微積分知識點

1、一、多元函數(shù)的微分學(xué)二元函數(shù)的定義設(shè)有兩個獨立的變量x 與 y 在其給定的 變域中 D 中，任取一組數(shù)值時， 第三個變量z 就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量z 稱為變量x 與 y 的二元函數(shù) 。記作： z=f(x,y).其中 x 與 y 稱為 自變量 ，函數(shù) z 也叫做 因變量 ，自變量x 與 y 的變域 D稱為函數(shù)的 定義域 。關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間. 二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的 部分平面 . 這樣的部分在平面稱為區(qū)域 . 圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點 ，包括邊界在

2、內(nèi)的區(qū)域稱為 閉域 ，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域 。如果一個區(qū)域D(開域或閉域 ) 中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱 D為有界區(qū)域 ；否則稱D 為無界區(qū)域 。常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：例題： 求的定義域.解答： 該函數(shù)的定義域為： x,y 0.二元函數(shù)的幾何表示把自變量x、y 及因變量z 當(dāng)作空間點的直角坐標(biāo)，先在xOy 平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域點 M(x,y) 作垂直于xOy 平面的有向線段MP,使其值為與 (x,y)對應(yīng)的函數(shù)值z；D；再過D域中得任一當(dāng) M點在 D中變動時， 對應(yīng)的 P 點的軌跡就是函數(shù) z=f(x,y) 的幾何圖形 . 它通常是

3、一張曲面，其定義域 D就是此曲面在 xOy 平面上的投影。二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性在一元函數(shù)中，我們曾學(xué)習(xí)過當(dāng)自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限。對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學(xué)習(xí)當(dāng)自變量 x 與 y 趨向于有限值 與 時，函數(shù)z 的變化狀態(tài) 。在平面 xOy 上， (x,y)趨向 ( , ) 的方式可以時多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。如果當(dāng)點(x,y)以任意方式趨向點( , ) 時， f(x,y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，那末就稱A 是二元函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)( , ) 時的 極限 。這種極限通常稱為二重極限 。下面我們用 - 語言給出二重極限的嚴(yán)格定義

4、：二重極限的定義如果定義于 ( , ) 的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A 有如下關(guān)系：對于任意給定的正數(shù) ，無論怎樣小，相應(yīng)的必有另一個正數(shù) ，凡是滿足的一切 (x,y)都使不等式成立，那末常數(shù)A 稱為函數(shù) f(x,y)當(dāng)(x,y) ( , ) 時的二重極限 。正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：二重極限的運算法則如果當(dāng)（ x,y) ( , ) 時， f(x,y)A，g(x,y) B.那末 (1) ： f(x,y)±g(x,y) A±B；(2)： f(x,y). g(x,y) A. B；(3)： f(x,y)/g(x,y)A/B；其

5、中 B0像一元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：二元函數(shù)的連續(xù)性如果當(dāng)點 (x,y) 趨向點 (x 0,y 0) 時，函數(shù) f(x,y)的二重極限等于f(x,y) 在點 (x 0,y 0) 處的函數(shù)值 f(x 0,y 0) ，那末 稱函數(shù) f(x,y)在點 (x0,y ) 處連續(xù) . 如果 f(x,y)在區(qū)域 D的每一點都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù) 。0如果函數(shù) z=f(x,y) 在 (x 0,y0) 不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x 0,y 0) 是 f(x,y) 的一個 間斷點 。關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況

6、要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了有間斷點，還有間斷線 。二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商( 分母不為零）和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。例題： 求下面函數(shù)的間斷線解答： x=0 與 y=0 都是函數(shù)的間斷線。偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)中， 我們已經(jīng)知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的多了一個，情況就要復(fù)雜的多. 在 xOy 平面內(nèi)，當(dāng)變點由(x 0,y 0) 沿不同方向變化時，函數(shù)的，因此就需要研究f(x,y)在 (x 0,y 0) 點處沿不同方向的變化率。在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于x 軸和平行于y 軸兩個特殊方位變動時f(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點 (x 0,y 0

7、) 是其定義域D 內(nèi)一點 . 把 y 固定在 y0 而讓 x 在" 變化率 " 。然而，由于自變量f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的變化率 。x0 有增量 x，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對x 的偏增量) xz=f(x0+x)-f(x0,y0).如果 x z 與x 之比當(dāng) x0 時的極限存在，那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在 (x0,y0) 處對x 的偏導(dǎo)數(shù) 。記作： f'x(x ,y ) 或00關(guān)于對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的問題函數(shù) z=f(x,y)在 (x 0,y 0) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，實際上就是把y 固定在 y0 看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x

8、,y 0 ) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)同樣，把 x 固定在 x , 讓 y 有增量 y, 如果極限0存在，那末此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x 0,y 0) 處對 y 的偏導(dǎo)數(shù) .記作f'y (x 0,y0) 或偏導(dǎo)數(shù)的求法當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在 (x 0,y0) 的兩個偏導(dǎo)數(shù)f'x (x 0,y0) 與f'y (x 0,y0) 都存在時，我們稱 f(x,y)在 (x 0,y 0) 處可導(dǎo) 。如果函數(shù)f(x,y)在域 D 的每一點均可導(dǎo)，那末稱函數(shù)f(x,y)在域 D 可導(dǎo) 。此時，對應(yīng)于域D 的每一點 (x,y)，必有一個對x( 對 y) 的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個

9、新的二元函數(shù)，稱為 f(x,y)對 x( 對 y) 的偏導(dǎo)函數(shù) 。簡稱 偏導(dǎo)數(shù) 。2解答： 把 y 看作常量對x 求導(dǎo)數(shù)，得把 x 看作常量對y 求導(dǎo)數(shù)，得注意： 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。例題： 求的偏導(dǎo)數(shù)。解答： 我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做。把 y 和 z 看成常量對x 求導(dǎo)，得.把 x 和 z 看成常量對y 求導(dǎo)，得.把 x 和y 看成常量對z 求導(dǎo)，得.高階偏導(dǎo)數(shù)如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) f' x(x,y)與 f' y (x,y)仍然可導(dǎo)，那末這兩個偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù) 。二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

10、有四個：f"xx ， f"xy ， f"yx ， f"yy.注意： f"xy與 f"yx的區(qū)別在于：前者是先對x 求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對對 x 求偏導(dǎo) . 當(dāng) f"xy與 f"yx都連續(xù)時，求導(dǎo)的結(jié)果于求導(dǎo)的先后次序無關(guān)。y 求偏導(dǎo)；后者是先對y 求偏導(dǎo)再例題： 求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解答：，全微分我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，推廣到多元函數(shù)。這里我們以二元函數(shù)為例。全微分的定義函數(shù) z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f' x (x,y),f'現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增

11、量，y (x,y)分別與自變量的增量 x, y 乘積之和從而把微分的概念f'x (x,y)x+f'y(x,y)y若該表達式與函數(shù)的全增量z之差，當(dāng) 0時，是 ()的高階無窮小，那末該表達式稱為函數(shù)z=f(x,y)在 (x,y)處 ( 關(guān)于 x, y) 的 全微分 。記作： dz=f' x(x,y) x+f'注意： 其中 z=f'x(x,y)x+f'y(x,y)y+ ， ( 是當(dāng) 0時的無窮小 )注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時，為了使z 與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們把由 (x 0,y先由點 (x 0,y 0) 變到點 (x 0,y 0+y) ，再變到點(x

12、 0+x,y 0+y). 其過程如下圖所示：y(x,y)y0) 變到 (x 0+x,y0+y) 的過程分為兩部：例題： 求的全微分解答： 由于，所以關(guān)于全微分的問題如果偏導(dǎo)數(shù)f' x(x,y),f'y(x,y)連續(xù)，那末z=f(x,y)一定 可微 。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在一元函數(shù)中， 我們已經(jīng)知道，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用，對于多元函數(shù)來說也是如此。下面我們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。我們先以二元函數(shù)為例：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式鏈導(dǎo)公式 ：設(shè)均在 (x,y)處可導(dǎo) , 函數(shù) z=F(u,v)在對應(yīng)的 (u,v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),那末 , 復(fù)合函數(shù)在

13、 (x,y)處可導(dǎo) , 且有鏈導(dǎo)公式：例題： 求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)解答： 令由于而由鏈導(dǎo)公式可得：其中上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。一個多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù)。全導(dǎo)數(shù)由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個一元函數(shù)復(fù)合起來的函數(shù)是 x 的一元函數(shù) .這時復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)此時的鏈導(dǎo)公式為:, 稱為 全導(dǎo)數(shù).例題： 設(shè) z=u2v， u=cosx ， v=sinx ，求解答： 由全導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式得：將 u=cosx ， v=sinx 代入上式，得：關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題全導(dǎo)數(shù)實

14、際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已。多元函數(shù)的極值在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應(yīng)用問題。多元函數(shù)也有類似的問題，這里我們只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題。二元函數(shù)極值的定義如果在 (x 0,y 0) 的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(x,y) 恒有等式：f(x,y)f(x00,y )成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點 (x 0,y0) 處取得 極大值 f(x0,y 0) ；如果恒有等式：f(x,y)f(x00,y )成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點 (x,y) 處取得 極小值 f(x,y ).0000極大值與極小值統(tǒng)稱極值

15、. 使函數(shù)取得極值的點(x 0 ,y0) 稱為 極值點 .二元可導(dǎo)函數(shù)在 (x 0,y 0) 取得極值的條件是：.注意： 此條件只是取得極值的必要條件。凡是使的點 (x,y)稱為函數(shù) f(x,y)的駐點 . 可導(dǎo)函數(shù)的極值點必為駐點，但駐點卻不一定是極值點。二元函數(shù)極值判定的方法設(shè) z=f(x,y) 在 (x ,y) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 如果，那末函數(shù) f(x,y)在 (x ,y )0000取得極值的條件如下表所示：=B2-ACf(x 0,y 0) 0A0 時取極大值A(chǔ)0 時取極小值 0非極值=0不定其中例題： 求的極值。解答： 設(shè), 則，.解方程組，得駐點(1,1),(0,0)

16、.對于駐點(1,1)有, 故B 2-AC=(-3)2-6 . 6=-27 0， A=6 0因此，在點 (1,1)取得極小值f(1,1)=-1.對于駐點(0,0)有, 故B 2-AC=(-3)2-0 . 0=9 0因此，在點 (0,0)不取得極值 .多元函數(shù)的最大、最小值問題我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下：下面我a) ：根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；b) ：求出駐點；c) ：結(jié)合實際意義判定最大、最小值.例題： 在平面 3x+4y-z=26 上求一點，使它與坐標(biāo)原點

17、的距離最短。解答： a) ：先建立函數(shù)關(guān)系, 確定定義域求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方最小的問題 . 但是 P 點位于所給的平面上, 故 z=3x+4y-26. 把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系 :,- x+,- y+b) ：求駐點解得唯一駐點x=3， y=4. 由于點 P 在所給平面上, 故可知z=-1c) ：結(jié)合實際意義判定最大、最小值由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值. 而函數(shù)僅有唯一的駐點. 所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-1).從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù)，在約束條件3x+

18、4y-z=26下的最小值 . 一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值 。二、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的定義設(shè) z=f(x,y)為有界閉區(qū)域 ( ) 上的有界函數(shù)：(1) 把區(qū)域 ( ) 任意劃分成n 個子域 ( k)(k=1,2,3,n）, 其面積記作k(k=1,2,3,n）；(2) 在每一個子域 ( k) 上任取一點，作乘積；(3)把所有這些乘積相加, 即作出和數(shù)(4)記子域的最大直徑d. 如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取 , 上述和數(shù)當(dāng) n且 d0時的極限存在 ,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域 ( ) 上的 二重積分 . 記作 :即：=其中 x 與 y 稱為積分變量 ，

19、函數(shù) f(x,y)稱為被積函數(shù) ,f(x,y)d 稱為 被積表達式 ,( ) 稱為 積分區(qū)域 .關(guān)于二重積分的問題對于二重積分的定義, 我們并沒有f(x,y)z=f(x,y)為曲頂，以 ( ) 為底且母線平行于0的限.容易看出 , 當(dāng)z 軸的曲頂柱體的體積。f(x,y)0 時 , 二重積分在幾何上就是以上述就是二重積分的幾何意義。如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域( ) 上連續(xù) ，那末二重積分必定存在 。二重積分的性質(zhì)(1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去.(2).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.(3).如果把積分區(qū)域( ) 分成兩個子域( 1) 與 (

20、2), 即 ( )=( 1)+( 2), 那末 :(4).如果在 ( ) 上有 f(x,y)g(x,y),那末 :(5).設(shè) f(x,y)在閉域 ( ) 上連續(xù) , 則在 ( ) 上至少存在一點( , ), 使其中 是區(qū)域 ( ) 的面積 .二重積分的計算法直角坐標(biāo)系中的計算方法這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x 看成常量，對y 進行積分，然后在對x 進行積分，或者是先把y 看成常量，對x 進行積分，然后在對y 進行積分。為此我們有積分公式，如下：或在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？累次積分上下限的確定方法我們先來對區(qū)域作些補充說明： 如果經(jīng)過區(qū)域 ( )

21、內(nèi)任意一點 ( 即不是區(qū)域邊界上的點 ) 作平行于 y 軸 ( 或 x 軸 ) 的直線 , 且此直線交 ( ) 的邊界不超過兩點，那末稱 ( ) 為沿 y 軸 (x 軸 ) 方向的正規(guī)區(qū)域 . 如果 ( ) 即是沿 y 軸方向也是沿 x 軸方向的正規(guī)區(qū)域 , 那末 ( ) 就稱為 正規(guī)區(qū)域 . 下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域 :關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述:(1).如果 ( ) 為沿 y 軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對y 再對x 的累次積分. 其中對y 的積分下限是( )的下部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y1(x)，積分上限是上部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)y2(x).對 x 的積分下限與上限分別是(

22、) 的最左與最右點的橫坐標(biāo)a 與 b.(2). 如果 ( ) 為沿左部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 那末二重積分可化為先對x1(y) ，積分上限是右部邊界曲線所對應(yīng)的函數(shù)x 再對 y 的累次積分 . 其中對 x 的積分下限是 ( ) 的x2(y). 對 y 的積分下限與上限分別是( ) 的最低與最高點的橫坐標(biāo)c 與d.(3).如果 ( ) 為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。(4).如果 ( ) 既不是沿 y 軸方向的正規(guī)區(qū)域 , 也不是沿 x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 那末總可以把它化分成幾塊沿y 軸方向的正規(guī)區(qū)域或沿x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分.例題

23、： 求二重積分，其中解答： 因為是正規(guī)區(qū)域，所以我們可先對y( ) 是由后對 x 積分，也可先對所圍成的區(qū)域。x 后對 y 積分。這里我們采用前者先對y 后對x 積分：極坐標(biāo)系中的計算法如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域( ) 的邊界方程均由極坐標(biāo)的形式給出, 那末我們?nèi)绾斡嬎隳?下面我們給出極坐標(biāo)系中二重積分的計算公式.如果極點O在( ) 的外部 , 區(qū)域 ( ) 用不等式表示為R1( ) R2( ), , 則積分公式如下:如果極點O在( ) 的內(nèi)部 , 區(qū)域 ( ) 的邊界方程為 =R(),0 2 , 則積分公式如下:如果極點O在( ) 的邊界上 , 邊界方程為 =R(), 1 2, 則積分

24、公式如下:有了上面這些公式，一些在直角坐標(biāo)系中不易積出而在極坐標(biāo)系中易積出的函數(shù)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的積分即可，反之依然。注：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為：例題： 求2222，其中 ( ) 是圓環(huán) ax+y b解答： 由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，顯然，這個二重積分化為極坐標(biāo)計算比較方便。把， d= d d 代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的積分形式。如下：在對其進行累次積分計算：三重積分及其計算法二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是平面區(qū)域. 如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V) 上的積分，就可得到三重積分的概念。三重積分的概念設(shè)函數(shù) u=f(x,y

25、,z)在空間有界閉區(qū)域(V) 任意劃分成n 個子域 ( V1),( V2),( V3),(V n), 它們的體積分別記作Vk(k=1,2,n).在每一個子域上任取一點，并作和數(shù)如果不論V k 怎樣劃分，點怎樣選取，當(dāng)n+而且最大的子域直徑 0時，這個和數(shù)的極限都存在，那末此極限就稱為函數(shù)在域 (V) 上的三重積分 , 記作：即：如果 f(x,y,z)在域 (V) 上連續(xù)，那末此三重積分一定存在。對于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。直角坐標(biāo)系中三重積分的計算方法這里我們直接給出三重積分的計算公式，具體它是怎樣得來的，請大家參照有關(guān)書籍。直角坐標(biāo)系中三重積分的計算公式為：

26、此公式是把一個三重積分轉(zhuǎn)化為一個定積分與一個二重積分的問題，根據(jù)我們前面所學(xué)的結(jié)論即可求出。例題： 求，其中 (V) 是由平面x=0,y=0,z=0及 x+y+z=1 所圍成的區(qū)域 .解答： 把 I 化為先對z 積分，再對y 和 x 積分的累次積分，那末應(yīng)把(V) 投影到 xOy 平面上 , 求出投影域 ( ), 它就是平面 x+y+z=1 與 xOy 平面的交線和x 軸、 y 軸所圍成的三角區(qū)域.我們?yōu)榱舜_定出對z 積分限 , 在( ) 固定點 (x,y),通過此點作一條平行于z 的直線 , 它與 (V) 上下邊界的交點的豎坐標(biāo)：z=0 與 z=1-x-y ，這就是對z 積分的下限與上限，于

27、是由積分公式得：其中 ( ) 為平面區(qū)域： x0，y0，x+y1，如下圖紅色陰影部分所示：再把 ( ) 域上的二重積分化成先對y 后對 x 的累次積分，得：柱面坐標(biāo)系中三重積分的計算法我們先來學(xué)習(xí)一下空間中的點用極坐標(biāo)的表示方法。平面上點 P 可以用極坐標(biāo) ( , ) 來確定 , 因此空間中的點 P 可用數(shù)組 ( , ,z) ( , ,z) 之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)關(guān)系 , 數(shù)組 ( , ,z) 稱為空間點 P 的柱面坐標(biāo)來表示 . 顯然，空間的點 . 它與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：P 與數(shù)組構(gòu)成柱面坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面分別為：=常數(shù)：以z 軸為對稱軸的同軸圓柱面族，=常數(shù)：通過z 軸的半平面族，z =

28、常數(shù)：與z 軸垂直的平面族.因此，每三個這樣的坐標(biāo)面確定著空間的唯一的一點，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標(biāo) 。柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算公式為：三曲線積分與曲面積分§3.1對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在 xOy 面內(nèi)的一段曲線弧 L 上 已知曲線形構(gòu)件在點 (x y)處的線密度為 (x y) 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n 小段s1 s2sn( si 也表示弧長 )任取 ( ii)si得第 i小段質(zhì)量的近似值( ii) sin整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M( i ,i ) sii 1令maxs1s2sn 0則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)

29、量為nM lim(i , i )si0 i 1這種和的極限在研究其它問題時也會遇到定義設(shè) L為 xOy 面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù) f(x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一點列M1 M2Mn1 把 L 分在 n 個小段 . 設(shè)第 i 個小段的長度為si 又( i i)為第 i 個小段上任意取定的一點 作乘積 f( inf (,)s 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值i)si (i 1 2n ) 并作和iii 1i0 這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧 L 上對弧長的曲線積分或第一類曲f (x, y)ds 即n線積分 記作f ( x, y)dslimf (i , i ) siL

30、L0 i1其中 f( x y)叫做被積函數(shù)L 叫做積分弧段設(shè)函數(shù) f(x y)定義在可求長度的曲線L 上 并且有界將 L 任意分成 n 個弧段s1s2sn 并用 si 表示第 i 段的弧長n在每一弧段si 上任取一點 ( ii) 作和f (i,i) si 1i令 max s1s2sn 如果當(dāng)0 時 這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧 L 上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作f (x, y)ds 即Lnf ( x, y)dslimf ( i , i )siL0i1其中 f( x y)叫做被積函數(shù)L 叫做積分弧段曲線積分的存在性當(dāng) f(x y) 在光滑曲線弧L 上連續(xù)時 對弧長

31、的曲線積分f (x, y)ds 是存在L的 以后我們總假定f(x y)在 L 上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分(x, y)ds 的值其中 (x y)L為線密度n對弧長的曲線積分的推廣f (x, y,z)dslimf (i , i , i )si0 i1如果 L( 或 )是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或 )上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè) L 可分成兩段光滑曲線弧L1及 L2則規(guī)定f (x, y)dsf ( x, y)dsL 2f ( x, y)dsL1 L2L1閉曲線積分如果 L 是閉曲線那么函數(shù) f(x y) 在閉曲線L 上對弧長的曲線積分

32、記作f ( x, y)dsL對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) c1、 c2 為常數(shù)則L c1 f (x, y)c2g(x, y)dsc1 L f (x, y)dsc2 L g(x, y)ds性質(zhì) 2若積分弧段 L 可分成兩段光滑曲線弧L1和 L2 則f (x, y)dsf (x, y)dsf (x, y)dsLL1L2性質(zhì)3 設(shè)在L 上 f(x y) g(x y)則f (x, y)dsg( x, y)dsLL特別地有|f (x, y)ds| f (x, y) |dsLL二、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L 的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L 的質(zhì)量為f (

33、x, y)dsL另一方面 若曲線 L 的參數(shù)方程為x( t) y(t) (t)則質(zhì)量元素為f ( x, y)dsf (t),(t)2 (t )2 (t) dt曲線的質(zhì)量為f (t ), (t)2(t)2(t)dt即f (x, y)dsf (t ), (t)2(t)2(t)dtL定理設(shè) f(x y)在曲線弧 L 上有定義且連續(xù)L 的參數(shù)方程為x(t) y (t) (t)其中 (t)、 (t)在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且2(t)2(t) 0 則曲線積分f (x, y)ds 存在 且LLf ( x, y)dsf (t),(t)2(t)2(t)dt ( < )證明（略）應(yīng)注意的問題定積分的下限一定要

34、小于上限討論(1) 若曲線 L 的方程為 y(x)( a x b) 則 f (x, y)ds?L提示 L 的參數(shù)方程為 x x y(x)(ax b)f ( x, y)dsb2(x) dxf x, ( x) 1La(2) 若曲線 L 的方程為 x( y)(cy d) 則 L f (x, y)ds?提示 L 的參數(shù)方程為 x (y) y y(cy d)f ( x, y)dsd2 ( y)1dyf (y), yLc(3) 若曲的方程為x(t) y(t) z(t)(t)則f (x, y, z)ds ?提示f ( x, y, z)dsf (t),(t),(t)2(t)2(t)2(t )dt例1計算yds

35、 其中 L 是拋物線 yx2 上點 O(00)與點 B(11)之間的一段弧L解曲線的方程為y x2 (0 x1)因此yds11(x2) 2 dx14x2 dx1(5 5 1)x2x 1L0012例 2 計算半徑為 R、中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為1)解取坐標(biāo)系如圖所示則 ILy2ds曲線 L 的參數(shù)方程為x Rcos yRsin(< )于是 ILy2dsR2 sin2( Rsin )2(Rcos )2 dR3sin2 dR3( sincos)例 3 計算曲線積分(x2y2z2 )ds 其中 為螺旋線 x acost、 y asint、z kt 上相應(yīng)于 t

36、 從 0到達 2的一段弧解 在曲線上有 x2y2 z2 (a cos t)2 (a sin t) 2(kt)2a2 k 2t 2 并且ds( asin t )2(acost)2k2 dta2 k2 dt(x2 y2z2)ds2于是(a2 k2t2 ) a2 k2 dt02a2k 2 (3a24 2 k2 )3小結(jié) 用曲線積分解決問題的步驟(1) 建立曲線積分(2) 寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程 ) 確定參數(shù)的變化范圍(3) 將曲線積分化為定積分(4) 計算定積分§32對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點在xOy 面內(nèi)在變力F (x y) P(x y)i Q(x y)j 的作用下從點A 沿光滑曲線弧L 移動到點 B 試求變力 F( x y)所作的功用曲線 L 上的點 A A0 A1 A2An 1 An B 把 L 分成 n 個小弧段設(shè) Akk kA Ak它與 x 軸的夾角為k則( x y ) 有向線段k k1的長度為 sAk Ak1 cos k, sinksk (k01