向?qū)W生展示數(shù)學(xué)之美

1、向?qū)W生展示數(shù)學(xué)宅美初中數(shù)學(xué)課外活動a摘體會新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，提出了義務(wù)教冇階段數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)，即：通過義務(wù)教冇階段 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)牛能夠獲得適應(yīng)未來社會牛活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué) 事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必耍的應(yīng)用技能；初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思 維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活屮和其他學(xué)科學(xué)習(xí)屮的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的 意識；體會數(shù)學(xué)與h然及人類社會的密切關(guān)系，了解數(shù)學(xué)的價值，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好 數(shù)學(xué)的信心；具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力，在情感態(tài)度和一般能力方面都能得到充分發(fā) 展。這表明新課標(biāo)體系已革新了傳統(tǒng)課程體系，山過去的以學(xué)科中心逐漸轉(zhuǎn)向以

2、學(xué)生為本的 軌道上來。初屮數(shù)學(xué)教師必須以新課標(biāo)為指導(dǎo)，著力構(gòu)建以人為本的數(shù)學(xué)課程體系，自覺遵 循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,積極引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋 與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方 面得到進(jìn)步和發(fā)展。只有教師盡快適應(yīng)新課標(biāo)，并將新課標(biāo)貫穿于實際教學(xué)屮，才能為學(xué)生 的學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。在教學(xué)過程屮，如何讓學(xué)住掌握知識，提高能力，培養(yǎng)良好的情感態(tài)度是新課程實施過 程中的核心問題。筆者認(rèn)為：如來要使學(xué)牛學(xué)好數(shù)學(xué)，必須要讓學(xué)綸熱愛數(shù)學(xué)；要使學(xué)牛熱 愛數(shù)學(xué)，必須給學(xué)生展示數(shù)學(xué)z美。數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)雖關(guān)系和空間形式

3、的科學(xué)。數(shù)學(xué) 美即是蘊(yùn)藏于它所特有-的抽象概念、公式符號、命題模型、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)、推理論證、思維方法 之中的簡單、和諧、嚴(yán)謹(jǐn)、奇界等形式，它是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的自山形式，它揭示了規(guī)律性，是一 種科學(xué)的真實美。數(shù)學(xué)中美的因素是多方面的、具體的、意義深刻的，其主要表現(xiàn)在以下四 方面：一、簡單性。簡單性是美的特征，也是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡單美具有形式簡潔、秩序、規(guī)整 和高度統(tǒng)一的特點，還具有數(shù)學(xué)規(guī)律的普遍性和應(yīng)用的廣泛性。例如，眾所周知的三角形、 平行四邊形、梯形的面積公式，形式簡潔規(guī)整，應(yīng)用廣泛普遍。在梯形的面積公式s=l/2 （a + b） h （a為上底，b為下底，h為高）中，當(dāng)a=0吋變成三角形的

4、面積公式；當(dāng)心）時， 變成平形四邊形的面積公式，這種既有區(qū)別乂有聯(lián)系、既對立乂統(tǒng)一、從量變到質(zhì)變的辯證 方法在數(shù)學(xué)中處處可見。其思維方法引入深思。在解決數(shù)學(xué)問題的過程屮，把看似復(fù)雜的問題，化歸到最簡程度，是展示數(shù)學(xué)美的重要 方法。例1：19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家劉卡在一次國際會議期間，當(dāng)來自各國數(shù)學(xué)家出席的宴會結(jié)束時, 向在場的人們提出如卜-有名的“劉卡問題”：每天中午，某航運(yùn)公司有一艘輪船從巴黎開往紐約。與此同時，該公司還有一艘船從 紐約開往巴黎。假定該公司的所有輪船，在航途中以同速勻速前進(jìn)，所花的時間正好是7 天7夜，并且在大西洋中行駛同一彳亢線，兩船交錯時彼此都能看見.那么今天中午從巴黎 開出

5、的輪船到達(dá)紐約時，將會遇到多少艘自己公司對面開來的輪船？為尋找解決問題的思路，我們無妨把問題約簡到最簡程度：假使所花的時間是一天一夜，其余條件都不變。我們可進(jìn)行如下思考：船出發(fā)，會遇到該公司昨天開出的期一條船, 途屮會辿到與此船同時開出的另一條船，到達(dá)時會遇到從對面剛出發(fā)的第三條船。所以， 途中（包括出發(fā)時和到達(dá)時）共遇對面開來的三條船。用這樣的思路，完全可以解決“劉卡問題”。為把問題解決肓觀化，我們述可以用“運(yùn)行圖”來解答。依題意畫圖如下：圖中，兩斜線交點表示，從巴黎6號出發(fā)的船，在13號到達(dá)紐約時，與對面開來相遇 的船,共13艘。例2：均分溶液4個容積相同的量杯分別盛滿4種不同的液體，還有

6、一個容積相同的空量杯。請你不借 用其它用具，把4種不同的液體分成4杯成分相同的液體。（量杯上有刻度，且任兩種液體 混和后能自動呈均勻狀態(tài)）【講析】：在此題屮，我們著重訓(xùn)練一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，即我們在研究某種較復(fù) 雜的過程時，往往要把這個過程約減到最簡程度，而乂不失其一般性。在這種狀況下，往往 能找到解決較復(fù)雜問題的方法。i我們先來研究三個杯了，兩種溶液的情況：ii再考慮山個杯子，三種溶液的情況：（1）用i法把兩杯先均勻分開。（2）兩杯混合液各倒1/3入空杯。（3）用第三杯溶液把其余三杯添滿。ill如果是四種溶液五個杯子的情況，可根據(jù)ii法先把三種溶液均分在三個杯了內(nèi)，然 后各倒1/4入空杯

7、。最后，把第四種溶液均分在四個杯子中即可。二、和諧性。各種白然形態(tài)，特別是動植物的生態(tài)以及人類的許多造物形態(tài)都有蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)關(guān) 系，有豐富的對稱美、和諧美。作為反映和研究客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)科學(xué)，集中反映了這種美的 特征。數(shù)學(xué)美的和諧性是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備和數(shù)學(xué)所表現(xiàn)出的均衡對稱。例:蜂窩結(jié)構(gòu)蜜蜂的蜂窩構(gòu)造非常精巧、適用而且節(jié)省材料。蜂房由無數(shù)個大小相同的房孔組成，房 孔都是正六角形，每個房孔都被具它房孔包圍，兩個房孔之間只隔著一堵蠟制的墻。令人驚 訝的是，房孔的底既不是平的，也不是圓的，而是尖的。這個底是由三個完全和同的菱形組 成。有人測量過菱形的角度，兩個鈍角都是109°

8、而兩個銳角都是70°。令人叫絕的是，世 界上所有蜜蜂的蜂窩都是按照這個統(tǒng)一-的角度和模式建造的。蜂房的結(jié)構(gòu)引起了科學(xué)家們的極大興趣。經(jīng)過對蜂房的深入研究，科學(xué)家們驚奇地發(fā)現(xiàn), 相鄰的房孔共用一堵墻和一個孔底，非常節(jié)省建筑材料；房孔是正六邊形，蜜蜂的身體基本 上是圓柱形，蜂在房孔內(nèi)既不會有多余的空間乂不感到擁擠。蜂禽的結(jié)構(gòu)給航天器設(shè)計帥們很大啟示，他們在研制時，采用了蜂禽結(jié)構(gòu)：先用金屬制 造成蜂窩，然后再用兩塊金屬板把它夾起來就成了蜂窩結(jié)構(gòu)。這種蜂窩結(jié)構(gòu)強(qiáng)度很高，重量 乂很輕，還有益于隔音和隔熱。因此，現(xiàn)在的航天飛機(jī)、人造衛(wèi)星、宇宙飛船在內(nèi)部大量采 丿ij蜂窩結(jié)構(gòu)，衛(wèi)星的外壷也兒乎全部

9、是蜂窩結(jié)構(gòu)。因此，這些航犬器乂統(tǒng)稱為“蜂窩式航犬 命o蜂窩化石三、嚴(yán)謹(jǐn)性。嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的獨(dú)持之美。它表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義準(zhǔn)確地揭示了概念的木質(zhì)屬性；數(shù)學(xué)結(jié)論 存在且唯一，對錯分明，不模棱兩可；數(shù)學(xué)的邏輯推理嚴(yán)密，從它的公理開始到演繹的最后 一個環(huán)節(jié)不允許有一句假話，即使錯一個符號也不行。此外，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)協(xié)調(diào)完備，數(shù)學(xué) 圖形美麗和諧，數(shù)學(xué)語言生動嚴(yán)密等等都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。這樣，對它所推出的結(jié)論的 正確性人們確信無疑，達(dá)到盡善盡美，令人陶醉的境界。數(shù)學(xué)美的這種嚴(yán)謹(jǐn)性，要求數(shù)學(xué)工 作者具有實事求是，謙虛謹(jǐn)慎，孜孜不倦地追求真理的美徳，這正是數(shù)學(xué)美的倫理價值所在。在數(shù)學(xué)活動中讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)之美筆者

10、采用以下兒種方法：1、分析思維訓(xùn)練，例：中國民間趣題:李白街上走，提壺去打酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？題意：李白不等壺中酒t就上街買酒。先遇一個酒店，便買灑將壺中灑增加一倍，有看 到一處花景，便賞花飲酒喝去一斗。如此三次，恰好把壺屮酒喝干。李白壺屮原有多少酒？此題可用逆推法易得結(jié)論2、邏輯趣味訓(xùn)練，例：說謊部落迷題（i）某海島上有兩個土著部落。一個部落的人只說謊話；另一部落的人則很誠實，不說謊話。 他們相距很近，兩個部落的人經(jīng)?；ハ啻T。一犬，一個游客上了海島來到某一部落。他想知道這究競是哪個部落。一進(jìn)村，正好碰 見一個人。游客問：“這是你的部落

11、嗎？ ”對方回答：“不是。”游客仔細(xì)想了想，很快判斷出他來到的這個地方是哪個部落。他是如何判斷的？【講析】：如果游客到的是誠實的部落，遇到的是誠實的人，回答應(yīng)為“是”。若遇到來 串門的說謊者，他不會說實話，回答也只能為“是”。這樣，游客若來到誠實部落不管遇見 誰，都不可能得到“不是”的冋答。只有游客來到說謊部落時，這個部落的人冋答“不是”, 而來串門的誠實部落的人也會回答“不是”。因此斷定，游客來到的是說謊部落。說謊部落迷題（ii）某海島上有兩個土著部落，一個部落的人總是說謊話，而另一個部落的人總是說真話。 一位旅行者來到這個島上，遇見一高一矮兩個土著居民。旅行者問高個子：“你是說真 話的人嗎

12、？ ”高個了回答：“奧匹甫?！甭眯姓呱虾uz前學(xué)過幾天土著話，但記不清“奧匹 甫”的意思是“是”還是“不是”，但肯定是兩者之一。旅行這乂問矮個子：“高個子說的'是' 是還是'不是'？ ”矮個子回答他說的是'是'，但他是個說謊者，千萬別相信他?！甭眯姓呃Щ罅?，矮個子的話能信嗎？【講析】：不論遇到誰，用“你是說真話的人嗎？ ”提問，回答總是一樣的，就是“是”。 這樣可斷定“奧匹甫”是“是”的意思。而矮個子的人回答正確，故矮個子是誠實的人，誠 實的人不說謊，故矮個了說高個子是“說謊者”也是正確的。3、悖論，例：理發(fā)師悖論一個男理發(fā)師的招牌上寫著：城里所

13、有不自己刮胡子的男子都由我來刮，我也只給這些 人刮胡子。誰給理發(fā)師刮胡子呢？【講析】：悖論在科學(xué)發(fā)展史上占冇重要的位置。以下兒題介紹兒個著名的悖論，使讀者 對這方面的知識有所認(rèn)識，提高讀者對現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣、甚至幽默性質(zhì)的鑒賞 力。所謂悖論，可以這樣來描述，當(dāng)你為解決某個問題遵循著一條無懈可擊的推理思路往前 走的吋候，不需多久，忽然發(fā)現(xiàn)自己己陷入才盾之中而不可自拔。這種問題就是悖論。從古希臘起至今，悖論一直給人們帶來很大的樂趣。更重要的是，最偉大的數(shù)學(xué)家總是 極嚴(yán)肅地對待悖論，因為對它的研究不斷推動著科學(xué)的發(fā)展。這個理發(fā)師悖論是伯特蘭德羅素提出的?，F(xiàn)在來考慮此悖論中的問題：誰來給理發(fā)

14、師刮胡子呢？若他的胡了是別人給他刮的，但按照他招牌上所言，凡是不是自己刮胡了的人都由理發(fā) 師來刮，這樣他的胡子應(yīng)由他理發(fā)師一一自己來刮。若真是這樣的話，根據(jù)招牌所言, 理發(fā)師只給不給自己刮胡子的人刮胡子，又作何解釋呢？理發(fā)師的胡子自己刮不對，自己不刮也不對。理發(fā)師掛出的招牌就是一個悖論。鱷魚悖論希臘哲學(xué)家喜歡講一個鱷魚的故事：鱷魚從一位母親懷里搶走了一個小孩。母親苦苦哀 求，請鱷魚放了孩子。鱷魚說：“你只要回答我一個問題：我會不會吃你的小孩？你若答對 了，我就把孩子還給你；你若答錯了，我就吃掉這個孩子?！蹦赣H回答：“啊，?。磕闶且?掉我的孩子的?！甭牭侥赣H的回答，鱷魚懵了，母親的回答是錯還是

15、對，他是該吃掉這個孩 子還是該放呢？【講析】：鱷魚怎樣想呢？我若把孩子吃掉，就說明母親猜對了，猜對了，就應(yīng)該把孩 子還給她，但若把孩子還給她，乂分明是她猜錯了，她猜錯了，我就應(yīng)該把她的孩子吃掉, 吃掉孩子，分明是她猜對了于是，鱷血陷入了一個邏輯怪圈之中。梵學(xué)者的預(yù)言梵學(xué)者自稱能預(yù)見未來。一天，他同女兒蘇娜發(fā)生爭論： 蘇娜：你是個大騙子，爸爸，你根本不能預(yù)見未來。梵學(xué)者：我肯定能。我預(yù)測過很多事情，從不出差錯。蘇娜：那好，馬上來驗證一下。說著，蘇娜在一張紙上寫了 一句話“幾分鐘后你將寫個不字?！睂懲旰?，蘇娜把紙 條折起來，壓在水晶球下。蘇娜：我這里寫了一件事情。幾分鐘后它可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。

16、你若預(yù)見它發(fā)生， 就寫一個“是”字，你若預(yù)見它不發(fā)生，就寫一個“不”字。爸爸，你能猜準(zhǔn)這件事，那你 就不是騙子。”細(xì)想想：梵學(xué)者能贏嗎？【講析】：這個悖論可以寫成最簡單的形式。規(guī)則：只能用“是”或“不”回答問題。問題：你下句話要講“不”，是不是？若回答“是”，表明你同意問題結(jié)論。而問題結(jié)論是你要講“不”，為什么你要說“是” 呢？若回答“不”，表明你不同意問題結(jié)論。而問題結(jié)論是你要講“不”，既然你已講了 “不” 表明問題結(jié)論是對的，既然問題結(jié)論對，為什么你要說“不”呢？這樣，回答“不”也不對，“是”也不對。這個問題無法回答。介紹的兒個悖論到此為止。若讀者冇某種疑惑，某種質(zhì)問，從而產(chǎn)生某種興趣，我

17、們 的目的就達(dá)到了。兒乎所有的數(shù)學(xué)家都研究過一些悖論，提出過一些發(fā)人深省的問題。正是由于人們対 悖論的研究，導(dǎo)致了二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的重耍成果哥德爾不完備定理的產(chǎn)生。諳讀者在這方 面去尋求新的知識吧。四、奇異性。數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出了一種獨(dú)特的令人驚訝 的奇異美。好似天工巧設(shè)，出神入化，給人一種奇異的美感。數(shù)學(xué)美的奇異性，還表現(xiàn)在學(xué)牛對一個數(shù)學(xué)問題強(qiáng)烈的解決欲望。如：讓學(xué)生觀察上圖，能否發(fā)現(xiàn)其中的矛盾，激發(fā)學(xué)生解決問題的強(qiáng)烈欲望。向?qū)W牛介紹我國數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，介紹我國古代數(shù)學(xué)家的杰出成就和現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué) 發(fā)展的巨大貢獻(xiàn)，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也對他們進(jìn)行了愛國

18、主義教育，增強(qiáng)了他們的 民族自尊心、自信心和自豪感。勾股定理教學(xué)詩歌古代數(shù)學(xué)里程碑，勾股定理放光輝。周髀算經(jīng)測天文，西周商高答周公；勾三股四徑隅五，由此定名垂千古。 （1） 巴比倫有泥板書，考證記載勾股數(shù)。（2） 古希臘人畢達(dá)氏，證明定理用割補(bǔ)。（3）印度文明佛教國，梵藏著作述“折竹”。（4） 要問誰家數(shù)第一，中華最早明勾股。龍的傳人黃皮膚，科學(xué)高峰摘明珠。（5）注：（1）我國放早的一部數(shù)學(xué)及天文著作周髀算經(jīng)記載了勾股定理。該書稱直立的竿為“股”，地 面上的日影為"勾”，桿頂，影端的長為“弦”。于是這個定理就記為：勾+股二弦這就是勾股定理名稱的來歷。周髀算經(jīng)是公元前一世紀(jì)的著作。該書

19、一開始，就記載了我國周朝初年（約公元前1100多年）周 公與當(dāng)時學(xué)者商高關(guān)于言角三角形性質(zhì)的-段對話：圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折 環(huán)而共盤。得成三四五，兩矩共長二十有五，是“昔者，周公問丁商高f1：'竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不得 尺寸而度，請問數(shù)安從出？'商高f1 '數(shù)之法出于圓方， 雉以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。既方其外，半之一雉， 謂積畸。 ”請問古代伏潑是如何確定天地的度數(shù)的？耍知道人意是說，從前，周公問商高：“我聽說您精通f數(shù)， 天是不能用梯子攀登上去，地?zé)o法用尺子來測量，那么數(shù)是從哪里來的呢？ ”商高回答說：

20、“數(shù)的方法是從 研究圓形和方形中開始的，圓形由方形產(chǎn)生，方形則是由折成直角的矩尺產(chǎn)生的。在研究矩形前需耍知道 九九口訣。設(shè)想把一個矩形沿對角線切開，使得短直角邊（勾）的長為三，長直角邊（股）的長為四，斜 邊（弦）長則為五。以弦為邊長作一個正方形，并用四個上述半矩形（直角三角形）把它圍起來拼成一個 方形盤。從它的總面積四十九屮減去原來兩個被切開的矩形面積，便得最初所作正方形而積為二i五。由 此可知，勾三股四必有弦五，這種方法稱為“積矩”。后人把商高的一段話畫成圖形，稱為'弦圖”：容易知道，這實際上給出勾股定理的一種證明方法。（2）古代巴比倫用泥板書來記載文字（培燒過的黏土?xí)澹瑫鍍哟髢?/p>

21、小，小的只有幾平方英寸，最 人的和一般教科書人小差不多，屮心人約冇一英寸半厚）考古家對上面的文字做出成功的破譯。發(fā)現(xiàn)上面 有關(guān)勾般數(shù)的知識。（3）據(jù)西方國家記載，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉和他的學(xué)生們于公元前六吐紀(jì)在意大利南部的克羅之島 （croton）組成了一個學(xué)術(shù)性團(tuán)體，這就是數(shù)學(xué)史上著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們在公元前550年，也是用割補(bǔ)的方法證明了這個定理。據(jù)說，為此還殺了 100頭牛，開了三天的隆重慶典大會，因此，國外稱這 個定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。盡管如此，他比商高提出并址明的時間晩了 550年。（4）印度梵藏著作中（公元七|比紀(jì)）記載了應(yīng)用勾股定理的“折竹問題”：竹高十八尺，為風(fēng)所折， 竹尖抵地、離跟六尺，求兩段之長。（5）勾股定理在周髀算經(jīng)屮沒有給出一般性的證明。到公元三世紀(jì)，三國時代的吳國人趙爽（字 君卿），在他的著作周髀算經(jīng)注后附了一個文獻(xiàn)一一勾股鬪方i員i，對勾股定理給出了嚴(yán)格而巧妙的 證明（在教材習(xí)題屮專門介紹了這種方法）。這種方法穿到兩方后，引起了很人注意。國外許多數(shù)學(xué)家都認(rèn) 為這是“最省力的證明方法”。與古希臘的證明方法有“完全不同的色彩”。在國外，直到公元二十世紀(jì)， 巴斯達(dá)拉才給出類似的證法。勾股定理對世界數(shù)學(xué)發(fā)展冇巨人的影響，是我國古代數(shù)學(xué)的一項輝煌成果。在講授勾股定理時，教師 應(yīng)在課外活動