導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)中的運(yùn)用

1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的有力工具，利用導(dǎo)數(shù)可以確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，描繪出函數(shù)的圖象，而借助函數(shù)的圖象，則可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）；把函數(shù)的“零點(diǎn)存在性定理”與函數(shù)的單調(diào)性有機(jī)的結(jié)合在一起，則可說(shuō)明或證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性和唯一性。下面就談?wù)剬?dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的一些運(yùn)用。一、如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，常通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，描繪出函數(shù)的圖象，再借助圖象加以判斷。例1. 討論函數(shù)()()零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？解： 令,得當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：1 3 + 0 - 0 + 增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù) 由上表知：

2、 下面討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；（3）當(dāng) ，即時(shí)， 函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；（4）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；（5）當(dāng) ，即時(shí)， 函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；綜上得： 當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；例2.設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),).試討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).解：方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程根的個(gè)數(shù)令，則： （1）當(dāng)時(shí)， 故時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。 （2）當(dāng)時(shí)，故時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)。綜上述（1）（2）知：函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)。 下面討論方程根的個(gè)數(shù) 由上述知：當(dāng)時(shí),方程根的個(gè)數(shù)為0; 當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根

3、的個(gè)數(shù)為1; 當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2. 二、如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)復(fù)合函數(shù)是由內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)復(fù)合而成的，在處理其零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分清內(nèi)層和外層函數(shù)與零點(diǎn)的關(guān)系。如：求的零點(diǎn) 如：求的零點(diǎn) 【解題技巧】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法可借助換元法解方程的思想分兩步進(jìn)行。即 令，則 第一步：先判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況 第二步：再判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況例：已知函數(shù)和在-的圖象如下所示 給出下列四個(gè)命題：方程有且僅有6個(gè)根    方程有且僅有3個(gè)根 方程有且僅有5個(gè)根    方程有且僅有4個(gè)根 

4、 其中正確的命題是 。      解析：由圖知：（1） 當(dāng) 當(dāng)當(dāng)方程有且僅有6個(gè)根   （2）當(dāng)當(dāng)方程有且僅有4個(gè)根 （3） 當(dāng) 當(dāng)當(dāng)方程有且僅有5個(gè)根  （4）當(dāng)當(dāng)方程有且僅有4個(gè)根 例：已知函數(shù) 設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解析令，則： (1)先討論關(guān)于 的方程即根的情況： 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增。 描繪出函數(shù)的草圖，并據(jù)草圖可得：方程根的情況如下表所示：C的取值范圍根的個(gè)數(shù)根或根的范圍2個(gè)根或3個(gè)根 、2個(gè)根或(2)

5、下面考慮方程即根的情況：據(jù)上述表格及圖形和的根的情況如下表根的個(gè)數(shù)根的范圍根的個(gè)數(shù)2個(gè)根、3個(gè)根5個(gè)根2個(gè)根3個(gè)根、3個(gè)根9個(gè)根3個(gè)根3個(gè)根2個(gè)根、3個(gè)根5個(gè)根2個(gè)根綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。二、如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求證函數(shù)“存在、有且只有一個(gè)”零點(diǎn)（1）要求證一個(gè)函數(shù)存在零點(diǎn)，只須要用“函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理”即可證明。即：如果函數(shù)在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷曲線，并且，則函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)。即存在一點(diǎn)，使得，這個(gè)也就是方程的根. （2）要求證一個(gè)函數(shù)“有且只有一個(gè)”零點(diǎn)，先要證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，即存在零點(diǎn)；再用“函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理”求證函數(shù)零點(diǎn)的唯一性。其依據(jù)為：

6、如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，并且，則函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)。例：已知函數(shù)求證: 在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).證明： 函數(shù)的定義域?yàn)?0,+).(i) 在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)故知在(0,+)內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；(ii)又f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0,由函數(shù)在閉區(qū)間1,3上的連續(xù)性及零點(diǎn)定理知, 在閉區(qū)間1,3上至少有一個(gè)零點(diǎn).由(i),(ii)知在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).例：證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn) 證明：定義域?yàn)椋?#160;  令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，取得最大值，其值為當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)。三、如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷與求證含參函數(shù)的零點(diǎn)例：若，設(shè)函數(shù),試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.解：（1）當(dāng)時(shí), f(x)在上為單調(diào)增函數(shù) 又 f(x)存在唯一零點(diǎn) （2）當(dāng)<0時(shí),f(x)在上為單調(diào)增函數(shù) 又 f(x)存在唯一零點(diǎn) (3)當(dāng)時(shí),令 得 時(shí),; 時(shí), 在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)。為最大值點(diǎn)且最大值為 當(dāng)即時(shí) 有唯一零點(diǎn) 當(dāng)即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn) （i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增且， 在只有一個(gè)零點(diǎn) （ii）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)減函數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以而設(shè) ,則, 再設(shè) 則： 令得：令