導數在研究函數零點中的運用

1、導數在研究函數零點問題中的運用導數是研究函數圖像和性質的有力工具，利用導數可以確定函數的單調性、極值，描繪出函數的圖象，而借助函數的圖象，則可判斷函數的零點個數（方程的根）；把函數的“零點存在性定理”與函數的單調性有機的結合在一起，則可說明或證明函數零點的存在性和唯一性。下面就談談導數在研究函數零點問題中的一些運用。一、如何運用導數來判斷函數的零點個數用導數來判斷函數的零點個數，常通過研究函數的單調性、極值后，描繪出函數的圖象，再借助圖象加以判斷。例1. 討論函數()()零點的個數？解： 令,得當變化時，、的變化情況如下表：1 3 + 0 - 0 + 增函數極大值減函數極小值增函數 由上表知：

2、 下面討論函數的零點個數情況（1）當時，函數有1個零點；（2）當時，函數有2個零點；（3）當 ，即時， 函數有3個零點；（4）當，即時，函數有2個零點；（5）當 ，即時， 函數有1個零點；綜上得： 當或時，函數有1個零點；當或時，函數有2個零點；當時， 函數有3個零點；例2.設函數(=2.71828是自然對數的底數,).試討論關于的方程根的個數.解：方程根的個數等價于方程根的個數令，則： （1）當時， 故時，函數為增函數。 （2）當時，故時，函數為減函數。綜上述（1）（2）知：函數在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數。 下面討論方程根的個數 由上述知：當時,方程根的個數為0; 當時,關于的方程根

3、的個數為1; 當時,關于的方程根的個數為2. 二、如何運用導數來判斷復合函數的零點個數復合函數是由內層函數與外層函數復合而成的，在處理其零點個數問題時，應分清內層和外層函數與零點的關系。如：求的零點 如：求的零點 【解題技巧】函數的零點個數的判斷方法可借助換元法解方程的思想分兩步進行。即 令，則 第一步：先判斷的零點個數情況 第二步：再判斷的零點個數情況例：已知函數和在-的圖象如下所示 給出下列四個命題：方程有且僅有6個根    方程有且僅有3個根 方程有且僅有5個根    方程有且僅有4個根 

4、 其中正確的命題是 。      解析：由圖知：（1） 當 當當方程有且僅有6個根   （2）當當方程有且僅有4個根 （3） 當 當當方程有且僅有5個根  （4）當當方程有且僅有4個根 例：已知函數 設，其中，求函數的零點個數解析令，則： (1)先討論關于 的方程即根的情況： 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增。 描繪出函數的草圖，并據草圖可得：方程根的情況如下表所示：C的取值范圍根的個數根或根的范圍2個根或3個根 、2個根或(2)

5、下面考慮方程即根的情況：據上述表格及圖形和的根的情況如下表根的個數根的范圍根的個數2個根、3個根5個根2個根3個根、3個根9個根3個根3個根2個根、3個根5個根2個根綜上所述：當時，函數有5 個零點；當時，函數有9 個零點。二、如何運用導數求證函數“存在、有且只有一個”零點（1）要求證一個函數存在零點，只須要用“函數零點的存在性定理”即可證明。即：如果函數在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷曲線，并且，則函數在區(qū)間上至少有一個零點。即存在一點，使得，這個也就是方程的根. （2）要求證一個函數“有且只有一個”零點，先要證明函數為單調函數，即存在零點；再用“函數零點的存在性定理”求證函數零點的唯一性。其依據為：

6、如果函數在區(qū)間上是單調函數，并且，則函數在區(qū)間上至多有一個零點。例：已知函數求證: 在其定義域內有且只有一個零點.證明： 函數的定義域為(0,+).(i) 在區(qū)間內是增函數故知在(0,+)內至多有一個零點；(ii)又f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,由函數在閉區(qū)間1,3上的連續(xù)性及零點定理知, 在閉區(qū)間1,3上至少有一個零點.由(i),(ii)知在(0,+)內有且只有一個零點.例：證明函數只有一個零點 證明：定義域為，   令，得當時，；當時，在上單調遞增，在上單調遞減。當時，取得最大值，其值為當時，只有一個零點。三、如何運用導數來判斷與求證含參函數的零點例：若，設函數,試求的零點個數,并證明你的結論.解：（1）當時, f(x)在上為單調增函數 又 f(x)存在唯一零點 （2）當<0時,f(x)在上為單調增函數 又 f(x)存在唯一零點 (3)當時,令 得 時,; 時, 在區(qū)間上為單調增函數，在上為單調減函數。為最大值點且最大值為 當即時 有唯一零點 當即時,有兩個零點 （i）當時，在上單調增且， 在只有一個零點 （ii）當時，在上是單調減函數.因為當時，所以而設 ,則, 再設 則： 令得：令