初中數(shù)學(xué)教學(xué)課件：2412垂直于弦的直徑(人教版九年級上)

1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑 1.1.理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明；垂徑定理進行計算和證明；2.2.進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；進一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；3.3.通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛對數(shù)學(xué)的熱愛問題：你知道趙州橋嗎？它是問題：你知道趙州橋嗎？它是13001300多年前我國隋代建造的多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶，它

2、的主橋拱石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶，它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4 m37.4 m，拱高，拱高（弧的中點到弦的距離）為（弧的中點到弦的距離）為7.2 m7.2 m，你能求出趙州橋主橋，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？拱的半徑嗎？想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側(cè)半圓會有想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側(cè)半圓會有什么關(guān)系？什么關(guān)系？【解析】【解析】圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以兩側(cè)半圓折疊后重疊是它的對稱軸，所以兩側(cè)半圓折疊后重疊. .觀察右圖

3、，有什么等量關(guān)系？觀察右圖，有什么等量關(guān)系？AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，弧，弧ADAD弧弧BCBC，弧弧ADAD弧弧BDBD， AEAEBE BE AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，弧，弧ADAD弧弧BC=BC=弧弧ACAC弧弧BDBDOCDABOBCDAE已知：在已知：在OO中，中，CDCD是直徑，是直徑，ABAB是弦，是弦，CDABCDAB，垂足，垂足為為E.E.求證：求證：AEAEBEBE，弧，弧ACAC弧弧BCBC，弧，弧ADAD弧弧BD.BD.垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧條弦，并且平分弦所對的兩條

4、弧. . 垂徑定理垂徑定理 證明猜想證明猜想判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE【解析】【解析】定理中兩個條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故定理中兩個條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故前三個圖均不能，僅第四個圖可以！前三個圖均不能，僅第四個圖可以！定理辨析定理辨析例例1 1：如圖，已知在圓：如圖，已知在圓O O中，弦中，弦ABAB的的長為長為8 8，圓心，圓心O O到到ABAB的距離為的距離為3 3 ，求圓求圓O O的半徑。的半徑。EOAB例 題【解析】【解析】根據(jù)題意得，根據(jù)題意得，AE=4cm OEAB OE=3cmAE=4cm

5、 OEAB OE=3cm在在RtRtOEAOEA中，根據(jù)勾股定理得：中，根據(jù)勾股定理得：AOAO2 2=OE=OE2 2+AE+AE2 2=3=32 2+4+42 2=25=25AO=5cmAO=5cmOABCD變式變式1 1：ACAC、BDBD有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？變式變式2 2：ACACBDBD依然成立嗎？依然成立嗎？OABCDOABCDFE變式變式3 3：EAEA_, EC=_._, EC=_.FDFDFBFBOABCD變式變式4 4：_AC=BD._AC=BD.OA=OBOA=OBOABCD變式變式5 5：_AC=BD.AC=BD. 歸納：歸納：OC=ODOC=OD如圖，如圖，P P

6、為為OO的弦的弦BABA延長線上一點，延長線上一點，PAPAABAB2 2，POPO5 5，求求OO的半徑的半徑. .MPBO關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線條非常重要的輔助線. .跟蹤訓(xùn)練【解析】【解析】提示作提示作OM OM 垂直于垂直于PB PB ，連接，連接OA.OA.答案：答案： A17畫圖敘述垂徑定理，并說出定理的題設(shè)和結(jié)論畫圖敘述垂徑定理，并說出定理的題設(shè)和結(jié)論. .題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論直線直線CDCD經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O直線直線CDCD垂直弦垂直弦ABAB直線直線CDCD平分弦平分弦ABAB直線直線

7、CDCD平分弧平分弧ACBACB直線直線CDCD平分弧平分弧ABAB想一想：如果將題設(shè)和結(jié)論中的想一想：如果將題設(shè)和結(jié)論中的5 5個個條件適當(dāng)互換，情況會怎樣？條件適當(dāng)互換，情況會怎樣？OBCDAE （1 1）平分弦（不是直徑）的直徑）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；條??；（2 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；并且平分弦所對的兩條??；（3 3）平分弦所對的一條弧的直徑，）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧一條弧. .OBCDAE推論推論1如圖

8、，如圖，CDCD為為OO的直徑，的直徑，ABCDABCD，EFCDEFCD，你能得到什，你能得到什么結(jié)論？么結(jié)論？弧弧AEAE弧弧BFBF圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等. .FOBAECD推論推論22.2.（湖州（湖州中考）如圖，已知中考）如圖，已知OO的直徑的直徑ABAB弦弦CDCD于點于點E E，下，下列結(jié)論中一定正確的是（列結(jié)論中一定正確的是（ ）A AAEAEOE OE B BCECEDEDE12CECEC COEOED DAOCAOC6060B B1 1（紹興（紹興中考）已知中考）已知O的半徑為的半徑為5,5,弦弦ABAB的弦心距為的弦心距為3,3,則則ABAB

9、的長是的長是( )( )A.3 B.4 C.6 D.8A.3 B.4 C.6 D.8D D3.3.（安徽（安徽中考）如圖，中考）如圖，OO過點過點B B 、C C。圓心。圓心O O在等腰在等腰直角直角ABCABC的內(nèi)部，的內(nèi)部，BACBAC90900 0，OAOA1 1，BCBC6 6，則，則OO的半徑為（的半徑為（ ）A. B. C. D. A. B. C. D. 【解析】【解析】選選D.D.延長延長AOAO交交BCBC于點于點D D，連接，連接OBOB，根據(jù)對稱性知根據(jù)對稱性知AOBCAOBC，則，則BD=DC=3. BD=DC=3. 又又ABCABC為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，B

10、ACBAC9090，則則AD= =3,OD=3-1=2,AD= =3,OD=3-1=2,OB=OB=1032231312BC222 313. 【解析】【解析】如圖所示，連接如圖所示，連接OBOB，則，則OB=5,OD=4,OB=5,OD=4,利用勾股定利用勾股定理求得理求得BD=3,BD=3,因為因為OCOCABAB于點于點D D，所以，所以AD=BD=3,AD=BD=3,所以所以AB=6.AB=6.答案：答案：6 64.4.（畢節(jié)（畢節(jié)中考）如圖，中考）如圖，ABAB為為OO的弦，的弦，OO的半徑為的半徑為5 5，OCABOCAB于點于點D D，交，交OO于點于點C C，且，且CDCDl l，則弦，則弦ABAB的長是的長是 5 5、已知：如圖，在以、已知：如圖，在以O(shè) O為圓為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦心的兩個同心圓中，大圓的弦ABAB交小圓于交小圓于C C，D D兩點兩點. .求證：求證：ACACBD.BD.證明：證明：過過O O作作OEABOEAB，垂足為，垂足為E E，則則AEAEBEBE，CECEDE.DE.AEAECECEBEBEDE.DE.所以，所以，ACACBDBDE E. .A AC CD DB BO O通過本課時的學(xué)習(xí)，需要我們：通過本課時的學(xué)習(xí)，需要我們