可導與連續(xù)的關系及四則運算法則課件

1、2.4 導數(shù)的計算導數(shù)的計算2.4.1 函數(shù)可導與連續(xù)的關系函數(shù)可導與連續(xù)的關系A. 可導的充要條件可導的充要條件Axyaxfyox lim,)(即即處處可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)時時的的無無窮窮小小。是是其其中中0)()( xAxafxafxy 基本極限定理基本極限定理B. 可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系定理定理 23必必連連續(xù)續(xù)。在在點點處處可可導導，則則在在點點若若函函數(shù)數(shù)axfaxfy)()( 注：反之不成立，注：反之不成立， 即函數(shù)在某一點連續(xù)即函數(shù)在某一點連續(xù),但不一定在此點可導。但不一定在此點可導。證明：證明：，已知已知axafxfafax )()(lim)( )()(limaf

2、xfax 則則)()()(limaxaxafxfax )(lim)()(limaxaxafxfaxax 0 必必連連續(xù)續(xù)。在在點點說說明明axf)()(連連續(xù)續(xù)可可導導 處處的的可可導導性性與與連連續(xù)續(xù)性性。在在討討論論0|)( xxxf可導、連續(xù)、極限之間的關系：可導、連續(xù)、極限之間的關系：可導可導連續(xù)連續(xù)極限存在極限存在解：解：0|lim0 xx)0(f 連續(xù)；連續(xù)；在在0|)( xxxf00|lim0 xxx但但是是，xxx|lim0 極限不存在極限不存在不不可可導導在在0|)( xxxf例例1.可導的幾何形式可導的幾何形式-曲線是光滑的曲線是光滑的.xy0例例2.處的可導性。處的可導性

3、。在在討論函數(shù)討論函數(shù)032 xxy 3032001lim0)(limlimxxxxyxxx解解：極限不存在極限不存在,故函數(shù)在故函數(shù)在x=0不可導不可導.但函數(shù)在但函數(shù)在x=0連續(xù)連續(xù).右導數(shù)右導數(shù)的右導數(shù)，的右導數(shù)，在在存在，則稱之為存在，則稱之為若極限若極限000)()()(lim0 xxfhxfhxfh 左導數(shù)左導數(shù)的的左左導導數(shù)數(shù)，在在存存在在，則則稱稱之之為為若若極極限限000)()()(lim0 xxfhxfhxfh 。記記為為)(xf 。記記為為)(xf C. 單側導數(shù)單側導數(shù)定理定理 24（可導的充要條件）（可導的充要條件）.)()()(000都都存存在在且且相相等等與與可可

4、導導在在點點xfxfxxf 定義定義在在則則存存在在，與與內內可可導導，且且在在若若)()()(),()(xfbfafbaxf 上可導。上可導。閉區(qū)間閉區(qū)間,ba必不可導。必不可導。不連續(xù)，則在不連續(xù)，則在在點在點aaxf)() I (不不可可導導。在在都都存存在在但但不不相相等等，則則與與axfafaf)()()(II)( )()()(lim)()III( afaxafxfaxfax記為記為連續(xù)，但連續(xù)，但在在垂直的切線。垂直的切線。有有在在不可導，但不可導，但在在此時此時axfaxf)()(不可導情形不可導情形的的切切線線，有有非非垂垂直直在在可可導導，則則在在若若axfyaxf)()()

5、1( 。斜斜率率為為)(afk 一一定定不不可可導導。切切線線不不存存在在，)()2(xf(3) 不可導不一定不存在切線，可能有垂直的不可導不一定不存在切線，可能有垂直的切線切線可導與切線關系：可導與切線關系：處處的的可可導導性性。在在點點討討論論設設0)(, 0, 0, 0,1sin)( xxgxxxxxg解：解：0)0()(lim0 xgxgx001sinlim0 xxxxxx1sinlim0 此極限不存在此極限不存在xy實際上，此時出現(xiàn)切線實際上，此時出現(xiàn)切線來回擺動的情形來回擺動的情形不不可可導導在在0)( xxg例例3.處的可導性。處的可導性。在在討論討論0)(31 xxxf例例4.

6、解：解：0)0()(lim0 xfxfx 3/20lim xx處不可導。處不可導。在在0)(3/1 xxxf0:0)(3/1 xxxxf處處有有切切線線在在但但例例5.處處無無切切線線，在在0|)( xxxf1)0(1)0( ff解：解：且且無無切切線線。處處不不可可導導在在,0|)( xxxf2.4.2 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則0. 1 ）（Cxxcos)(sin. 2 xxxxxx sin)sin(lim)(sin0 xxxxx 2sin)2cos(2lim022sinlim)2cos(lim00 xxxxxx xxcos1cos 幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)

7、：幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)：xxsin)(cos. 3 xxxxxx cos)cos(lim)(cos0 xxxxx 2sin)2sin(2lim022sinlim)2sin(lim00 xxxxxx xxsin1sin xx1)(ln. 4 如何求函數(shù)如何求函數(shù)xxxxxyxxcos5logsin33323 xxxxxxxxxx )1ln(limln)ln(lim)(ln00 xxxx 0limxxx11lim0 的導數(shù)？的導數(shù)？存存在在，則則，若若)()(xgxf ，)()()()()1(xgxfxgxf ，)()()()()()()2(xgxfxgxfxgxf 。)()()()()()()

8、()3(2xgxgxfxgxfxgxf 定理定理25(導數(shù)的四則運算法則導數(shù)的四則運算法則)（輪流求導）（輪流求導）與與乘乘法法的的不不同同。）（注注意意分分子子上上的的表表達達式式 ，)()()1(xfcxfc ，存在存在為常數(shù)，為常數(shù)，)(,),(),(,)2(2121xfxfxfcccnn niiiniiixfcxfc11)( )(則則 )()()(21xfxfxfn )()()()()()()()()(112121xfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnn 則則，存在存在)(,),(),()3(21xfxfxfn 推廣推廣(齊次性齊次性)(線性組合線性組合)(有限積有限積)axxaln1)(log. 5 axxaaxaxxaln11ln1ln)(ln)lnln()(log xx2sec)(tan. 6 xxxxxxxxxx222seccos1cos)sin(sincoscos)cossin()(tan xx2csc)(cot. 7 xxxxxxxxxx222cscsin1sincoscossinsin)sincos(