的而積，種是大正方形的而積，可得等式(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac:(2) 利用(1)中的等式直接代入求得答案即可：(3) 利用S陰薩正方形ABCD的而積+正方形ECGF的而積-三角形BGF的而積-三角形ABD 的面積求解.【詳解】

14、(1 ) ( a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2 ) *.,a+b+c=ll , ab+bc+ac=38 , a2+b2+c2 - ( a+b+c ) 2 - 2 ( ab+ac+bc ) =121 - 76=45 ；(3 ) Va+b=10 , ab=20 I.".S >=2+b2 - ( a+b ) b - a22 2IIl=a2+ b2 - ab2 2 21 3=(a+b )2. ab2 21 23=-×102 - -×202 2=50 - 30=20【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與

15、拼合，會(huì)用不同的方法表示同一圖形的而積.6. 若一個(gè)正整數(shù)X能表示成a2-b2(c,b是正整數(shù)，且a>b)的形式，則稱這個(gè)數(shù)為"明禮崇徳數(shù)"，與”是X的一個(gè)平方差分解例如：因?yàn)? = 32 -22,所以5是"明禮崇徳數(shù)"，3 與 2 是 5 的平方差分解：再如：Mx2+2xy = x2 + 2xy + y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整數(shù))，所以M也是"明禮崇徳數(shù)"，( + y)與V是M的一個(gè)平方差分解.判斷：9"明禮崇徳數(shù)"(填"是"或"不是”)：已知N = X2-)

16、,2+4-6y + x,y是正整數(shù)，R是常數(shù)，且x>y + )t要使N是"明禮崇徳數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)R值，并說(shuō)明理由：(3) 對(duì)于一個(gè)三位數(shù)，如果滿足十位數(shù)字是7,且個(gè)位數(shù)字比百位數(shù)字大7,稱這個(gè)三位數(shù)為"七喜數(shù)".若加既是"七喜數(shù)”，又是"明禮崇徳數(shù)"，請(qǐng)求出加的所有平方差分解.【答案】(I)是：(2) k=5：(3) m=279 , 279 = 482 - 452 , 279 = 202-Il2.【解析】【分析】根據(jù)9=52-42,確定9是“明禮崇德數(shù)”;(2)根據(jù)題意分析N應(yīng)是兩個(gè)完全平方式的差，得到k=-5,將k

17、=5代入訃算即可將N平方差分解，得到答案：確芒七喜數(shù)Jn的值，分別將其平方差分解即可.【詳解】(1) V9=52-42,.9是“明禮崇徳數(shù)"，故答案為：是：(2) 當(dāng)k=5時(shí)，N是“明禮崇徳數(shù)"，.當(dāng)k=-5時(shí)，N =x2 -y2 +4x-6y-5 t=x2 -y2 +4x-6y+ 4-9 = (x2 +4x + 4)-(y2 +6y+ 9) >= (x + 2)2-(y + 3)2,=(, + 2 + y + 3)(X + 2 y 3)= (x+y + 5)(x-y-l).x,y是正整數(shù)，且X>y + 1,N是正整數(shù)，符合題意，當(dāng)k=5時(shí)，N是“明禮崇徳數(shù)“：

18、(3) 由題意得：“七喜數(shù)"m=178或279,設(shè) m =a2 -IJr- (a+b) (a-b),當(dāng)m=178時(shí)，V 178=2 × 89,a + b = 89a-h = 2(不合題意，舍去)：a = 45.5 得b = 43.5 當(dāng)m=279時(shí),V279=3×93=9×3ha + b = 93M'得a = 48 7 = 45, 279 = 482-452,a + h = 31 a-b = 9a = 20/? = 11 279 = 202-IlS既是“七喜數(shù)又是"明禮崇徳數(shù)'的m是279 , 279 = 482 - 452 &

19、gt; 279 = 202-ll2.【點(diǎn)睛】此題考查因式分解，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解此題的前提，(3)是此題的難 點(diǎn)，解題時(shí)需根據(jù)百位與個(gè)位數(shù)字的關(guān)系確左具體的數(shù)據(jù)，再根據(jù)“明禮崇徳數(shù)”的要求進(jìn) 行平方差分解7. 把代數(shù)式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)性這一性質(zhì)增加 問題的條件，這種解題方法通常被稱為配方法.配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題 等都有著廣泛的應(yīng)用.例如：若代數(shù)式M=a2 - 2ab+2b2 - 2b+2,利用配方法求M的最小值：a2 - 2ab+2b2 - 26+2 =a2 - 2ab+b2+b2 - 2b+l+l= ( - b) 2+

20、(b - 1) 2+l.V (-b) 20>(b- 1) 20,當(dāng)a=b=l時(shí)，代數(shù)式M有最小值1.請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：(1) 在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：2+4+:(2) 若代數(shù)式M=丄/+2+l,求M的最小值；4(3) 已知 2+2b2+4c2 - 2ab 2b 4c+2=0,求代數(shù)式 +b+c 的值.【答案】(1)4：(2) M的最小值為-3：(3) o+b+c=2丄.2【解析】【分析】(1) 根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半進(jìn)行配方即可：(2) 先提取;，將二次項(xiàng)系數(shù)化為再配成完全平方，即可得答案；4(3) 將等式左邊進(jìn)行配方，利用偶次方的非負(fù)性可得a, b,

21、 C的值，從而問題得解.【詳解】(1) Va2÷4a+4= (a+2) 2故答案為：4：(2) M=-a2+2a+l4=(a2+8a+16)34=-(a+4) 2 34AM的最小值為-3(3) Va2+2b2+4c2 2ab - 2b - 4c+2=0, (a-b) 2+ (b- 1) 2+ (2c- 1) 2=0,a - b=0, b - 1=0, 2c - 1=0a = b=l, C=- >2.a+b+c=2 -.2【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟.注意在變形的過程中不要改變式 子的值.8. (1)閱讀下列文字與例題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或

22、運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法例如：am + an + bn + bn = (Um + bm) + (Un + bn) = m(a + h) + n(a + b) = (“ + b)(n + n).X2 -y2 -2y-l = F -(y2 +2y + l) = 2 一(y+ 1)，=(x + y+ l)(x-y-l)試用上述方法分解因式a2+2ab + ac + bc + b2 =(2)利用分解因式說(shuō)明:(n + 5)2-(w-l)2能被12整除.【答案】(I) (d + 0(d + b + c):(2)證明見解析.【解析】【分析】(1) a2+2ab+ac+bc+b2可以進(jìn)彳亍分組變成

23、(a2+2ab+b2) + (ac+bc),則前邊括號(hào)內(nèi)的三項(xiàng) 可以利用完全平方公式分解，后邊的三項(xiàng)可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分 解.(2)先利用平方差公式將(n + 5)2-(w-l)2進(jìn)行因式分解,之后即可得出答案.【詳解】(1) 原式=(«2 +lab + b2 + (ac+bc)= (i+b)2 +c( + b)= (d+b)(d+b + c)(2) (n + 5)2 -OJ-1)2= (zz + 5)+(n-l )(n + 5)-(n-l)= 6(2“+ 4)= 12(" + 2)(" + 5)2 -(M-1)2 能被 12 整除.【點(diǎn)睛】本

24、題考查分組分解的因式分解方法，做題時(shí)先分析題中給的例子是解題關(guān)鍵.9. 仔細(xì)閱讀下而例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式2-4x + m有一個(gè)因式是(X + 3),求另一個(gè)因式以及m的值.解：設(shè)另一個(gè)因式為(x + n),得X2 -4x + m = (x+3)(x + n)則 X2 -4x + m = x2 +(n + 3)x + 3nn÷3一I. m = 3n .解得：n = 7 » m = 21二另一個(gè)因式為(x-7), m的值為-21問題：仿照以上方法解答下而問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+3x-k有一個(gè)因式是(2x-5),求另一個(gè)因式以及k的值.【答案】(x+4), 2

25、0.【解析】【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個(gè)式子的關(guān)系，二次三項(xiàng)式x2-4x + m的二次項(xiàng)系數(shù)是1，因式是 (x + 3)的一次項(xiàng)系數(shù)也是1，利用待定系數(shù)法求出另一個(gè)因式所求的式子2x2+3x-k 的二次項(xiàng)系數(shù)是2,因式是(2x-5)的一次項(xiàng)系數(shù)是2,則另一個(gè)因式的一次項(xiàng)系數(shù)一定是 1.利用待泄系數(shù)法，就可以求岀另一個(gè)因式.【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為(x + a),得2x2 +3x-k = (2x-5)(x + a) 則 2x' +3x-k = 2x2 +(2a-5)x-5a解得：a = 4, k = 20故另一個(gè)因式為（x+4）, k的值為20【點(diǎn)睛】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵.10. （觀察）1×49=49 , 2