微積分知識(shí)點(diǎn)

1、一、多元函數(shù)的微分學(xué)二元函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量x 與 y 在其給定的 變域中 D 中，任取一組數(shù)值時(shí)， 第三個(gè)變量z 就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那末變量z 稱為變量x 與 y 的二元函數(shù) 。記作： z=f(x,y).其中 x 與 y 稱為 自變量 ，函數(shù) z 也叫做 因變量 ，自變量x 與 y 的變域 D稱為函數(shù)的 定義域 。關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個(gè)或幾個(gè)區(qū)間. 二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的 部分平面 . 這樣的部分在平面稱為區(qū)域 . 圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn) ，包括邊界在

2、內(nèi)的區(qū)域稱為 閉域 ，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域 。如果一個(gè)區(qū)域D(開域或閉域 ) 中任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱 D為有界區(qū)域 ；否則稱D 為無界區(qū)域 。常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：例題： 求的定義域.解答： 該函數(shù)的定義域?yàn)椋?x,y 0.二元函數(shù)的幾何表示把自變量x、y 及因變量z 當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在xOy 平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域點(diǎn) M(x,y) 作垂直于xOy 平面的有向線段MP,使其值為與 (x,y)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值z(mì)；D；再過D域中得任一當(dāng) M點(diǎn)在 D中變動(dòng)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的 P 點(diǎn)的軌跡就是函數(shù) z=f(x,y) 的幾何圖形 . 它通常是

3、一張曲面，其定義域 D就是此曲面在 xOy 平面上的投影。二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性在一元函數(shù)中，我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過當(dāng)自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限。對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學(xué)習(xí)當(dāng)自變量 x 與 y 趨向于有限值 與 時(shí)，函數(shù)z 的變化狀態(tài) 。在平面 xOy 上， (x,y)趨向 ( , ) 的方式可以時(shí)多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨向點(diǎn)( , ) 時(shí)， f(x,y)總是趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，那末就稱A 是二元函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)( , ) 時(shí)的 極限 。這種極限通常稱為二重極限 。下面我們用 - 語言給出二重極限的嚴(yán)格定義

4、：二重極限的定義如果定義于 ( , ) 的某一去心鄰域的一個(gè)二元函數(shù)f(x,y)跟一個(gè)確定的常數(shù)A 有如下關(guān)系：對(duì)于任意給定的正數(shù) ，無論怎樣小，相應(yīng)的必有另一個(gè)正數(shù) ，凡是滿足的一切 (x,y)都使不等式成立，那末常數(shù)A 稱為函數(shù) f(x,y)當(dāng)(x,y) ( , ) 時(shí)的二重極限 。正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運(yùn)算法則：二重極限的運(yùn)算法則如果當(dāng)（ x,y) ( , ) 時(shí)， f(x,y)A，g(x,y) B.那末 (1) ： f(x,y)±g(x,y) A±B；(2)： f(x,y). g(x,y) A. B；(3)： f(x,y)/g(x,y)A/B；其

5、中 B0像一元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：二元函數(shù)的連續(xù)性如果當(dāng)點(diǎn) (x,y) 趨向點(diǎn) (x 0,y 0) 時(shí)，函數(shù) f(x,y)的二重極限等于f(x,y) 在點(diǎn) (x 0,y 0) 處的函數(shù)值 f(x 0,y 0) ，那末 稱函數(shù) f(x,y)在點(diǎn) (x0,y ) 處連續(xù) . 如果 f(x,y)在區(qū)域 D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù) 。0如果函數(shù) z=f(x,y) 在 (x 0,y0) 不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x 0,y 0) 是 f(x,y) 的一個(gè) 間斷點(diǎn) 。關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題二元函數(shù)間斷點(diǎn)的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況

6、要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了有間斷點(diǎn)，還有間斷線 。二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商( 分母不為零）和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。例題： 求下面函數(shù)的間斷線解答： x=0 與 y=0 都是函數(shù)的間斷線。偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)中， 我們已經(jīng)知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對(duì)于二元函數(shù)我們同樣要研究它的多了一個(gè)，情況就要復(fù)雜的多. 在 xOy 平面內(nèi)，當(dāng)變點(diǎn)由(x 0,y 0) 沿不同方向變化時(shí)，函數(shù)的，因此就需要研究f(x,y)在 (x 0,y 0) 點(diǎn)處沿不同方向的變化率。在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于x 軸和平行于y 軸兩個(gè)特殊方位變動(dòng)時(shí)f(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn) (x 0,y 0

7、) 是其定義域D 內(nèi)一點(diǎn) . 把 y 固定在 y0 而讓 x 在" 變化率 " 。然而，由于自變量f(x,y)的變化快慢一般說來時(shí)不同的變化率 。x0 有增量 x，相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對(duì)x 的偏增量) xz=f(x0+x)-f(x0,y0).如果 x z 與x 之比當(dāng) x0 時(shí)的極限存在，那末此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在 (x0,y0) 處對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù) 。記作： f'x(x ,y ) 或00關(guān)于對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的問題函數(shù) z=f(x,y)在 (x 0,y 0) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把y 固定在 y0 看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x

8、,y 0 ) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)同樣，把 x 固定在 x , 讓 y 有增量 y, 如果極限0存在，那末此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x 0,y 0) 處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) .記作f'y (x 0,y0) 或偏導(dǎo)數(shù)的求法當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在 (x 0,y0) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f'x (x 0,y0) 與f'y (x 0,y0) 都存在時(shí)，我們稱 f(x,y)在 (x 0,y 0) 處可導(dǎo) 。如果函數(shù)f(x,y)在域 D 的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，那末稱函數(shù)f(x,y)在域 D 可導(dǎo) 。此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域D 的每一點(diǎn) (x,y)，必有一個(gè)對(duì)x( 對(duì) y) 的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域D確定了一個(gè)

9、新的二元函數(shù)，稱為 f(x,y)對(duì) x( 對(duì) y) 的偏導(dǎo)函數(shù) 。簡稱 偏導(dǎo)數(shù) 。2解答： 把 y 看作常量對(duì)x 求導(dǎo)數(shù)，得把 x 看作常量對(duì)y 求導(dǎo)數(shù)，得注意： 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數(shù)。例題： 求的偏導(dǎo)數(shù)。解答： 我們根據(jù)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法來做。把 y 和 z 看成常量對(duì)x 求導(dǎo)，得.把 x 和 z 看成常量對(duì)y 求導(dǎo)，得.把 x 和y 看成常量對(duì)z 求導(dǎo)，得.高階偏導(dǎo)數(shù)如果二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) f' x(x,y)與 f' y (x,y)仍然可導(dǎo)，那末這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù) 。二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)

10、有四個(gè)：f"xx ， f"xy ， f"yx ， f"yy.注意： f"xy與 f"yx的區(qū)別在于：前者是先對(duì)x 求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對(duì)對(duì) x 求偏導(dǎo) . 當(dāng) f"xy與 f"yx都連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)的結(jié)果于求導(dǎo)的先后次序無關(guān)。y 求偏導(dǎo)；后者是先對(duì)y 求偏導(dǎo)再例題： 求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).解答：，全微分我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分的概念了，推廣到多元函數(shù)。這里我們以二元函數(shù)為例。全微分的定義函數(shù) z=f(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f' x (x,y),f'現(xiàn)在我們用類似的思想方法來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的的全增

11、量，y (x,y)分別與自變量的增量 x, y 乘積之和從而把微分的概念f'x (x,y)x+f'y(x,y)y若該表達(dá)式與函數(shù)的全增量z之差，當(dāng) 0時(shí)，是 ()的高階無窮小，那末該表達(dá)式稱為函數(shù)z=f(x,y)在 (x,y)處 ( 關(guān)于 x, y) 的 全微分 。記作： dz=f' x(x,y) x+f'注意： 其中 z=f'x(x,y)x+f'y(x,y)y+ ， ( 是當(dāng) 0時(shí)的無窮小 )注意：在找函數(shù)相應(yīng)的全增量時(shí)，為了使z 與偏導(dǎo)數(shù)發(fā)生關(guān)系，我們把由 (x 0,y先由點(diǎn) (x 0,y 0) 變到點(diǎn) (x 0,y 0+y) ，再變到點(diǎn)(x

12、 0+x,y 0+y). 其過程如下圖所示：y(x,y)y0) 變到 (x 0+x,y0+y) 的過程分為兩部：例題： 求的全微分解答： 由于，所以關(guān)于全微分的問題如果偏導(dǎo)數(shù)f' x(x,y),f'y(x,y)連續(xù)，那末z=f(x,y)一定 可微 。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在一元函數(shù)中， 我們已經(jīng)知道，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用，對(duì)于多元函數(shù)來說也是如此。下面我們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。我們先以二元函數(shù)為例：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式鏈導(dǎo)公式 ：設(shè)均在 (x,y)處可導(dǎo) , 函數(shù) z=F(u,v)在對(duì)應(yīng)的 (u,v)處有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),那末 , 復(fù)合函數(shù)在

13、 (x,y)處可導(dǎo) , 且有鏈導(dǎo)公式：例題： 求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)解答： 令由于而由鏈導(dǎo)公式可得：其中上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。一個(gè)多元復(fù)合函數(shù)，其一階偏導(dǎo)數(shù)的個(gè)數(shù)取決于此復(fù)合函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)。在一階偏導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式中，項(xiàng)數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個(gè)數(shù)。全導(dǎo)數(shù)由二元函數(shù)z=f(u,v)和兩個(gè)一元函數(shù)復(fù)合起來的函數(shù)是 x 的一元函數(shù) .這時(shí)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)此時(shí)的鏈導(dǎo)公式為:, 稱為 全導(dǎo)數(shù).例題： 設(shè) z=u2v， u=cosx ， v=sinx ，求解答： 由全導(dǎo)數(shù)的鏈導(dǎo)公式得：將 u=cosx ， v=sinx 代入上式，得：關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的問題全導(dǎo)數(shù)實(shí)

14、際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成而已。多元函數(shù)的極值在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應(yīng)用問題。多元函數(shù)也有類似的問題，這里我們只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題。二元函數(shù)極值的定義如果在 (x 0,y 0) 的某一去心鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)(x,y) 恒有等式：f(x,y)f(x00,y )成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) (x 0,y0) 處取得 極大值 f(x0,y 0) ；如果恒有等式：f(x,y)f(x00,y )成立，那末就稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) (x,y) 處取得 極小值 f(x,y ).0000極大值與極小值統(tǒng)稱極值

15、. 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)(x 0 ,y0) 稱為 極值點(diǎn) .二元可導(dǎo)函數(shù)在 (x 0,y 0) 取得極值的條件是：.注意： 此條件只是取得極值的必要條件。凡是使的點(diǎn) (x,y)稱為函數(shù) f(x,y)的駐點(diǎn) . 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。二元函數(shù)極值判定的方法設(shè) z=f(x,y) 在 (x ,y) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 如果，那末函數(shù) f(x,y)在 (x ,y )0000取得極值的條件如下表所示：=B2-ACf(x 0,y 0) 0A0 時(shí)取極大值A(chǔ)0 時(shí)取極小值 0非極值=0不定其中例題： 求的極值。解答： 設(shè), 則，.解方程組，得駐點(diǎn)(1,1),(0,0)

16、.對(duì)于駐點(diǎn)(1,1)有, 故B 2-AC=(-3)2-6 . 6=-27 0， A=6 0因此，在點(diǎn) (1,1)取得極小值f(1,1)=-1.對(duì)于駐點(diǎn)(0,0)有, 故B 2-AC=(-3)2-0 . 0=9 0因此，在點(diǎn) (0,0)不取得極值 .多元函數(shù)的最大、最小值問題我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對(duì)于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。們給出實(shí)際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。如下：下面我a) ：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；b) ：求出駐點(diǎn)；c) ：結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值.例題： 在平面 3x+4y-z=26 上求一點(diǎn)，使它與坐標(biāo)原點(diǎn)

17、的距離最短。解答： a) ：先建立函數(shù)關(guān)系, 確定定義域求解與原點(diǎn)的距離最短的問題等價(jià)于求解與原點(diǎn)距離的平方最小的問題 . 但是 P 點(diǎn)位于所給的平面上, 故 z=3x+4y-26. 把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系 :,- x+,- y+b) ：求駐點(diǎn)解得唯一駐點(diǎn)x=3， y=4. 由于點(diǎn) P 在所給平面上, 故可知z=-1c) ：結(jié)合實(shí)際意義判定最大、最小值由問題的實(shí)際意義可知，原點(diǎn)與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個(gè)最小值就是極小值. 而函數(shù)僅有唯一的駐點(diǎn). 所以，平面上與原點(diǎn)距離最短的點(diǎn)為P(3,4,-1).從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù)，在約束條件3x+

18、4y-z=26下的最小值 . 一個(gè)多元函數(shù)在一個(gè)或幾個(gè)約束條件下的極值稱為條件極值 。二、多元函數(shù)的積分學(xué)二重積分的定義設(shè) z=f(x,y)為有界閉區(qū)域 ( ) 上的有界函數(shù)：(1) 把區(qū)域 ( ) 任意劃分成n 個(gè)子域 ( k)(k=1,2,3,n）, 其面積記作k(k=1,2,3,n）；(2) 在每一個(gè)子域 ( k) 上任取一點(diǎn)，作乘積；(3)把所有這些乘積相加, 即作出和數(shù)(4)記子域的最大直徑d. 如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取 , 上述和數(shù)當(dāng) n且 d0時(shí)的極限存在 ,那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域 ( ) 上的 二重積分 . 記作 :即：=其中 x 與 y 稱為積分變量 ，

19、函數(shù) f(x,y)稱為被積函數(shù) ,f(x,y)d 稱為 被積表達(dá)式 ,( ) 稱為 積分區(qū)域 .關(guān)于二重積分的問題對(duì)于二重積分的定義, 我們并沒有f(x,y)z=f(x,y)為曲頂，以 ( ) 為底且母線平行于0的限.容易看出 , 當(dāng)z 軸的曲頂柱體的體積。f(x,y)0 時(shí) , 二重積分在幾何上就是以上述就是二重積分的幾何意義。如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域( ) 上連續(xù) ，那末二重積分必定存在 。二重積分的性質(zhì)(1).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號(hào)外面去.(2).有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.(3).如果把積分區(qū)域( ) 分成兩個(gè)子域( 1) 與 (

20、2), 即 ( )=( 1)+( 2), 那末 :(4).如果在 ( ) 上有 f(x,y)g(x,y),那末 :(5).設(shè) f(x,y)在閉域 ( ) 上連續(xù) , 則在 ( ) 上至少存在一點(diǎn)( , ), 使其中 是區(qū)域 ( ) 的面積 .二重積分的計(jì)算法直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x 看成常量，對(duì)y 進(jìn)行積分，然后在對(duì)x 進(jìn)行積分，或者是先把y 看成常量，對(duì)x 進(jìn)行積分，然后在對(duì)y 進(jìn)行積分。為此我們有積分公式，如下：或在這里我們可能會(huì)有這個(gè)問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？累次積分上下限的確定方法我們先來對(duì)區(qū)域作些補(bǔ)充說明： 如果經(jīng)過區(qū)域 ( )

21、內(nèi)任意一點(diǎn) ( 即不是區(qū)域邊界上的點(diǎn) ) 作平行于 y 軸 ( 或 x 軸 ) 的直線 , 且此直線交 ( ) 的邊界不超過兩點(diǎn)，那末稱 ( ) 為沿 y 軸 (x 軸 ) 方向的正規(guī)區(qū)域 . 如果 ( ) 即是沿 y 軸方向也是沿 x 軸方向的正規(guī)區(qū)域 , 那末 ( ) 就稱為 正規(guī)區(qū)域 . 下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域 :關(guān)于累次積分上下限的取法如下所述:(1).如果 ( ) 為沿 y 軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對(duì)y 再對(duì)x 的累次積分. 其中對(duì)y 的積分下限是( )的下部邊界曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y1(x)，積分上限是上部邊界曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y2(x).對(duì) x 的積分下限與上限分別是(

22、) 的最左與最右點(diǎn)的橫坐標(biāo)a 與 b.(2). 如果 ( ) 為沿左部邊界曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 那末二重積分可化為先對(duì)x1(y) ，積分上限是右部邊界曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)x 再對(duì) y 的累次積分 . 其中對(duì) x 的積分下限是 ( ) 的x2(y). 對(duì) y 的積分下限與上限分別是( ) 的最低與最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)c 與d.(3).如果 ( ) 為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。(4).如果 ( ) 既不是沿 y 軸方向的正規(guī)區(qū)域 , 也不是沿 x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 那末總可以把它化分成幾塊沿y 軸方向的正規(guī)區(qū)域或沿x 軸方向的正規(guī)區(qū)域, 然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分.例題

23、： 求二重積分，其中解答： 因?yàn)槭钦?guī)區(qū)域，所以我們可先對(duì)y( ) 是由后對(duì) x 積分，也可先對(duì)所圍成的區(qū)域。x 后對(duì) y 積分。這里我們采用前者先對(duì)y 后對(duì)x 積分：極坐標(biāo)系中的計(jì)算法如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域( ) 的邊界方程均由極坐標(biāo)的形式給出, 那末我們?nèi)绾斡?jì)算呢?下面我們給出極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算公式.如果極點(diǎn)O在( ) 的外部 , 區(qū)域 ( ) 用不等式表示為R1( ) R2( ), , 則積分公式如下:如果極點(diǎn)O在( ) 的內(nèi)部 , 區(qū)域 ( ) 的邊界方程為 =R(),0 2 , 則積分公式如下:如果極點(diǎn)O在( ) 的邊界上 , 邊界方程為 =R(), 1 2, 則積分

24、公式如下:有了上面這些公式，一些在直角坐標(biāo)系中不易積出而在極坐標(biāo)系中易積出的函數(shù)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標(biāo)系中的積分即可，反之依然。注：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為：例題： 求2222，其中 ( ) 是圓環(huán) ax+y b解答： 由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，顯然，這個(gè)二重積分化為極坐標(biāo)計(jì)算比較方便。把， d= d d 代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的積分形式。如下：在對(duì)其進(jìn)行累次積分計(jì)算：三重積分及其計(jì)算法二重積分的被積函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)，它的積分域是平面區(qū)域. 如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V) 上的積分，就可得到三重積分的概念。三重積分的概念設(shè)函數(shù) u=f(x,y

25、,z)在空間有界閉區(qū)域(V) 任意劃分成n 個(gè)子域 ( V1),( V2),( V3),(V n), 它們的體積分別記作Vk(k=1,2,n).在每一個(gè)子域上任取一點(diǎn)，并作和數(shù)如果不論V k 怎樣劃分，點(diǎn)怎樣選取，當(dāng)n+而且最大的子域直徑 0時(shí)，這個(gè)和數(shù)的極限都存在，那末此極限就稱為函數(shù)在域 (V) 上的三重積分 , 記作：即：如果 f(x,y,z)在域 (V) 上連續(xù)，那末此三重積分一定存在。對(duì)于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。直角坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算方法這里我們直接給出三重積分的計(jì)算公式，具體它是怎樣得來的，請(qǐng)大家參照有關(guān)書籍。直角坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式為：

26、此公式是把一個(gè)三重積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)定積分與一個(gè)二重積分的問題，根據(jù)我們前面所學(xué)的結(jié)論即可求出。例題： 求，其中 (V) 是由平面x=0,y=0,z=0及 x+y+z=1 所圍成的區(qū)域 .解答： 把 I 化為先對(duì)z 積分，再對(duì)y 和 x 積分的累次積分，那末應(yīng)把(V) 投影到 xOy 平面上 , 求出投影域 ( ), 它就是平面 x+y+z=1 與 xOy 平面的交線和x 軸、 y 軸所圍成的三角區(qū)域.我們?yōu)榱舜_定出對(duì)z 積分限 , 在( ) 固定點(diǎn) (x,y),通過此點(diǎn)作一條平行于z 的直線 , 它與 (V) 上下邊界的交點(diǎn)的豎坐標(biāo)：z=0 與 z=1-x-y ，這就是對(duì)z 積分的下限與上限，于

27、是由積分公式得：其中 ( ) 為平面區(qū)域： x0，y0，x+y1，如下圖紅色陰影部分所示：再把 ( ) 域上的二重積分化成先對(duì)y 后對(duì) x 的累次積分，得：柱面坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算法我們先來學(xué)習(xí)一下空間中的點(diǎn)用極坐標(biāo)的表示方法。平面上點(diǎn) P 可以用極坐標(biāo) ( , ) 來確定 , 因此空間中的點(diǎn) P 可用數(shù)組 ( , ,z) ( , ,z) 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 , 數(shù)組 ( , ,z) 稱為空間點(diǎn) P 的柱面坐標(biāo)來表示 . 顯然，空間的點(diǎn) . 它與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：P 與數(shù)組構(gòu)成柱面坐標(biāo)系的三族坐標(biāo)面分別為：=常數(shù)：以z 軸為對(duì)稱軸的同軸圓柱面族，=常數(shù)：通過z 軸的半平面族，z =

28、常數(shù)：與z 軸垂直的平面族.因此，每三個(gè)這樣的坐標(biāo)面確定著空間的唯一的一點(diǎn)，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標(biāo) 。柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算公式為：三曲線積分與曲面積分§3.1對(duì)弧長的曲線積分一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在 xOy 面內(nèi)的一段曲線弧 L 上 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn) (x y)處的線密度為 (x y) 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n 小段s1 s2sn( si 也表示弧長 )任取 ( ii)si得第 i小段質(zhì)量的近似值( ii) sin整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M( i ,i ) sii 1令maxs1s2sn 0則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)

29、量為nM lim(i , i )si0 i 1這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到定義設(shè) L為 xOy 面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù) f(x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一點(diǎn)列M1 M2Mn1 把 L 分在 n 個(gè)小段 . 設(shè)第 i 個(gè)小段的長度為si 又( i i)為第 i 個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn) 作乘積 f( inf (,)s 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值i)si (i 1 2n ) 并作和iii 1i0 這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧 L 上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲f (x, y)ds 即n線積分 記作f ( x, y)dslimf (i , i ) siL

30、L0 i1其中 f( x y)叫做被積函數(shù)L 叫做積分弧段設(shè)函數(shù) f(x y)定義在可求長度的曲線L 上 并且有界將 L 任意分成 n 個(gè)弧段s1s2sn 并用 si 表示第 i 段的弧長n在每一弧段si 上任取一點(diǎn) ( ii) 作和f (i,i) si 1i令 max s1s2sn 如果當(dāng)0 時(shí) 這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧 L 上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作f (x, y)ds 即Lnf ( x, y)dslimf ( i , i )siL0i1其中 f( x y)叫做被積函數(shù)L 叫做積分弧段曲線積分的存在性當(dāng) f(x y) 在光滑曲線弧L 上連續(xù)時(shí) 對(duì)弧長

31、的曲線積分f (x, y)ds 是存在L的 以后我們總假定f(x y)在 L 上是連續(xù)的根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分(x, y)ds 的值其中 (x y)L為線密度n對(duì)弧長的曲線積分的推廣f (x, y,z)dslimf (i , i , i )si0 i1如果 L( 或 )是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或 )上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè) L 可分成兩段光滑曲線弧L1及 L2則規(guī)定f (x, y)dsf ( x, y)dsL 2f ( x, y)dsL1 L2L1閉曲線積分如果 L 是閉曲線那么函數(shù) f(x y) 在閉曲線L 上對(duì)弧長的曲線積分

32、記作f ( x, y)dsL對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) c1、 c2 為常數(shù)則L c1 f (x, y)c2g(x, y)dsc1 L f (x, y)dsc2 L g(x, y)ds性質(zhì) 2若積分弧段 L 可分成兩段光滑曲線弧L1和 L2 則f (x, y)dsf (x, y)dsf (x, y)dsLL1L2性質(zhì)3 設(shè)在L 上 f(x y) g(x y)則f (x, y)dsg( x, y)dsLL特別地有|f (x, y)ds| f (x, y) |dsLL二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L 的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L 的質(zhì)量為f (

33、x, y)dsL另一方面 若曲線 L 的參數(shù)方程為x( t) y(t) (t)則質(zhì)量元素為f ( x, y)dsf (t),(t)2 (t )2 (t) dt曲線的質(zhì)量為f (t ), (t)2(t)2(t)dt即f (x, y)dsf (t ), (t)2(t)2(t)dtL定理設(shè) f(x y)在曲線弧 L 上有定義且連續(xù)L 的參數(shù)方程為x(t) y (t) (t)其中 (t)、 (t)在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且2(t)2(t) 0 則曲線積分f (x, y)ds 存在 且LLf ( x, y)dsf (t),(t)2(t)2(t)dt ( < )證明（略）應(yīng)注意的問題定積分的下限一定要

34、小于上限討論(1) 若曲線 L 的方程為 y(x)( a x b) 則 f (x, y)ds?L提示 L 的參數(shù)方程為 x x y(x)(ax b)f ( x, y)dsb2(x) dxf x, ( x) 1La(2) 若曲線 L 的方程為 x( y)(cy d) 則 L f (x, y)ds?提示 L 的參數(shù)方程為 x (y) y y(cy d)f ( x, y)dsd2 ( y)1dyf (y), yLc(3) 若曲的方程為x(t) y(t) z(t)(t)則f (x, y, z)ds ?提示f ( x, y, z)dsf (t),(t),(t)2(t)2(t)2(t )dt例1計(jì)算yds

35、 其中 L 是拋物線 yx2 上點(diǎn) O(00)與點(diǎn) B(11)之間的一段弧L解曲線的方程為y x2 (0 x1)因此yds11(x2) 2 dx14x2 dx1(5 5 1)x2x 1L0012例 2 計(jì)算半徑為 R、中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為1)解取坐標(biāo)系如圖所示則 ILy2ds曲線 L 的參數(shù)方程為x Rcos yRsin(< )于是 ILy2dsR2 sin2( Rsin )2(Rcos )2 dR3sin2 dR3( sincos)例 3 計(jì)算曲線積分(x2y2z2 )ds 其中 為螺旋線 x acost、 y asint、z kt 上相應(yīng)于 t

36、 從 0到達(dá) 2的一段弧解 在曲線上有 x2y2 z2 (a cos t)2 (a sin t) 2(kt)2a2 k 2t 2 并且ds( asin t )2(acost)2k2 dta2 k2 dt(x2 y2z2)ds2于是(a2 k2t2 ) a2 k2 dt02a2k 2 (3a24 2 k2 )3小結(jié) 用曲線積分解決問題的步驟(1) 建立曲線積分(2) 寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程 ) 確定參數(shù)的變化范圍(3) 將曲線積分化為定積分(4) 計(jì)算定積分§32對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy 面內(nèi)在變力F (x y) P(x y)i Q(x y)j 的作用下從點(diǎn)A 沿光滑曲線弧L 移動(dòng)到點(diǎn) B 試求變力 F( x y)所作的功用曲線 L 上的點(diǎn) A A0 A1 A2An 1 An B 把 L 分成 n 個(gè)小弧段設(shè) Akk kA Ak它與 x 軸的夾角為k則( x y ) 有向線段k k1的長度為 sAk Ak1 cos k, sinksk (k01