第1章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué)講義§1緒論所謂振動(dòng)，廣義地講，指一個(gè)物理罐在它的平均值附近不停地經(jīng)過(guò)極人值和極小值而往 復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)指機(jī)械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運(yùn)動(dòng)。本書(shū)涉及的振動(dòng)如 果沒(méi)有特別說(shuō)明，均指機(jī)械振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)所研究的対象是機(jī)械或結(jié)構(gòu),在理論分析中要將實(shí)際的機(jī)械或結(jié)構(gòu)抽象為力學(xué) 模型，即形成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)?？梢援a(chǎn)牛機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)。一 般來(lái)說(shuō)，任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可能產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)的原因是由于外界對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響，即外界對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)或作 用。如果外界對(duì)某一個(gè)系統(tǒng)的作用使得該系統(tǒng)處丁靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的幾何位置稱(chēng)為系統(tǒng) 的

2、靜平衡位置。依據(jù)系統(tǒng)勢(shì)能在靜平衡位置附近的性質(zhì)，系統(tǒng)的掙平衡位置可以分為穩(wěn)定平 衡，不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡等兒種情況。機(jī)械振動(dòng)屮的平衡位置是系統(tǒng)的穩(wěn)定平街位置。系 統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)的位移通常是比較小的，因?yàn)閷?shí)際結(jié)構(gòu)的變形一船是比較小的。在上程和li常生活中冇大量的，豐富多彩的振動(dòng)現(xiàn)象。例如，車(chē)輛行駛時(shí)的振動(dòng)，發(fā)功 機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的振動(dòng)，演奏樂(lè)器時(shí)樂(lè)器的振動(dòng)。在很多情況下機(jī)械振動(dòng)是啟害的，比如，車(chē)輛行 駛時(shí)的振動(dòng)會(huì)使乘員感到不適，在用車(chē)床加工零件時(shí)車(chē)刀的振動(dòng)會(huì)使零件的加工精度下降。 而在某些情況卜，人們乂利用振動(dòng)進(jìn)行工作。比如，建筑1：利用搗固棒的振動(dòng)使水泥沙漿 混合均勻。對(duì)于工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題，人們關(guān)

3、心振動(dòng)會(huì)不會(huì)使結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度等 物理雖過(guò)大。因?yàn)槲灰七^(guò)大可能引起結(jié)構(gòu)各個(gè)部件z間的相互干涉。比如汽布的輪鈾與大梁 會(huì)因?yàn)閯×艺駝?dòng)而頻繁碰撞，造成大梁過(guò)早損壞，并危及行車(chē)安全。乂如，汽車(chē)行駛中如果 垂直振動(dòng)加速度過(guò)大，將會(huì)影響汽年的平順性，給乘員帶來(lái)不適或危及所載貨物的安全。振 動(dòng)過(guò)人也造成結(jié)構(gòu)的應(yīng)力過(guò)人，即產(chǎn)生過(guò)人的動(dòng)應(yīng)力，有時(shí)這種動(dòng)應(yīng)力比靜應(yīng)力人的多，容 易使結(jié)構(gòu)早期損壞。另外，振動(dòng)過(guò)大會(huì)引起其他的副作用，如劇烈的振動(dòng)會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)烈 的噪聲，等等。為了避免振動(dòng)危害，利用振動(dòng)進(jìn)行工作，我們應(yīng)了解結(jié)構(gòu)振動(dòng)的規(guī)律，在實(shí) 際工作中應(yīng)川這些規(guī)律。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)向高強(qiáng)度低重量

4、方向發(fā)展，振動(dòng) 問(wèn)題尤顯突出，對(duì)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)制造捉出了更高的要求。因此，現(xiàn)代的工程技術(shù)人員應(yīng)該掌握 必要的機(jī)械振動(dòng)知識(shí)，并將它應(yīng)用于實(shí)際工作中。在我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的力學(xué)課程中，理論力學(xué)研究質(zhì)點(diǎn)和剛體的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)，不考慮材 料的彈性；材料力學(xué)研究結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)，它考慮了材料的彈性性質(zhì)。機(jī)械振動(dòng)研究結(jié)構(gòu)振動(dòng) 的一般規(guī)律，是材料力學(xué)在動(dòng)力學(xué)方面的擴(kuò)展，它與材料力學(xué)樣，是討論材料強(qiáng)度的問(wèn)題。在機(jī)械振動(dòng)小，把外界對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)或作用，如作川在結(jié)構(gòu)上的外力，道路不平對(duì) 行駛乍輛的彫響等等，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)或輸入。而系統(tǒng)對(duì)外界彫響的反應(yīng)，如振動(dòng)系統(tǒng) 某部位產(chǎn)生的位移、速度、加速度及應(yīng)力等，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)

5、或輸出。固11簡(jiǎn)明地 表明了激勵(lì)、響應(yīng)和系統(tǒng)三者之間的關(guān)系，機(jī)械振動(dòng)就是刃從理論上講，激勵(lì)、系統(tǒng)和響應(yīng)三者知其二可求出笫三者。因此常見(jiàn)的振動(dòng)問(wèn)題可以分 成下而幾種基本課題：1. 振動(dòng)設(shè)計(jì) 在已知外界激勵(lì)的條件下設(shè)計(jì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使其響應(yīng)滿(mǎn)足預(yù)期的要 求，比如汽車(chē)的平順性設(shè)計(jì)，己經(jīng)知道激勵(lì)即路面的性質(zhì)，根據(jù)人體所能承受振動(dòng)的情況和 其他要求，設(shè)計(jì)汽車(chē)的懇架系統(tǒng)。2. 系統(tǒng)識(shí)別根據(jù)已知的激勵(lì)與響應(yīng)的特性分析系統(tǒng)的性質(zhì)，并可進(jìn)一步得到振動(dòng)系 統(tǒng)的全部參數(shù)。比如振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，給系統(tǒng)施加規(guī)定的激勵(lì)，測(cè)出系統(tǒng)的響應(yīng)，通過(guò)分折，得到系統(tǒng)的振動(dòng)性質(zhì)。3. 環(huán)境預(yù)測(cè)已知系統(tǒng)振動(dòng)性質(zhì)和響應(yīng)，研究激勵(lì)的特性。比如用加

6、速度傳感器測(cè)最結(jié)構(gòu) 的振動(dòng)加速度。把加速度傳感器看做一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，它的振動(dòng)性質(zhì)是已知的，把它安放在檢 測(cè)結(jié)構(gòu)上，它將隨結(jié)構(gòu)一起振動(dòng)。因1何，系統(tǒng)受到的外界激勵(lì)就是結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。加速度傳感 器能測(cè)出在外界激勵(lì)卜它門(mén)身的響應(yīng)，根據(jù)加速度傳感器的響應(yīng)與它的振動(dòng)性質(zhì)以及所受的 激勵(lì)之間的關(guān)系，可以得到結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)。這些基本課題在工程實(shí)際中應(yīng)用很廣,研究它們需要深入了解振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)和它與外 界激勵(lì)、系統(tǒng)響應(yīng)之間的關(guān)系，這些是機(jī)械振動(dòng)課程的基本內(nèi)容。1-2機(jī)械振動(dòng)的分類(lèi)按照上節(jié)的框圖，從三個(gè)方面對(duì)機(jī)械振功進(jìn)行分尖。一、按系統(tǒng)的輸入類(lèi)型分1. 自由振動(dòng)：系統(tǒng)受初始十?dāng)_或原冇外激振力取消后的振動(dòng)。2. 強(qiáng)

7、迫振動(dòng)：系統(tǒng)在外激振力作用下產(chǎn)牛的振動(dòng)。3. 自激振動(dòng)：系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有能量補(bǔ)充而產(chǎn)生的振動(dòng)。機(jī)械工 程中機(jī)床加工時(shí)產(chǎn)生的顫振、低速運(yùn)動(dòng)部件的爬行、傳動(dòng)皮帶橫向自振及滑動(dòng)軸承的油膜振 蕩等都是自激振動(dòng)。二、按系統(tǒng)的特性分：1. 按系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的特性分1）線(xiàn)性振動(dòng)：系統(tǒng)內(nèi)的恢復(fù)力、阻尼力和慣性力分別與振動(dòng)的位移、速度和加速度成線(xiàn)性 關(guān)系，系統(tǒng)可用常系數(shù)線(xiàn)性微分方程來(lái)描述其振動(dòng)。2）非線(xiàn)性振動(dòng)：系統(tǒng)內(nèi)若上述參數(shù)小有一組以上不成線(xiàn)性關(guān)系則稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。微分方程 中將出現(xiàn)非線(xiàn)性項(xiàng)。2. 按系統(tǒng)的口由度數(shù)h分1）單自由度系統(tǒng)振動(dòng)：只用一個(gè)獨(dú)立朋標(biāo)就能確定的系統(tǒng)振動(dòng)。2）多占由度系

8、統(tǒng)振動(dòng)：用多個(gè)獨(dú)立座標(biāo)才能確定的系統(tǒng)振動(dòng)。3）連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)：即無(wú)限多口由度系統(tǒng)振動(dòng)，也稱(chēng)彈性體振動(dòng)。系統(tǒng)需用偏微分方程來(lái)描 述其運(yùn)動(dòng)。三、按系統(tǒng)的輸岀分1. 按振動(dòng)位移特征分1）直線(xiàn)振動(dòng)：振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線(xiàn)振動(dòng)a）縱向振動(dòng)：振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)只作沿軸線(xiàn)方向的振動(dòng)。b）橫向振動(dòng)：振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)作垂直軸方向的振動(dòng)，乂稱(chēng)彎曲振 動(dòng)。2）圓振動(dòng)：振動(dòng)體上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧線(xiàn)的振動(dòng)。對(duì)軸線(xiàn) 而言，振動(dòng)體上的質(zhì)點(diǎn)只作繞軸線(xiàn)的振動(dòng)，也稱(chēng)角振動(dòng)。2. 按振動(dòng)規(guī)律分1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)：振動(dòng)員為時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)。2）周期振動(dòng)：振動(dòng)量力時(shí)間的周期函數(shù)，故可用諧波分析 法 展開(kāi)為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的亞加。3）瞬態(tài)振動(dòng)：振

9、動(dòng)量為時(shí)間的非周期函數(shù)，通常只在一定時(shí)間 內(nèi)存在。4）隨機(jī)振動(dòng)：振動(dòng)量不是時(shí)間的確定性函數(shù)，只能用概率統(tǒng)計(jì) 的辦法進(jìn)行研究。1. 4簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表示方法結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，描述它振動(dòng)悄況的物理量是隨時(shí)間變化的，對(duì)以表示為時(shí)間t的函數(shù)，如 f(t), x(t),等等。這種描述振動(dòng)的方法稱(chēng)為時(shí)域描述，而函數(shù)x(t), f(t)稱(chēng)為時(shí)間歷程。周期運(yùn)動(dòng)是物體運(yùn)動(dòng)的一種形式，它的特點(diǎn)是經(jīng)過(guò)相等的時(shí)間間隔t后運(yùn)動(dòng)又重復(fù)出 現(xiàn)，t稱(chēng)為周期運(yùn)動(dòng)的周期。如果物體運(yùn)動(dòng)用吋間函數(shù)x(t)表示，周期運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足x(t+t)=x(t)(1. 8)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，它是時(shí)間的單一正弦或余弦兩數(shù)，即x(t) = asin(c

10、ot+(p)(1. 9)x(t) = bcos(o)t+(p)(1. 10)如果振動(dòng)吋系統(tǒng)的物理量隨吋間的變化為簡(jiǎn)諧函數(shù)，稱(chēng)此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。單口由度系 統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，它的位移等物理量就是簡(jiǎn)諧函數(shù)。比如單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程的解可以 寫(xiě)為（11）0(t) = bcos(ojt4-(p)這里，b和(p是由初始條件決定的常數(shù)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為一個(gè)繞原點(diǎn)做等速圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在水平軸 上的投影。如圖所示，収水平軸為x軸，點(diǎn)p距原點(diǎn)的距離為a, 連o、p兩點(diǎn)的直線(xiàn)op,由水平位置開(kāi)始以等角速度3繞o點(diǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)，在任一時(shí)刻(，點(diǎn)p的x坐標(biāo)(即op在x軸上的投影)為 x(t) = asin(ot式中，cot以為

11、相位，表示直線(xiàn)0p在t時(shí)刻與水平軸的夾介j。3 是直線(xiàn)0p在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的弧度，稱(chēng)為圓頻率，它就是理論 力學(xué)中的角速度，單位為rad / so因?yàn)橹本€(xiàn)op繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)2?；《葹橐粋€(gè)周期t,故上式應(yīng)滿(mǎn)足條件:acosco (t+t)=acos(ot+2兀)(12)f=irr=(d/27i為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率。如果振動(dòng)位移為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，我們稱(chēng)此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。如果直線(xiàn)op不是山水平位置開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，其初始位置與水平位置的夾角為p,軸上的投 影為y(t) = asin(cot+(p)(1.13)式中，(p稱(chēng)為初相角。由式(1. 13) nj得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度的表達(dá)式：v(t) = -coacos(o)

12、t+(p) = -coasin(cot+(p+7t/2)a(t) = -orasin(cot+(p) = -co2asin(ojt+(p+k)(1 - 14)可見(jiàn)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度與位移-樣，都是簡(jiǎn)諧函數(shù)。三者的頻率相同，而速度、加 速度的相位分別比位移超前兀/2和兀，幅值分別增大0和c?倍。從式(1. b)和(14)可得：a(t)=-(o2y(t)(1.15)這表明：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度大小與位移成止比，方向與位移相反。這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)重要 特點(diǎn)。1.4.2兩種常用的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示方法1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的向量表示方法在振動(dòng)問(wèn)題中，用大小不變而繞固定始點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)向量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)能更形象地說(shuō) 明簡(jiǎn)

13、諧振動(dòng)的物理概念。把圖18中的直線(xiàn)op看作繞0點(diǎn)的向雖。而h.它與x軸的夾角為(ot+(p,申是當(dāng)t為零 時(shí)op與x軸的夾介，即初相角。當(dāng)3t+(p角隨時(shí)間t線(xiàn)性增人時(shí)，意味著整個(gè)向最以如速度 ®反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，向量op在兩個(gè)處標(biāo)軸上的投影按簡(jiǎn)諧函數(shù)變化，每當(dāng)向量轉(zhuǎn)過(guò)2兀角度, 運(yùn)動(dòng)就出現(xiàn)重復(fù)。這種向量稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)向量。向量op在x軸和y鈾上的投影分別為y(t) = asin(cot |(p)x(t)=acos(a)t 十<p)(16)這正是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)同角速度的旋轉(zhuǎn)向量的和滿(mǎn)足向量求和的平行四邊形法則，并保持角 速度不變。從物理上講，兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以合成為一個(gè)與原來(lái)頻率

14、相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng), 反之，一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)也町以寫(xiě)成兩個(gè)與具頻率相同、彼此相位差為任一給定值的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之 和。式(1. 16) +的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)札i位差為n/2,這說(shuō)明，做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)物體從偏離平 衡位置的任一位置開(kāi)始的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相當(dāng)于兩個(gè)頻率相同、相位差為ti/2的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合 成。顯然，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度不同即兩個(gè)頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)不能合成一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示方法參照?qǐng)D(1-10), 一個(gè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)著復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)z,因此可用一個(gè)由原點(diǎn)指向該 點(diǎn)的向量表示。這個(gè)向最的長(zhǎng)度就是復(fù)數(shù)z的模|z|,其與實(shí)軸的夾角由幅角e確定。根據(jù)肓 角處標(biāo)(x, y)和復(fù)數(shù)f關(guān)系f=x+iy用euler公式f=|z|ci <wl+<p)(1.16)這里的3可視為一個(gè)在復(fù)平面上以角速度。旋轉(zhuǎn)的單位復(fù)向最z的模和幅和為o2(1.17)0 = arctan(y/x)由(1.17河知，復(fù)向量分為實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，它們都是時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù) x(t)=re(z)=acos0(t)y(t) = im =asin0(t)(18) 51. 6振動(dòng)的幅值度量振動(dòng)在時(shí)域的幅值特性對(duì)度量振動(dòng)的大小是很重要的。常用的度量振動(dòng)幅值的參數(shù)冇;1.峰值：振動(dòng)屋的最大值。若以x(t)表示某一振動(dòng)量，