第2章多自度系統(tǒng)振動(dòng)

1、第2章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)2.1 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2 動(dòng)力減振器 2.3 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法2.4 確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法 本章目的：本章目的： 掌握多自由度系統(tǒng)建模方法，重點(diǎn)是剛度系數(shù)法 掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率、主振型概念 掌握矩陣迭代法、傳遞矩陣法 掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 了解動(dòng)力減振器的基本原理2.1 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)1.振動(dòng)微分方程的建立振動(dòng)微分方程的建立2.多自由度系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)的固有頻率固有頻率與與主振型主振型 3.初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）（模態(tài)疊加）（一）多自由度振動(dòng)微分方程的建立（一）多自由度振動(dòng)微分

2、方程的建立牛頓運(yùn)動(dòng)方程（或達(dá)朗伯爾原理） 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程 影響系數(shù)法 哈密爾頓原理有限單元法（第9章）1.用牛頓定律建立微分方程gxgttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 fxkxmgggg jmm002222111122112221lklklklklklkkkk例題1（p24）：在不平路面上行駛的車輛的二自由度系統(tǒng)（圖）。設(shè)剛性桿的質(zhì)量為m，兩端的支承剛度分別為k1、k2 ，桿繞質(zhì)心g點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j。假設(shè)作用在質(zhì)心g點(diǎn)的激勵(lì)力為簡(jiǎn)諧力f和簡(jiǎn)諧轉(zhuǎn)矩t，則剛性桿不僅沿x方向振動(dòng)，而且繞其質(zhì)心扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。解取剛性桿的廣義坐標(biāo)為由牛頓定律，系

3、統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為和寫成矩陣表達(dá)式：即質(zhì)量矩陣剛度矩陣sinfftt力列陣122 21 1sin()()gggmxftkkxk lk l222 21 11 12 2sin()()gggjttk lk l xk lk l), 2 , 1(,)(kifquqtqtdtdiiiinjijjzijjyijjxiqzfqyfqxff1)(t 為系統(tǒng)的動(dòng)能 u為系統(tǒng)的勢(shì)能qi 為廣義坐標(biāo) fi為非有勢(shì)廣義力拉格朗日方程ttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。ㄓ懻摚嘿|(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系

4、?。╬25） gxg和在兩個(gè)方程中出現(xiàn)，稱為靜力參數(shù)耦合或彈性耦合。例題2（p25）：用拉格朗日方程方法，列出車輛二自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程（右圖）。223)(21)(21cccjlxmt252241)(21)(21cccclxklxkutfxkxkmlxmccccsin213 ttlklkmljxmlcccccsin252241233 cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 解廣義坐標(biāo)：取c點(diǎn)（g點(diǎn)為質(zhì)心）的直線位移為 xc 為q1，轉(zhuǎn)角為c為q2 ，此時(shí)外力 fc 和轉(zhuǎn)矩 tc作用在c點(diǎn)。5241lklk另設(shè)：系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的勢(shì)能：利用拉格朗日方程

5、，得寫出矩陣12221 42 500kkkk lk l質(zhì)量矩陣討論：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。ㄓ懻摚嘿|(zhì)量矩陣、剛度矩陣的特性與廣義坐標(biāo)的關(guān)系?。╬26） 3233mmlmmljml為對(duì)稱陣剛度矩陣為對(duì)角陣cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 gx g和在兩個(gè)方程中出現(xiàn)，稱為慣性耦合。3.影響系數(shù)法n剛度影響系數(shù)法n柔度影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij ：在系統(tǒng)的 j 點(diǎn)產(chǎn)生單位位移（即 xj=1 ），而其余各點(diǎn)的位移均為零時(shí)，在系統(tǒng)的 i點(diǎn)所需要加的力。剛度影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法又成為單位又成為單位位移法位移法例如，上圖中k1

6、1表示在質(zhì)量 m1 產(chǎn)生單位位移 xl=1，而其它各質(zhì)量位移均為0時(shí)，在質(zhì)量m1所施加的力。此時(shí)111212() 1kkkkk 0xkxm 321000000mmmm433332222133323123222113121100kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk例（p26）：質(zhì)量 m1、m2 、m3 的位移為 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。解剛度影響系數(shù)kij ：111212() 1kkkkk 122kk130k 212kk2223kkk233kk310k 323kk3334kkk動(dòng)力學(xué)微分方程為則討論：（討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？?。┤?/p>

7、果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？?。?）剛度影響系數(shù)）剛度影響系數(shù)kij = kji 與剛度矩陣的對(duì)稱性?。ㄅc剛度矩陣的對(duì)稱性?。╬27）11表示在 m1上作用一個(gè)單位力 fj =1 ，而質(zhì)量m2、m3 上無(wú)作用力時(shí)，梁上 m1 處所產(chǎn)生得位移，由材料力學(xué)，得eil7689311柔度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法又稱為單位又稱為單位力法力法柔度影響系數(shù)ij ：在系統(tǒng)的 j 點(diǎn)作用一個(gè)單位力（即fj =1 ），而其余各點(diǎn)均無(wú)作用力時(shí)，在系統(tǒng)的i點(diǎn)產(chǎn)生的位移。例（p27）：圖2-3所示，簡(jiǎn)支梁上有質(zhì)量 m1、m2 、m3，不計(jì)梁的自重。 的位移為 x1 、x2 、x3 。列出三自由度鉛垂方向振動(dòng)微分

8、方程。解柔度影響系數(shù) ij ：21表示在m1上作用一個(gè)單位力fj =1 ，而質(zhì)量m2、m3 上無(wú)作用力時(shí)，梁上m2處所產(chǎn)生得位移，由材料力學(xué)，得32111768lei同理，可以求出其他柔度系數(shù)。 11,kk 01xxm eil768911711161171193333231232221131211最后得出總?cè)岫认禂?shù)矩陣可以證明，柔度影響系數(shù)矩陣與剛度影響系數(shù)矩陣互為逆陣柔度影響系數(shù)矩陣與剛度影響系數(shù)矩陣互為逆陣，即三自由度鉛垂方向振動(dòng)微分方程為討論：討論：（1）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？！難度多大？）如果直接用牛頓定律，可否列出上述方程？！難度多大？（2）上述方程為什么不用剛度影響

9、系數(shù)法？難度多大？用拉格朗日方程方法？）上述方程為什么不用剛度影響系數(shù)法？難度多大？用拉格朗日方程方法？（3）什么時(shí)候用柔度影響系數(shù)法？什么時(shí)候用剛度影響系數(shù)法？（）什么時(shí)候用柔度影響系數(shù)法？什么時(shí)候用剛度影響系數(shù)法？（p28）結(jié)論：結(jié)論：（1）對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用剛度影響系數(shù)法較容易）對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，應(yīng)用剛度影響系數(shù)法較容易（2）對(duì)于梁、多重?cái)[系統(tǒng)則用柔度影響系數(shù)法容易）對(duì)于梁、多重?cái)[系統(tǒng)則用柔度影響系數(shù)法容易（3）對(duì)于桿件機(jī)構(gòu)，應(yīng)）對(duì)于桿件機(jī)構(gòu)，應(yīng)用拉格朗日方程方法用拉格朗日方程方法較容易較容易（二）多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型（二）多自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型 0xkxm )si

10、n()sin(2211taxtaxnn 0)sin()(21212taakaamnn 0)(2ukmn 21aau對(duì)于一個(gè)多自由度多自由度的自由振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)系統(tǒng)（以二自由度系統(tǒng)為例）（以二自由度系統(tǒng)為例）設(shè)質(zhì)量塊作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即（2-5）帶入（2-5）式，則上式對(duì)于任意時(shí)間t 成立，則振幅列陣特征方程特征方程（2-6）即為振型求解二自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型0)()(0)()(222222122121221212121111amkamkamkamknnnn022222221212111121111nnnnmkmkmkmk 02mkn21,21122112222 11211221242()n

11、bbacaam mbm km kck kk 二自由度系統(tǒng)特征矩陣方程的展開式為（2-7）（2-8）該方程具有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零也可表示為 易解出 得出兩個(gè)固有頻率下的振幅比值21nn為一階固有頻率（或第一階主頻率）為二階固有頻率（或第二階主頻率）1n2n固有頻率的大小僅取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。固有頻率的大小僅取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。將所求得的固有頻率1n2n和代入系統(tǒng)特征矩陣方程12221111)2(1)2(2)2(12211111)1(1)1(2)1(kmkaakmkaann因此，振型可表示為)1()1(1u)2()2(1u ,)2()1 (uuu 第一主振型第二主振

12、型22方陣方陣 ,)()2()1 (nuuuun1nn對(duì)于 n 個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng) 0xkxm 由特征方程，可求出 n 個(gè)固有頻率 其振型可表示為nn方陣方陣（三）初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加）（三）初始條件和系統(tǒng)響應(yīng)（模態(tài)疊加） (1)u)2(2)1(22)2(1)1(11xxxxxx)sin()sin()sin()sin(22)2(1)2(11)1(1)1(222)2(111)1(11tautauxtataxnnnn101xx )sin()sin()sin()sin(22)2(211)1 (2222)2(111)1 (11tataxtataxnnnn202xx 101xx 202xx 222

13、010)1(22010)1()2()1()2(1212010)2(22010)2()2()1()1(1)()(1)()(1nnxxuxxuuuaxxuxxuuua)(tan()(tan(2010)1(2010)1(222010)2(2010)2(11xxuxxuaxxuxxuann以二自由度系統(tǒng)為例，質(zhì)量塊 m1、m2 組成的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)有兩組解，而其全解由這兩組解疊加而成，即系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng)為引入振型設(shè)初始條件初始條件：t=0 時(shí)，推導(dǎo)出2n1n(2)u(2)1a已知已知：求求：(1)1a12（2-14）2.2 動(dòng)力減振器tfxxkkkkkxxccccxxmmsin000021222212

14、12121 tiebx222111xiebixxiebixtiti2222212121xebxxebxtiti 在工程中，為減少振動(dòng)帶來(lái)的危害，可以在主系統(tǒng)主系統(tǒng)上裝設(shè)一個(gè)輔助的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。該輔助裝置與主系統(tǒng)主系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)。該輔助裝置能使主系統(tǒng)避開共振區(qū)，并有減振效果，故稱為動(dòng)力減振器動(dòng)力減振器。動(dòng)力減振器動(dòng)力減振器與隔振器是本質(zhì)不同的。該二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程為采用復(fù)數(shù)法求解微分方程（參見第1.9節(jié)，p20） tieff0sin000（2-18）帶入（218）式，得 為了比較安裝動(dòng)力減振器前后的減振效果，用減振后主系統(tǒng)的振幅與主系統(tǒng)在激振力幅值 作

15、用下產(chǎn)生的靜位移 之比來(lái)評(píng)價(jià)。0)00(02122221212fbbkkkkkccccimm22221122222222221122222201)()()(mmkcmkmkmkcmkfb（2-20）展開后，求出 b1 ，再將b1的復(fù)數(shù)值求模，得靜位移為0f0fst10/kfst1n12nn111mkn222mkn12mm222222mkcmcccnc設(shè)帶入（220）式，得 注意希臘字母(ksi)原機(jī)械固有頻率原機(jī)械固有頻率減振器固有頻率減振器固有頻率注意：為了工程設(shè)計(jì)方便，與二自由度系統(tǒng)兩階固有頻率概念有別。222222222222222221)1 (4)(1(4)()(stb02222222

16、1)(1 (stb1 . 0/12mm注意希臘字母(ksi)如果 （2-22）則 無(wú)阻尼動(dòng)力減振器的設(shè)計(jì)無(wú)阻尼動(dòng)力減振器的設(shè)計(jì)討論討論當(dāng)減振器的固有頻率等于激振頻率時(shí)，即 2n則 （2-23）10stb達(dá)到了消振目的 然而，減振器的引入，卻出現(xiàn)了兩個(gè)新的共振點(diǎn) ：12和取式（2-23）分母為零（意味著共振），并令 1221,2124 則 即：新的共振頻率僅由減振器與主系統(tǒng)質(zhì)量之比為使主系統(tǒng)能遠(yuǎn)離新的共振點(diǎn)的范圍內(nèi)，希望12與相差較大一般在設(shè)計(jì)無(wú)阻尼動(dòng)力減振器設(shè)計(jì)無(wú)阻尼動(dòng)力減振器時(shí)，?。?-24）理想情況理想情況2.3 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 1.方程的耦合與坐標(biāo)變換2.主振型的正交性 3.

17、模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo) 4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 5.模態(tài)矩陣正則化6.振型截?cái)喾ǎ╟ut off）1.方程的耦合與坐標(biāo)變換方程的耦合與坐標(biāo)變換ttfxlklklklklklkkkxjmggggsin002222111122112221 cccccctfxlklkkkxmljmlmlm25224121233300 回顧回顧（第（第2.1節(jié)節(jié)p24、p25）（g點(diǎn)為質(zhì)心）為剛性桿的廣義坐標(biāo)時(shí)，有g(shù)xg和針對(duì)行駛車輛的二自由度系統(tǒng)，用牛頓定律，以用拉格朗日方程，以gxg和為剛性桿的廣義坐標(biāo)時(shí)，有稱謂彈性耦合稱謂慣性耦合n對(duì)于同一系統(tǒng)，采用的坐標(biāo)系統(tǒng)不同，微分方程的形式和耦合情況就不同。即微分方程

18、的耦合狀態(tài)是由所選的坐標(biāo)系統(tǒng)決定的。n如果振動(dòng)微分方程組的各系數(shù)矩陣均為對(duì)角陣，各方程間不存在任何耦合，各分別求解，與單自由度求解完全相同。n適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。結(jié)論結(jié)論問(wèn)題問(wèn)題如何進(jìn)行坐標(biāo)變換？gccgclxx3ggccxlx1013 yux 仍然采用行駛車輛的二自由度系統(tǒng)圖，有如下關(guān)系寫成矩陣對(duì)于任意的線性變換可表達(dá)為 u為變換矩陣遺憾：遺憾：前面這個(gè)變換矩陣不能達(dá)到解耦目的要做的工作：要做的工作：尋找一個(gè)合適的變換矩陣，使原來(lái)方程解耦結(jié)論：結(jié)論： u這個(gè)變換矩陣就是主振型矩陣2.主振型的正交性主振型的正交性 與第一式相減，有 0)(2ukmn umukn

19、2 )2(22)2()1 (21)1 (umukumuknn (2)(1)(2)2(1)1(1)(2)(1)2(2)2ttnttnukuumuukuumutu)2(tu) 1 ( ) 1 (22)2() 1 ()2(umuukuntt0)() 1 ()2(2122umutnn以二自由度系統(tǒng)為例特征方程或?qū)蓚€(gè)固有頻率和相應(yīng)振型代入，得將上式兩邊分別前乘以和將第二式轉(zhuǎn)置，有0)(2122nn0) 1 ()2(umut 0)1 ()2(ukut主振型的正交性的物理意義：主振型的正交性的物理意義：各階主振型之間的能量不能傳遞，保持各自的獨(dú)立性，但每個(gè)主振型內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能是可以相互轉(zhuǎn)化的（p33）

20、當(dāng) 時(shí)，有主振型對(duì)主振型對(duì)質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣的正交性的正交性同理可得主振型對(duì)主振型對(duì)剛度矩陣剛度矩陣的正交性的正交性條件：條件：主振型的正交性只有在質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為對(duì)稱矩陣時(shí)才成立推論：推論： ( )( )( )( )0,0,ttijijumuukuij3.模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo)模態(tài)矩陣和模態(tài)坐標(biāo),)2() 1 (uuu 由主振型對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性k可使m、k 變?yōu)閷?duì)角矩陣。 以主振型 u線性變換矩陣，對(duì)系統(tǒng)的原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換 設(shè)系統(tǒng)原方程為（仍以二自由度為例） fxkxm 主振型稱為模態(tài)矩陣或振型矩陣坐標(biāo)變換 yuxyux 線性變換矩陣， um y為模態(tài)坐標(biāo)（2-35）代入原方程，

21、并在等號(hào)兩邊分別前乘以 tu，得（2-35） 21210210000000qqfuqkkukukmmumumqykymttt 0m0k1m為模態(tài)質(zhì)量矩陣2m為模態(tài)剛度矩陣1k2k為第一、二階模態(tài)質(zhì)量或主質(zhì)量 為第一、二階模態(tài)剛度或主剛度 q為模態(tài)力列陣?yán)斫猓豪斫猓?) 1 ()2(umut 0) 1 ()2(ukut運(yùn)用主振型的正交性運(yùn)用主振型的正交性4.多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法多自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析方法 fxkxm )()2()1 ()(2)2(2)1 (2)(1)2(1)1 (1)()2()1 (,nnnnnnnuuuuuuuuuuuuu yuxyux qykym00 fuqukukum

22、umttt00在二自由度系統(tǒng)模態(tài)分析基礎(chǔ)上擴(kuò)展多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為坐標(biāo)變換有（2-38）（2-40）系統(tǒng)的模態(tài)方程是一組不耦合的方程組理解：理解：運(yùn)用主振型的正交性運(yùn)用主振型的正交性 ( )( )( )( )0,0,ttijijumuukuij（4）把模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)變換成廣義坐標(biāo)響應(yīng)，即為系統(tǒng)的響應(yīng)小結(jié)：小結(jié)：多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（多自由度系統(tǒng)模態(tài)分析的基本步驟（p34） （1）求系統(tǒng)的固有頻率與主振型，構(gòu)成主振型矩陣 u yuxyux （2）坐標(biāo)變換 qykym00 fuqukukumumttt00得（3）求模態(tài)方程的解。一般可由杜哈美積分杜哈美積分，或待定系數(shù)法待定系數(shù)法求微

23、分方程的特解。將廣義坐標(biāo)表示的初始條件，變換為用模態(tài)坐標(biāo)表示，并代入模態(tài)方程，求出各積分常數(shù)。注意：此時(shí)的變量為y！ xuy即理解：通過(guò)坐標(biāo)變換后，模態(tài)方程中各參量均無(wú)任何物理含義！5.模態(tài)矩陣正則化模態(tài)矩陣正則化（p35）（本科生略）（本科生略） imn 1)()(intinniumum)()(iiinuu)(iu)(inuiiitiimumu11)()( 將模態(tài)方程的模態(tài)質(zhì)量矩陣變?yōu)閱挝痪仃?，該坐?biāo)變換稱為模態(tài)矩陣正則化，即第 i 階模態(tài)質(zhì)量為為系統(tǒng)的 i 階振型；為系統(tǒng)的 i正則階振型所以，必須對(duì)系統(tǒng)主振型加以修正：為正則化因子（2-41）（2-42）將（2-42）代入（2-41），得i

24、m為 i階模態(tài)質(zhì)量 理解：正則模態(tài)質(zhì)量矩陣為單位矩陣；正則模態(tài)剛度矩陣為對(duì)角陣用正則模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，有 n00000000000021 uun ,nnnnxuyxuy 221nnnnnnnnntnnntnnntnnnininininimykyqyyqmumukukuqufkkkm 或?qū)⒄齽t化因子排成一個(gè)對(duì)角矩陣正則模態(tài)矩陣為（2-44）（2-45）（2-47）6.振型截?cái)喾ǎㄕ裥徒財(cái)喾ǎ╟ut off） nn 11n) 1()2() 1 () 1(2)2(2) 1 (2) 1(1)2(1) 1 (1) 1()2() 1 (,nnnnnnnpuuuuuuuuuuuuu ppppyuxyux

25、 fuqukukumumqykymtppptppptppppppp 適用于：（1）對(duì)于自由度很大的系統(tǒng)，可以進(jìn)行自由度縮減，求解大模型的少數(shù)階（前幾階）模態(tài)。（2）對(duì)于外力隨時(shí)間變化較慢，系統(tǒng)初始條件中包含高階主振型分量較少的情況。在 n 個(gè)主振型中，取個(gè)主振型，且進(jìn)行坐標(biāo)變換，有nn1矩陣，無(wú)逆陣正n1個(gè)方程，即自由度縮減 ppyux pppptptpymyumuxmu xmumytppp1問(wèn)題問(wèn)題pu ppppppyuxyuxyux 由于無(wú)逆陣，運(yùn)用不能直接求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件方法方法利用則（2-51）則可求出模態(tài)坐標(biāo)的初始條件討論：討論：振型截?cái)喾ū厝粫?huì)帶來(lái)計(jì)算精度的降低。但計(jì)算效率多

26、大提高，在工程實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。振型截?cái)嗟恼齽t化振型截?cái)嗟恼齽t化（p36）（本科生略）（本科生略） pnmi 121000000000000ppppn pnppuu( )( )11iipitpipppmumu( )( )iipnpipuu212221000000nnnnpnk xmuxmumytpntpnpnpn1 ,pnpnpnpnxuyxuy 2pnpnpnpnpnpnnpnpnmykyqyyq 或坐標(biāo)變換振型截?cái)嗾齽t模態(tài)矩陣為模態(tài)方程模態(tài)坐標(biāo)的初始條件（2-54）2.4 確定系統(tǒng)固有頻率與主振型的方法1.矩陣迭代法2.瑞雷(rayleigh)法 3.鄧克萊(dunkerley)法 4.

27、傳遞矩陣(transfer matrix)法 1.矩陣迭代法矩陣迭代法（p36） ampak2 apamk211 akmap12 mkd1 apad21 ,1kkn kkbdaba kknkbba,11基本方法：基于數(shù)值計(jì)算方法的迭代計(jì)算方法 0)(2ukmn特征方程特征方程改寫為改寫為或或（2-56）（2-57）依次從最低階固有頻率和主振型開始計(jì)算依次從最高階固有頻率和主振型開始計(jì)算動(dòng)力矩陣動(dòng)力矩陣引入一個(gè)迭代初始列陣 1a，進(jìn)行迭代計(jì)算迭代計(jì)算：得到下一步迭代初始列陣是,n kb中的最后一個(gè)元素（最好是絕對(duì)值最大的元素） kb a u2p2nn為固有特性階數(shù)k 為迭代次數(shù)（2-60）2)(

28、2)1(2)(/kkkppp 1ka注意：請(qǐng)比較 apad21 ,1kkn kkbdaba容易看出：每次迭代中計(jì)算knkbp,2)(1精度設(shè)置：若滿足（也可以對(duì)其他值進(jìn)行精度設(shè)置）迭代過(guò)程終止，則第一階主振型2)(21kpf第一階固有頻率（hz）過(guò)程示范： 111,11 1bdaba 211,11abb 1a初選2(1)1,11pb 221,22 1bdaba 321,21abb2(2)1,21pb 1,1kkkkbdaba 11,1kkkabb2( )1,1kkpb注意：到此，只求出第一階主振型、第一階固有頻率！ *2(1)(1)1( )1tkkkddaamm p ) 1() 1(1ktka

29、mam ) 1( ka2)(kp下一步目的：用矩陣迭代法矩陣迭代法求出二階及所有固有頻率和主振型方法：用清除法清除法從動(dòng)力矩陣d中清除與上一階算出的主振型有關(guān)的部分清除法清除法清除（矩陣）部分上一階算出的主振型固有頻率和 d*d上一階用于迭代計(jì)算的動(dòng)力矩陣。如果上一階計(jì)算的是第一階，即為原始動(dòng)力矩陣 將 d，應(yīng)用前面的迭代式，即可求解下一階固有特性說(shuō)明：固有特性就是指固有頻率和主振型 ampamk)()(2 )(mk mmkd1)( apad21問(wèn)題：有剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)，剛度矩陣k是半正定半正定的，無(wú)法求逆，也就無(wú)法直接形成動(dòng)力矩陣 d，不能直接使用上述算法方法：改寫為 a

30、mpak2是任意正數(shù)是正定矩陣正定矩陣令原問(wèn)題改變?yōu)槔们懊娴挠?jì)算方法，得到固有頻率與主振型提問(wèn)：請(qǐng)列舉有剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)？剛體運(yùn)動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)？例如：空中的飛行器；齒輪減速器中的齒輪軸扭轉(zhuǎn)（不計(jì)摩擦力） （2-66）（2-64）（2-65）2p2p討論（p37）（1）采用（2-64）式后，系統(tǒng)的主振型（特征失量）不變，只是2p變?yōu)?p原系統(tǒng)的固有頻率（特征值）變了，（2）一般取比系統(tǒng)估計(jì)的最低固有頻率的平方 2p略小一些為宜。 對(duì)經(jīng)驗(yàn)不足者，這一點(diǎn)難以把握?？梢噪S意取一個(gè)正數(shù)，試算之后調(diào)整。 課后練習(xí)（p37） 課后，請(qǐng)對(duì)圖2-8所示的3自由度水平振動(dòng)系統(tǒng)、圖2-9所示的13自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系

31、統(tǒng)，運(yùn)用matlab或自己熟悉的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，求出所有各階固有頻率與主振型。要求：編寫程序、打印計(jì)算結(jié)果，最好是圖形顯示結(jié)果。2.瑞雷瑞雷（rayleigh）法法（p42）下一小結(jié)之引言：人們?cè)缇驼J(rèn)識(shí)到多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有頻率與振型。但是，一方面由于微分方程組精確求解困難，另一方面，工程實(shí)際中最關(guān)心的是低階固有特性，尤其是第一階固有頻率。在電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世之前，瑞雷法、鄧克萊法等具有一定的實(shí)用價(jià)值。采用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒原理機(jī)械能守恒原理求系統(tǒng)的固有頻率?；舅枷耄合雀鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)和理論分析，假定一個(gè)振型，然后用能量法求出與這個(gè)假定振型相應(yīng)的系統(tǒng)固有頻率。局限性：只能求一階固有頻率（基頻）)(21332

32、211maxgymgymgymu)(21233222211maxymymymt332211,yyyyyynnn)(22332222112maxymymymtnmaxmaxutniiiniiinymymg12121)()(23322221133221121ymymymgymymymn例（p42）：右圖所示的三自由度橫向振動(dòng)系統(tǒng)，在一根無(wú)質(zhì)量彈性梁上，固定三個(gè)集中質(zhì)量，用瑞雷法求其基率。解：（1）假定一階振型根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和理論分析，這個(gè)系統(tǒng)的一階振型十分接近它的靜繞度曲線。因此，其振型可用各點(diǎn)靜繞度（由材料力學(xué)）來(lái)表示。123,y yy（2）梁振動(dòng)至極限位置的變形能（3）梁恢復(fù)到平衡位置的動(dòng)能由于則（

33、4）機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒對(duì)于保守系統(tǒng)（系統(tǒng)作自由振動(dòng)，且忽略系統(tǒng)的阻尼時(shí)）（5）推廣到 n 個(gè)自由度 3.鄧克萊鄧克萊(dunkerley)法法（p43）kkkmkkknkk222332222112111111nkknnnn1n211n2222nnkk19世紀(jì)鄧克萊在通過(guò)試驗(yàn)方法確定多圓盤軸的橫向振動(dòng)固有頻率時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)關(guān)系：系統(tǒng)的基頻當(dāng)軸上只有圓盤1，而其余圓盤都不存在時(shí)，單圓盤軸系統(tǒng)的固有頻率依此類推 2211nnkk的計(jì)算是一個(gè)單自由度問(wèn)題?？梢岳貌牧狭W(xué)公式（可查表），先計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的撓度，再計(jì)算 然后計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)的剛度4.傳遞矩陣傳遞矩陣(transfer matrix)法法 傳

34、遞矩陣法的優(yōu)點(diǎn)：（1）所使用的矩陣階次不隨系統(tǒng)的自由度多少而變 對(duì)扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其矩陣始終為2階（轉(zhuǎn)角和扭矩） 對(duì)橫向振動(dòng)系統(tǒng)，其矩陣始終為4階（2個(gè)位移和2個(gè)力）（2）很容易采用計(jì)算機(jī)計(jì)算，用同一程序可計(jì)算出系統(tǒng)的各階固有頻率與主振型鏈狀系統(tǒng)：鏈狀系統(tǒng)：由許多單元一環(huán)連一環(huán)結(jié)合起來(lái)的結(jié)構(gòu)例如：例如：汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、內(nèi)燃機(jī)曲軸、齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等，經(jīng)等效轉(zhuǎn)換后，可轉(zhuǎn)化成一個(gè)多盤轉(zhuǎn)子式的鏈狀系統(tǒng) 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)型（本節(jié)介紹） 連續(xù)梁可離散成若干個(gè)集中質(zhì)量，各集中質(zhì)量之間以無(wú)質(zhì)量的彈性梁相聯(lián)接的鏈狀系統(tǒng) 橫向振動(dòng)（彎曲）型（第八章第三節(jié)介紹）扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的傳遞矩陣法liriiittj ini2 inilirijtt2iliriliinritjt1012第i個(gè)圓盤